☉江蘇省海安高級(jí)中學(xué) 王 紅

導(dǎo)數(shù)中分類討論思想運(yùn)用的方向

☉江蘇省海安高級(jí)中學(xué) 王 紅

導(dǎo)數(shù)的引入為函數(shù)性質(zhì)問題的求解開辟了新的途徑，但這類問題中常含有參數(shù)，這是大多數(shù)同學(xué)頭疼的問題，不知從何處開始分類討論，又不知道如何展開討論，常常討論的不夠或者混亂.其實(shí)在研究含字母參數(shù)的函數(shù)的這些性質(zhì)時(shí)，只要掌握每一步的要求，熟練利用導(dǎo)數(shù)，多次用到分類討論，掌握分類討論的方法就可以很好地解決這一問題.利用求導(dǎo)研究函數(shù)的性質(zhì)都是從研究單調(diào)性開始，第一步求出導(dǎo)數(shù)，后面其實(shí)就是轉(zhuǎn)移到解不等式的問題.下面舉例說一下分類討論可能出現(xiàn)的地方.

一、討論的方向

利用導(dǎo)數(shù)判斷函數(shù)的單調(diào)性，求導(dǎo)后導(dǎo)函數(shù)多為含參的二次函數(shù)型，首先就需要對二次項(xiàng)系數(shù)進(jìn)行討論：

當(dāng)二次項(xiàng)系數(shù)a=0時(shí)，則導(dǎo)函數(shù)轉(zhuǎn)化為一次函數(shù)型，結(jié)合一次函數(shù)的圖像及原函數(shù)的定義域，可直接判斷原函數(shù)在定義域內(nèi)的單調(diào)性.

當(dāng)二次項(xiàng)系數(shù)a≠0時(shí)，先看是否能因式分解，如果不能，則需要討論判別式的正負(fù).當(dāng)二次項(xiàng)系數(shù)a＞0時(shí)，若判別式△＜0，則原函數(shù)單調(diào)遞增；若△＞0，則利用求根公式表示出兩根.當(dāng)二次項(xiàng)系數(shù)a＜0時(shí)，若判別式△＜0，則原函數(shù)單調(diào)遞減；若△＞0，則利用求根公式表示出兩根.

如果導(dǎo)函數(shù)可以進(jìn)行因式分解或利用求根公式表示出兩根，需要對兩根的大小進(jìn)行判斷.

二、典例分析

當(dāng)a＞0時(shí)，令f（′x）=0，得x1=－a，x2=，（fx）與f（′x）的情況如表1所示：

表1

當(dāng)a＜0時(shí)，f（x）與f′（x）的情況如表2所示：

表2

（1）當(dāng)a=－2a，即a=0時(shí)，f′（x）=x2≥0恒成立，則f（x）在（－∞，+∞）上單調(diào)遞增.

（2）當(dāng)a＞－2a，即a＞0時(shí)，令f′（x）＞0?x＞a或x＜－2a；令f′（x）＜0?－2a＜x＜a.

則f（x）在（－∞，－2a）和（a，+∞）上單調(diào)遞增，在（－2a，a）上單調(diào)遞減.

（3）當(dāng)a＜－2a，即a＜0時(shí)，令f′（x）＞0?x＞－2a或x＜a；令f′（x）＜0?a＜x＜－2a.

則f（x）在（－∞，a）和（－2a，+∞）上單調(diào)遞增，在（a，－2a）上單調(diào)遞減.

綜上所述：a=0時(shí)，f（x）在（－∞，+∞）上單調(diào)遞增；a＞0時(shí)，f（x）在（－∞，－2a）和（a，+∞）上單調(diào)遞增，在（－2a，a）上單調(diào)遞減；a＜0時(shí)，f（x）在（－∞，a）和（－2a，+∞）上單調(diào)遞增，在（a，－2a）上單調(diào)遞減.

點(diǎn)評(píng)：上述兩例的函數(shù)定義域都是實(shí)數(shù)集R，只是討論根的存在和根的大小，若函數(shù)定義域不是實(shí)數(shù)集R，除了討論根的大小，還要注意f′（x）=0的根是否在定義域內(nèi)，從而產(chǎn)生分類討論.

綜上所述：略.

通過以上例題不難發(fā)現(xiàn)，只要利用導(dǎo)數(shù)解決函數(shù)問題的步驟掌握好，分類討論可能出現(xiàn)的地方就能注意到，就可以很容易解決這類問題了.