洪 飛，吳劍國

（浙江工業(yè)大學(xué) 建筑工程學(xué)院，浙江 杭州 310032）

可靠性分析的改進(jìn)加權(quán)響應(yīng)面法

洪 飛，吳劍國

（浙江工業(yè)大學(xué) 建筑工程學(xué)院，浙江 杭州 310032）

為了克服響應(yīng)面法（Response surface method簡稱RSM）在計算大規(guī)模工程時效率低下和計算可靠性指標(biāo)敏感度時偶爾誤差大的問題，提出一個高效率的改進(jìn)加權(quán)響應(yīng)面方法.此方法首先構(gòu)造一次響應(yīng)面函數(shù)，然后在可能存在失效點的被縮小范圍內(nèi)采用軸向采樣來得到樣本點，構(gòu)造二次響應(yīng)面函數(shù)；通過從之前的樣本組里增加新的樣本點，給予靠近失效點的樣本點更高的權(quán)重來更新響應(yīng)面函數(shù).通過幾個算例表明：比較雙加權(quán)響應(yīng)面方法，此方法具有更高的準(zhǔn)確性和計算效率.

結(jié)構(gòu)可靠度；響應(yīng)面法；響應(yīng)面函數(shù)；加權(quán)回歸

為了提高計算效率，集統(tǒng)計和數(shù)學(xué)技術(shù)于一身的響應(yīng)面法（RSM）在大型結(jié)構(gòu)的可靠性建模和分析時是非常有用的.響應(yīng)面法（RSM）最早是由Box和Wilson于1951年提出來的，就是通過一系列的確定性的“試驗”擬合一個響應(yīng)面來模擬真實極限狀態(tài)曲面.以往的響應(yīng)面法在進(jìn)行每步迭代過程中，樣本點都是依據(jù)插值點展開得到的，通過多次確定性的有限元分析，計算出結(jié)構(gòu)的響應(yīng)，擬合極限狀態(tài)方程；在應(yīng)用現(xiàn)有商業(yè)大型有限元結(jié)構(gòu)分析程序進(jìn)行計算分析時非常耗時，而且比較麻煩.例如：如果10個初始試驗抽樣點擬合的響應(yīng)面函數(shù)需要3次迭代才能完成逼近.那么總共需要30（3×10）次的結(jié)構(gòu)分析.因此，相比于一次二階矩法（The first order reliability method簡稱FORM），RSM在高非線性問題上需要很多次的迭代才能逼近，自然需要大量的結(jié)構(gòu)分析和計算時間［1］.此外，以可靠度為基礎(chǔ)的優(yōu)化設(shè)計問題同時需解決可靠度分析和優(yōu)化問題，關(guān)于隨機變量的可靠度指標(biāo)的靈敏度決定其優(yōu)化問題的收斂性［2］.盡管RSM能得到相對精確的可靠度指標(biāo)，但是RSM會產(chǎn)生相當(dāng)大的靈敏度誤差，而這些誤差很可能減弱優(yōu)化問題的收斂性.

為了提高擬合極限狀態(tài)曲面的收斂速度及精度，很多學(xué)者提出了改進(jìn)，Kaymaz I，Mc Mahon CA［3］基于加權(quán)回歸的統(tǒng)計分析思想，提出了加權(quán)回歸響應(yīng)面法，第一次迭代采用線性的響應(yīng)面，下次迭代選用沒有交叉項的二次響應(yīng)面，擬合點由中心點產(chǎn)生，為了增強極限狀態(tài)函數(shù)絕對值小的實驗抽樣點對響應(yīng)面函數(shù)確定的作用，削弱極限狀態(tài)函數(shù)絕對值大的實驗抽樣點對響應(yīng)面函數(shù)確定的作用，響應(yīng)面的系數(shù)采用加權(quán)回歸的方法.但構(gòu)造實驗點的權(quán)數(shù)采用的形式給極限狀態(tài)函數(shù)絕對值較小的點過高的權(quán)重，而且容易造成回歸矩陣的病態(tài).鐘宏林［4］為了解決此缺點，提出來一種采用雙加權(quán)回歸新的響應(yīng)面法，引入與計算實驗點與驗算點p＊的距離相關(guān)的第二個權(quán)重，通過調(diào)節(jié)第二個權(quán)重可以避免回歸矩陣的病態(tài).趙潔、呂震宙［5］在 Kaymaz I，Mc-Mahon CA采用加權(quán)回歸統(tǒng)計分析思想的基礎(chǔ)上提出來了一種新的加權(quán)響應(yīng)面法，構(gòu)造新的加權(quán)系數(shù).李生勇等［6］在求解過程中，用插值點逐步替代初始樣本點組中距離驗算點較遠(yuǎn)的點，其目的是使所選取的樣本點較集中于驗算點附近，重新構(gòu)成下一輪迭代所需的一組樣本點，直至滿足收斂條件.

