李繼軍

（上海市松江區(qū)教師進(jìn)修學(xué)院，上海 201600）

探究學(xué)習(xí)中經(jīng)常被忽視的一個(gè)關(guān)鍵環(huán)節(jié)
——以長(zhǎng)方體的體積計(jì)算公式的推導(dǎo)為例

李繼軍

（上海市松江區(qū)教師進(jìn)修學(xué)院，上海 201600）

探究性學(xué)習(xí)是數(shù)學(xué)新課程倡導(dǎo)的重要的學(xué)習(xí)方式之一，它對(duì)培養(yǎng)學(xué)生的創(chuàng)新意識(shí)和實(shí)踐精神有著重要的教學(xué)價(jià)值，因而越來(lái)越得到廣大教師的重視和實(shí)踐。當(dāng)前在小學(xué)數(shù)學(xué)課堂教學(xué)中，在探究學(xué)習(xí)方式的運(yùn)用上還存在著諸多有待改進(jìn)之處。下面以長(zhǎng)方體體積的計(jì)算公式的推導(dǎo)為例，談?wù)勌骄繉W(xué)習(xí)中經(jīng)常被老師忽視的一個(gè)關(guān)鍵環(huán)節(jié)，即探究學(xué)習(xí)中往往缺少引導(dǎo)學(xué)生進(jìn)行“研究方案的設(shè)計(jì)”（或“研究方法的提出”）這一重要教學(xué)環(huán)節(jié)，因而，探究活動(dòng)往往演變?yōu)閷W(xué)生根據(jù)教師發(fā)出的指令所進(jìn)行的“操作工”活動(dòng)，沒(méi)有自己的猜想和創(chuàng)造，缺乏一定的挫折和應(yīng)有的數(shù)學(xué)思考，無(wú)法真正體現(xiàn)作為探究學(xué)習(xí)的應(yīng)有價(jià)值。

【案例描述】

首先，教師出示大小明顯不同的兩個(gè)長(zhǎng)方體并提問(wèn)“：這兩個(gè)物體的體積誰(shuí)大誰(shuí)??？”“猜猜看長(zhǎng)方體的體積大小到底與什么因素有關(guān)？”當(dāng)學(xué)生認(rèn)為長(zhǎng)方體的體積可能與它的長(zhǎng)、寬、高有關(guān)，且作出了一定解釋后，教師以“究竟是怎樣的關(guān)系？”再次提問(wèn)，自然揭示課題、引出探究?jī)?nèi)容。接著，教師先后出示用12個(gè)1cm3的正方體拼成的三個(gè)形狀不同的大長(zhǎng)方體，分別為“4×3×1”（指長(zhǎng)、寬、高分別為 4cm、3cm、1cm 的情況，圖略、下同）“6×2×1”和“3×2×2”的形式，并提問(wèn)：“這個(gè)長(zhǎng)方體的體積是多少？“”它的長(zhǎng)、寬、高分別是多少？怎樣得到的？”隨著學(xué)生的回答，教師再次提問(wèn)“長(zhǎng)方體的體積與它的長(zhǎng)、寬、高究竟有什么關(guān)系”，引發(fā)學(xué)生進(jìn)一步觀(guān)察與思考，學(xué)生通過(guò)三個(gè)具體問(wèn)題歸納發(fā)現(xiàn)“長(zhǎng)方體的體積=長(zhǎng)×寬×高”。隨后教師加以說(shuō)明性引導(dǎo)：剛才同學(xué)們是通過(guò)個(gè)別現(xiàn)象提出了“長(zhǎng)方體的體積=長(zhǎng)×寬×高”這個(gè)計(jì)算公式，這僅僅是一種歸納式的猜想，是不是適應(yīng)其他的情況呢？教師在文字計(jì)算公式的后面打上問(wèn)號(hào)，教學(xué)中暫時(shí)形成了如下的板書(shū)（圖1）。在此基礎(chǔ)上，在各小組原有12個(gè)1cm3的正方體的基礎(chǔ)上，教師隨機(jī)為不同小組增加1個(gè)或5個(gè)或6個(gè)或8個(gè)1cm3的正方體學(xué)具，再次引導(dǎo)學(xué)生通過(guò)小組合作的形式動(dòng)手驗(yàn)證。最后通過(guò)全班交流與反饋形成如下板書(shū)（圖2）。

圖1

圖2

由于推導(dǎo)公式采用的是不完全歸納法的推理形式，事實(shí)上僅僅靠有限幾個(gè)舉例是不嚴(yán)密的；但這是由學(xué)生的年齡特點(diǎn)和認(rèn)知局限所決定的，為克服這一局限，教師最后提問(wèn)：“有誰(shuí)能舉出不成立的例子？”學(xué)生通過(guò)操作或思考確實(shí)無(wú)法舉出反例，進(jìn)而比較順利地歸納出長(zhǎng)方體體積的計(jì)算公式，板書(shū)中的問(wèn)號(hào)也隨之擦去，并用字母進(jìn)行了公式表達(dá)，即v=abh。

