☉江蘇省南京市大廠高級中學(xué) 張路民

我們知道當(dāng)一條線段繞著它的一個(gè)端點(diǎn)在平面內(nèi)旋轉(zhuǎn)一周時(shí)，它的另一個(gè)端點(diǎn)的軌跡叫做圓.我們在解決圓的相關(guān)題目時(shí)常常會(huì)遇到一些動(dòng)圓或者是隱形圓.這類問題往往處理起來比較棘手，原因主要在于它們太抽象，但如果我們能借助于幾何畫板將其畫出甚至動(dòng)起來就變得很形象了，當(dāng)然問題也就容易解決多了.下面筆者舉兩個(gè)例題加以分析.

一、利用幾何畫板解決動(dòng)圓問題

例1 如圖1，在直角坐標(biāo)系xOy中，A（a，0）（a>0）、B（0，a）、C（-4，0）、D（0，4），設(shè)△AOB的外接圓的圓心為E，點(diǎn)P在圓E上，使△PCD的面積等于12的點(diǎn)有且只有三個(gè)，試問：這樣的⊙E是否存在？若存在，求出⊙E的標(biāo)準(zhǔn)方程，若不存在，說明理由.

分析：本題中的⊙E顯然是一個(gè)動(dòng)圓，隨著a的取值的變大，⊙E也會(huì)逐步變大，因此若借助于幾何畫板進(jìn)行演示將會(huì)非常有助于問題的解決.

圖1

由平行線性質(zhì)我們知道：兩條直線平行，其中一條直線上的任意點(diǎn)到另一條直線的距離相等.

圖2

故滿足條件的平行線有兩條，方程分別為l1：x-y+10=0，l2：x-y-2=0.又因?yàn)辄c(diǎn)P在⊙E上，故所求點(diǎn)即為圓與直線l1、l2的交點(diǎn)

借助于幾何畫板加演示.如圖2，作出直線l1、l2作△AOB的外接圓，將圓小慢慢變大，當(dāng)圓與直線l1l2有三個(gè)交點(diǎn)時(shí)即為所求圓

所以這樣的⊙E存在，其程為：（x-5）2+（y-5）2=50.

評注：本題借助于幾何畫板通過輔助直線l1、l2將動(dòng)圓問題形象的展示出來，使得原本非常抽象的問題具體化，我們在改變圓的大小的過程中能夠很直觀的感受到點(diǎn)P從無到有的過程.

圖5圖6

圖7

延伸：經(jīng)進(jìn)一步研究還能得到以下結(jié)論.

這樣這道題不僅得到了非常完美的解決，而且還得到了進(jìn)一步的延伸.在這道題的解決過程中，兩條輔助直線起到了非常重要的作用，它們讓我們很清晰的觀察到了點(diǎn)P從不存在到存在、從少到多的過程，把原本不太容易下手的問題變得簡潔.

二、利用幾何畫板，借助“隱形”圓解決其他問題

圖8

分析：本題解決的關(guān)鍵是如何定位∠F1PF2為鈍角.確定角的大小一般可以利用余弦定理或向量的數(shù)量積等，就本題而言，雖然可以實(shí)施但較復(fù)雜.通過幾何畫板的動(dòng)態(tài)演示，我們發(fā)現(xiàn)圓有如下性質(zhì)：圓上一點(diǎn)與任意一條直徑的兩個(gè)端點(diǎn)連接（該點(diǎn)不在此直徑上）構(gòu)成的角為直角；若該點(diǎn)在圓內(nèi)則構(gòu)成的角為鈍角；若該點(diǎn)在圓外則構(gòu)成的角為銳角.

由圓的性質(zhì)，可知分別以點(diǎn)P1、P2、P3、P4為頂點(diǎn)與F1、F2連接構(gòu)成的角為直角.

橢圓上點(diǎn)P1、P2之間以及P3、P4之間的點(diǎn)同時(shí)在圓內(nèi)，故以它們?yōu)轫旤c(diǎn)連接F1、F2構(gòu)成的角為鈍角，符合題意.

所以所求點(diǎn)P介于P1、P2之間以及P3、P4之間.

圖9

評注：本題表面上看不出與圓有任何關(guān)系，但通過分析發(fā)現(xiàn)題中隱含著一個(gè)圓，借助幾何畫板更加能夠直觀形象地體現(xiàn)出來，對問題的解決起到了很大的輔助作用.

計(jì)算機(jī)輔助教學(xué)是隨著計(jì)算機(jī)技術(shù)的發(fā)展而形成的現(xiàn)代教育技術(shù).《幾何畫板》引入數(shù)學(xué)課堂教學(xué)能體現(xiàn)出以下主要作用.

（1）有助于提高課堂效率，把抽象的知識形象化.

（2）有助于提高課堂教學(xué)效果.由于情況的快速反饋，老師講課時(shí)更具有針對性，并能及時(shí)調(diào)整教學(xué)內(nèi)容和節(jié)奏.

（3）有助于培養(yǎng)學(xué)生敏捷思維和觀察問題、分析問題、解決問題的能力.