鑒此，筆者提出的改進(jìn)加權(quán)RSM方法即減少了所需的結(jié)構(gòu)分析次數(shù)，又能提高靈敏度的精確性.這種方法的不同之處在于所需要的試驗抽樣點的采樣過程.此方法在每次迭代時保留被選擇的試驗抽樣點并在下一次迭代式重新使用，能加快響應(yīng)面的收斂速度和精度，所以能更精確的逼近原始響應(yīng)面和有效地減少結(jié)構(gòu)分析的次數(shù).此外，我們的重點是可靠度指標(biāo)的靈敏度精確性的提高，因為靈敏度決定了相關(guān)隨機變量對結(jié)構(gòu)可靠度的影響.

1 改進(jìn)的加權(quán)RSM

1.1 改進(jìn)加權(quán)RSM表達(dá)式的確定

此方法建議第一次迭代采用線性多項式，下次迭代選用沒有交叉項的二次多項式.因為第一次迭代采用沒有交叉項的二次多項式很少能夠逼近極限狀態(tài)函數(shù).而采用線性多項式能夠較好的逼近極限狀態(tài)函數(shù).用算例比較雙加權(quán)RSM［4］與此方法的準(zhǔn)確性和效率，兩種方法均采用加權(quán)回歸思想，給與更靠近極限狀態(tài)面的擬合點更大的權(quán)重，但是兩者的加權(quán)原理是不同的.雙加權(quán)［4］為了增強極限狀態(tài)函數(shù)絕對值小的實驗抽樣點對響應(yīng)面函數(shù)確定的作用，削弱極限狀態(tài)函數(shù)絕對值大的實驗抽樣點對響應(yīng)面函數(shù)確定的作用；而此方法的加權(quán)為了加強靠近失效點的試驗抽樣點對響應(yīng)面函數(shù)確定的作用，削弱遠(yuǎn)離失效點的實驗抽樣點對響應(yīng)面函數(shù)確定的作用.在現(xiàn)有的幾種響應(yīng)法如多項式、樣條函數(shù)和神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)中，目前采用較多的是簡單的線性多項式［3］和不含交叉項的二次多項式［4］.改進(jìn)的加權(quán)RSM第2次迭代之后采用的不含交叉項的二次多項式，表達(dá)式為

確定響應(yīng)面函數(shù)系數(shù)常用最小二乘法，為了確定式（1）中的2n＋1個系數(shù)，可行選擇m（m≥2n＋1）個實驗抽樣點xj（j＝1，2，…，m），得到m 個結(jié)構(gòu)響應(yīng)，寫成列向量g＝｛g（x1），g（x2），…，g（xm）｝T.系數(shù)向量可表示為

其中：MX是由m個實驗抽樣點構(gòu)成，xji為第j個實驗抽樣點的第i個分量，MX的形式為

由加權(quán)回歸統(tǒng)計思想，一個好的響應(yīng)面希望給更靠近極限狀態(tài)面的擬合點更大的權(quán)重，Kaymaz I，Mc Mahon CA介紹了一種采用加權(quán)確定響應(yīng)面系數(shù)的方法，其表達(dá)式為

其中：權(quán)重因子用對角矩陣W來表示為

其中：N為試驗抽樣點的數(shù)量；w（xj－xD）為關(guān)于最新設(shè)計點xD與試驗抽樣點xj距離的權(quán)函數(shù).權(quán)函數(shù)的表達(dá)式為

式中dmi為影響范圍的大小，等于試驗抽樣點xj與最新設(shè)計點xD的最大距離.權(quán)函數(shù)寫成關(guān)于變量r的函數(shù)，選取三種權(quán)函數(shù)形式：

其中：α為形狀參數(shù)，用于調(diào)節(jié)擬合曲面的光滑度，取α＝0.3.

1.2 改進(jìn)加權(quán)RSM步驟

在步驟中，首先構(gòu)造一次響應(yīng)面函數(shù)，然后在可能存在失效點的被縮小范圍內(nèi)采用軸向采樣來得到樣本點，構(gòu)造二次響應(yīng)面函數(shù).通過從之前的樣本組里增加新的樣本點來更新響應(yīng)面函數(shù).具體步驟如下：

1）選擇隨機變量x和定義極限狀態(tài)函數(shù)g（x）.

3）由式（2）擬合第一次迭代的一次響應(yīng)面函數(shù).

4）用一次二階矩法求得此響應(yīng)面的設(shè)計點xD（1）和可靠度指標(biāo)β（1）.