【問(wèn)題探討】

教師根據(jù)教學(xué)內(nèi)容的特點(diǎn)選擇探究學(xué)習(xí)作為教與學(xué)的方式，引領(lǐng)學(xué)生經(jīng)歷知識(shí)“再發(fā)現(xiàn)”的過(guò)程，體現(xiàn)了數(shù)學(xué)新課程標(biāo)準(zhǔn)的理念與要求。分析計(jì)算公式的推導(dǎo)過(guò)程，有兩點(diǎn)值得肯定：一是教師以“觀(guān)察提問(wèn)——提出猜想——操作驗(yàn)證——?dú)w納結(jié)論”為學(xué)習(xí)線(xiàn)索引領(lǐng)學(xué)生開(kāi)展探究學(xué)習(xí)，其清晰的教學(xué)結(jié)構(gòu)可作為探究學(xué)習(xí)的一種可操作性的具體方式與策略；二是基于學(xué)生認(rèn)知特點(diǎn)而對(duì)于歸納式思維的“教學(xué)法”處理，即無(wú)論是根據(jù)教師提供素材的歸納式猜想還是由小組合作進(jìn)行的歸納式小結(jié)，其計(jì)算公式板書(shū)設(shè)計(jì)由“疑問(wèn)式”變?yōu)椤翱隙ㄊ健钡孽r活的教學(xué)細(xì)節(jié)，折射出教師良好的教學(xué)技能和教學(xué)智慧。

但仔細(xì)品味和分析，不難發(fā)現(xiàn)在計(jì)算公式的推導(dǎo)中，存在著一個(gè)明顯的缺失或不足：教師在探究學(xué)習(xí)中忽視了一個(gè)關(guān)鍵環(huán)節(jié)，即探究學(xué)習(xí)中缺少引導(dǎo)學(xué)生進(jìn)行“研究方案的設(shè)計(jì)”（或“研究方法的提出”）這一重要教學(xué)環(huán)節(jié)。當(dāng)學(xué)生認(rèn)為長(zhǎng)方體的體積可能與它的長(zhǎng)、寬、高有關(guān)，且作出了一定解釋后，教師以“究竟是怎樣的關(guān)系？”加以再次提問(wèn)，從邏輯上講步步深入、不斷引發(fā)學(xué)生的“認(rèn)知沖突”，能夠體現(xiàn)探究學(xué)習(xí)的內(nèi)在要求。然而遺憾的是，面對(duì)學(xué)生的初步想法和合理分析，教師并沒(méi)有提出引領(lǐng)學(xué)生設(shè)計(jì)研究方案的教學(xué)啟發(fā)和實(shí)踐，而是由自己先后出示12個(gè)1cm的正方體拼成的三個(gè)形狀不同的大長(zhǎng)方體，配以一連串的問(wèn)題引發(fā)學(xué)生觀(guān)察與思考，學(xué)生通過(guò)三個(gè)具體事例提出了“長(zhǎng)方體的體積=長(zhǎng)×寬×高”的歸納式猜想。繼而進(jìn)行的驗(yàn)證活動(dòng)，主要演變?yōu)閷W(xué)生根據(jù)教師發(fā)出的指令所進(jìn)行的“操作工”活動(dòng)，缺乏應(yīng)有的數(shù)學(xué)思考，沒(méi)有自己的猜想和創(chuàng)造，無(wú)法真正體現(xiàn)作為探究學(xué)習(xí)所具有的高認(rèn)知活動(dòng)的價(jià)值。雖然是一個(gè)小小的教學(xué)環(huán)節(jié)，但對(duì)探究學(xué)習(xí)來(lái)說(shuō)，提出解決問(wèn)題的方案或方法應(yīng)是一個(gè)關(guān)鍵的、重要的環(huán)節(jié)。據(jù)國(guó)際教育的一份比較研究表明，中國(guó)學(xué)生在數(shù)學(xué)常規(guī)題的解答、理科學(xué)習(xí)中常規(guī)的驗(yàn)證性的實(shí)驗(yàn)等方面具有明顯的優(yōu)勢(shì)，但對(duì)于數(shù)學(xué)開(kāi)放題、探究題和非常規(guī)題的解決，理科創(chuàng)新實(shí)驗(yàn)特別是設(shè)計(jì)實(shí)驗(yàn)方案方面顯得比較薄弱?？梢?jiàn)，數(shù)學(xué)探究學(xué)習(xí)中加強(qiáng)“研究方案的設(shè)計(jì)”（或“研究方法的提出”）這一重要教學(xué)環(huán)節(jié)的教學(xué)，其教學(xué)價(jià)值和重要意義不言而喻。

【教學(xué)重建】

該如何克服探究學(xué)習(xí)中這一“短板”現(xiàn)象，加強(qiáng)對(duì)學(xué)生進(jìn)行“研究方案的設(shè)計(jì)”（或“提出探究的方法”）這一重要教學(xué)環(huán)節(jié)，本案例可作如下的改進(jìn)設(shè)計(jì)：