6）由式（2）擬合第二次迭代的二次響應(yīng)面函數(shù).

7）用一次二階矩法求得該二次響應(yīng)面函數(shù)設(shè)計點x（2）D和可靠度指標(biāo)β（2）.

10）將第k－1次迭代的設(shè)計點作為一個實驗抽樣點加到第k－1次迭代的試驗抽樣點組中，得到k－1＋2n個試驗抽樣點，即，，j＝1，2，…，2n，f＝0.5～0.75，由式（4）擬合第k次迭代的二次響應(yīng)面函數(shù).

在第3次以后的第k步迭代采用10），11）步驟.重復(fù)10），11）的過程，直到達(dá)到給定的收斂準(zhǔn)則.

2 算 例

為了證明此方法的有效性，筆者選取一個有明確表達(dá)式的算例及一功能函數(shù)未知的框架結(jié)構(gòu).

算例1 極限狀態(tài)方程為

其中：x1，x2，均服從標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布.

在改進(jìn)加權(quán)RSM中，采用四次樣條函數(shù)，冪函數(shù)，指數(shù)函數(shù)作為權(quán)函數(shù)所得到的可靠度指標(biāo)都為2.709 9，并且都只需3次迭代.表明權(quán)函數(shù)的變化對可靠度指標(biāo)的影響不明顯.因為雙加權(quán)RSM和改進(jìn)加權(quán)RSM都是在得到響應(yīng)面函數(shù)后由FORM來求解可靠度指標(biāo)的，所以單用FORM求得的解作為參考解.雙加權(quán)RSM有文獻(xiàn)［4］提供，改進(jìn)加權(quán)RSM為筆者提出的方法，圖1為三種方法迭代過程的可靠度指標(biāo)變化.雙加權(quán)RSM和改進(jìn)加權(quán)RSM都能達(dá)到理想的收斂.但是改進(jìn)加權(quán)RSM比雙加權(quán)RSM收斂的速度要快，初始可靠度指標(biāo)不同是因為雙加權(quán)RSM采用5（1＋2n）個試驗抽樣點，而改進(jìn)加權(quán)RSM采用5（1＋n）個試驗抽樣點.

圖1 例1迭代過程的可靠度指標(biāo)變化比較圖Fig.1 Comparison of the histories of the reliability index per iteration of example 1

表1和表2采用雙加權(quán)RSM和改進(jìn)加權(quán)RSM的可靠度指標(biāo)，設(shè)計點和隨機變量靈敏度的比較.響應(yīng)計算次數(shù)表示此方法的效率.這兩種方法的可靠度指標(biāo)都非常接近精確值，但是改進(jìn)加權(quán)RSM的設(shè)計點和隨機變量靈敏度的誤差比雙加權(quán)RSM小很多.雙加權(quán)RSM迭代過程的響應(yīng)計算次數(shù)為20（＝4×（1＋2n））次，而改進(jìn)加權(quán)RSM 只有10（＝（1＋n）＋（1＋2n）＋1×2）次.第一個算例證明改進(jìn)加權(quán)RSM采用較少的響應(yīng)計算次數(shù)得到更精確的可靠度指標(biāo)和隨機變量靈敏度.

表1 例1可靠度指標(biāo)和設(shè)計點比較Table 1 Comparison of reliability index and MPFP of example 1

表2 例1響應(yīng)計算數(shù)和靈敏度比較Table 2 Comparison of number of function evaluations and sensitivity of example 1

第一次迭代的f值一般取2.0～3.0，這里取f＝2.0得到可靠度指標(biāo)為2.462 929.筆者重點研究第一次迭代之后的f取值對可靠度計算的影響，表3列出不同的f取值得到的可靠度指標(biāo)β.結(jié)果表明：當(dāng)f取0.01～1.0時收斂效果很好，當(dāng)f取2.0～5.0時收斂速度在遞減，但也能收斂，當(dāng)f取大于6.0時其迭代是不能收斂的.

算例2 圖2為三跨12層建筑的平面框架結(jié)構(gòu)計算簡圖（圖中單位為m）.各單元彈性模量均為E＝2.0×107k N／m2，單元截面慣性矩與截面面積的關(guān)系為I1＝αi（i＝1，2，…，5）.各單元的截面特征截面面積Ai以及外荷載P的統(tǒng)計特征見表4.極限狀態(tài)方程Z＝0.096－uA＝0.