當(dāng)學(xué)生通過(guò)對(duì)大小明顯不同的兩個(gè)長(zhǎng)方體的觀(guān)察與思考，教師以“究竟是怎樣的關(guān)系？”加以再次提問(wèn)后，應(yīng)引導(dǎo)學(xué)生進(jìn)行相應(yīng)“研究方案的設(shè)計(jì)”的數(shù)學(xué)思考——即究竟有怎樣的關(guān)系？請(qǐng)你想些辦法如何去觀(guān)察與發(fā)現(xiàn)這種關(guān)系？給學(xué)生以一定的時(shí)間去獨(dú)立思考，在此基礎(chǔ)上進(jìn)行小組交流，繼而通過(guò)比較、分析等活動(dòng)，選擇可具操作性的研究方案或探究方法，以備后續(xù)的探究學(xué)習(xí)之用。探究活動(dòng)中有了這樣的關(guān)鍵性教學(xué)環(huán)節(jié)，即使學(xué)生短時(shí)間內(nèi)不能提出探究方法或一時(shí)無(wú)法設(shè)計(jì)出可具操作性的研究方案，我認(rèn)為那也是極具教學(xué)價(jià)值的，至少學(xué)生經(jīng)歷了適度的挫折和火熱的數(shù)學(xué)思考。正如愛(ài)因斯坦所說(shuō)：“提出一個(gè)問(wèn)題往往比解決一個(gè)問(wèn)題更為重要，因?yàn)榻鉀Q一個(gè)問(wèn)題也許是一個(gè)數(shù)學(xué)上或?qū)嶒?yàn)上的技巧而已，而提出新的問(wèn)題、新的可能性，從新的角度看舊的問(wèn)題，卻需要?jiǎng)?chuàng)造性的想像力，而這標(biāo)志著科學(xué)的真正進(jìn)步?！睆囊欢ㄒ饬x上說(shuō)，探究學(xué)習(xí)中注重讓學(xué)生提出研究方法或設(shè)計(jì)研究方案，就具有相當(dāng)于大科學(xué)家所倡導(dǎo)的“提出問(wèn)題”的價(jià)值和意義，能夠引導(dǎo)學(xué)生經(jīng)歷類(lèi)似科學(xué)家研究的“關(guān)鍵步子”。因而對(duì)于探究學(xué)習(xí)中“研究方案設(shè)計(jì)”環(huán)節(jié)，教師千萬(wàn)不可包辦代替，而應(yīng)引導(dǎo)學(xué)生自己提出研究方案設(shè)想，這對(duì)培養(yǎng)學(xué)生的創(chuàng)新意識(shí)和實(shí)踐精神具有重要的意義。

實(shí)際上，類(lèi)似本案例中缺失“研究方案的設(shè)計(jì)”這一關(guān)鍵性的教學(xué)環(huán)節(jié)，在我們所開(kāi)展的探究學(xué)習(xí)中經(jīng)常被忽視。如三角形面積計(jì)算公式的推導(dǎo)，教師預(yù)先讓學(xué)生準(zhǔn)備兩個(gè)完全一樣的銳角三角形、直角三角形和鈍角三角形，教學(xué)時(shí)教師往往發(fā)出操作的指令，讓學(xué)生拿出兩個(gè)完全一樣的三角形拼成學(xué)過(guò)的圖形，繼而觀(guān)察、分析兩者之間存在的關(guān)系（如其中一個(gè)三角形的面積是拼成的圖形面積的一半，拼成的平行四邊形的底和高分別是三角形的底和高），從而順利推導(dǎo)出面積計(jì)算公式。至于為什么只用兩個(gè)三角形且完全一樣的兩個(gè)三角形？三角形面積可能與哪些因素有關(guān)？如何設(shè)計(jì)探究方案進(jìn)行觀(guān)察、分析、推導(dǎo)和發(fā)現(xiàn)等認(rèn)知活動(dòng)？教師或不夠重視或者根本沒(méi)有這些引導(dǎo)探究的重要意識(shí)，以致探究活動(dòng)往往演變?yōu)閷W(xué)生根據(jù)教師發(fā)出的指令所進(jìn)行的單純的“操作工”活動(dòng)，缺少探究學(xué)習(xí)教學(xué)方式應(yīng)有的教學(xué)價(jià)值，甚至淪落為假探究，無(wú)法豐富學(xué)生的學(xué)習(xí)經(jīng)歷，不能起到改善教師的教學(xué)方式和學(xué)生的學(xué)習(xí)方式的作用。

[1]劉兼、孫曉天.數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（實(shí)驗(yàn)稿）解讀[M].北京：北京師范大學(xué)出版社，2002.

[2]戴再平.開(kāi)放題—數(shù)學(xué)教學(xué)的新模式[M].上海：上海教育出版社，2002.

[3]愛(ài)因斯坦和英費(fèi)爾德著、周肇威譯.物理學(xué)的進(jìn)化[M].長(zhǎng)沙：湖南教育出版社，1999.

（責(zé)任編輯：李雪虹）