表3 例1不同的f值的可靠度指標(biāo)βTable 3 Reliability indexβof different f value of example 1

表4 隨機變量統(tǒng)計特征Table 4 Statistic characteristics of the randomVariables

圖2 算例2計算簡圖Fig.2 Calculation diagram of example 2

在改進(jìn)加權(quán)RSM中，采用四次樣條函數(shù)，冪函數(shù)，指數(shù)函數(shù)作為權(quán)函數(shù)所得到的可靠度指標(biāo)都為1.450 6，并且都只需3次迭代.表明權(quán)函數(shù)的變化對可靠度指標(biāo)的影響不明顯.

圖3為三種方法迭代過程的可靠度指標(biāo)變化.一般RSM方法的結(jié)果由文獻(xiàn)［7］提供，作為精確解.雙加權(quán)RSM和改進(jìn)加權(quán)RSM都能達(dá)到滿意的收斂結(jié)果.但是改進(jìn)加權(quán)RSM比雙加權(quán)RSM收斂的效果要好.

圖3 例2迭代過程的可靠度指標(biāo)變化比較圖Fig.3 Comparison of the histories of the reliability index per iteration of example 2

表5為采用雙加權(quán)RSM和改進(jìn)加權(quán)RSM的可靠度指標(biāo)和設(shè)計點的比較.兩種方法的可靠度指標(biāo)和設(shè)計點都能接近精確值.但是雙加權(quán)RSM需要55次響應(yīng)計算而改進(jìn)加權(quán)RSM只需22次.對于求解此類實際工程的可靠度問題，改進(jìn)加權(quán)RSM就能大大體現(xiàn)出此方法的優(yōu)越性.

表5 例2結(jié)果比較Table 5 Comparison of analysis results of example 2

3 結(jié) 論

盡管響應(yīng)面法（RSM）因其數(shù)值效率而被廣泛用于結(jié)構(gòu)可靠性分析，但是RSM計算大規(guī)模工程費時和有時在計算可靠性指標(biāo)敏感度時誤差大，因此提出一個高效率的改進(jìn)加權(quán)響應(yīng)面方法來克服這些局限性.此方法給予靠近失效點的樣本點更高的權(quán)重，以使響應(yīng)面在失效點上更逼近極限狀態(tài)函數(shù).通過算例的證明此方法采用較少的響應(yīng)計算次數(shù)得到更精確隨機變量靈敏度.

［1］RAJASHEKHAR M R，ELLINGWOOD B R.A new look at the response surface approach for reliability analysis［J］.Structural Safety，1993，12（3）：205-20.

［2］YOUN B D，CHOI K K.A new response surface methodology for reliability-based design optimization［J］.Computers ＆Structures，2004，82：241-56.

［3］KAYMAZ I，MCMAHON C A.A response surface method based on weighted regression for structural reliability analysis［J］.Probabilistic Engineering Mechanics，2005，20：11-7.

［4］鐘宏林.基于雙加權(quán)響應(yīng)面法的張弦梁可靠度分析［D］.杭州：浙江工業(yè)大學(xué)，2008.

［5］趙潔，呂震宙.隱式極限狀態(tài)方程可靠性分析的加權(quán)響應(yīng)面法［J］.機械強度，2006，28（4）：512-516.

［6］李生勇，張哲，石磊，等.一種在響應(yīng)法中選取樣本點的新方法［J］.計算力學(xué)學(xué)報，2007，24（6）：899-903.

［7］張哲，李生勇，石磊，等.結(jié)構(gòu)可靠度分析中的改進(jìn)響應(yīng)面法及其應(yīng)用［J］.工程力學(xué)，2007，24（8）：111-115.

An improved response surface method based on weighted regression for reliability analysis

HONG Fei，WU Jian-guo
（College of Civil Engineering and Architecture，Zhejiang University of Technology，Hangzhou 310032，China）

In order to overcome these problems that the response surface method（RSM）is time consuming for large-scale applications and sometimes shows large errors in the calculation of the sensitivity of the reliability index with respect to randomVariables，this study proposes an efficient and improved RSM based on weighted regression.In the proposed method，a linear RSF is constructed at first and a quadratic RSF is formed using the axial experimental points selected from the reduced region where the MPFP is likely to exist.The RSF is updated successively by adding one new experimental point to the previous set of experimental points and giving higher weight to the experimental points closer to the most probable failure point（MPFP）.Numerical examples are presented to demonstrate the improved accuracy and computational efficiency of the proposed method compared to the RSM based on a double weighted regression.

structural reliability；response surface method；RSM function；weighted regression

TU311.4

A

1006-4303（2012）01-0106-05

2010-11-10

洪 飛（1986—），男，浙江蕭山人，碩士研究生，研究方向為結(jié)構(gòu)可靠性和結(jié)構(gòu)分析，E-mail：hongfei183＠163.com.

（

劉 巖）