劉 飛，梁 霖，徐光華，2，針 釗，黃付中

(1.西安交通大學(xué)機(jī)械工程學(xué)院，西安 710049;2.西安交通大學(xué)機(jī)械制造系統(tǒng)工程國(guó)家重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室，西安 710054;3.大連機(jī)床(數(shù)控)股份有限公司技術(shù)中心，遼寧 大連 116620)

基于動(dòng)態(tài)測(cè)量模型的圓度誤差分離方法研究*

劉 飛1，梁 霖1，徐光華1，2，針 釗1，黃付中3

(1.西安交通大學(xué)機(jī)械工程學(xué)院，西安 710049;2.西安交通大學(xué)機(jī)械制造系統(tǒng)工程國(guó)家重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室，西安 710054;3.大連機(jī)床(數(shù)控)股份有限公司技術(shù)中心，遼寧 大連 116620)

針對(duì)精密加工過程中影響圓度誤差分離精度的問題，在軸截面的測(cè)量坐標(biāo)系中，根據(jù)傳感器和軸截面的運(yùn)動(dòng)關(guān)系建立起傳感器輸出的動(dòng)態(tài)測(cè)量模型，通過對(duì)圓度誤差分離算法的推導(dǎo)來(lái)研究其近似條件，并分析討論了角度參數(shù)及周期采樣點(diǎn)數(shù)對(duì)誤差分離的影響;在此基礎(chǔ)上，提出了一種提高分離精度的誤差分離方法，并通過實(shí)例驗(yàn)證了誤差分離的有效性。

圓度誤差;誤差分離;動(dòng)態(tài)模型

0 引言

圓度誤差作為評(píng)價(jià)圓柱體零件的一個(gè)重要指標(biāo)，在機(jī)械產(chǎn)品制造、航空航天和自動(dòng)化檢測(cè)領(lǐng)域中起著非常重要的作用。對(duì)于精密回轉(zhuǎn)體加工來(lái)說，如何有效的控制加工截面的圓度誤差將成為保障零件成形質(zhì)量的基本要求，而誤差分離技術(shù)可以準(zhǔn)確的獲得圓度誤差值。

從日本學(xué)者首次提出三點(diǎn)法圓度誤差分離技術(shù)(EST)以來(lái)，國(guó)內(nèi)外已經(jīng)有許多學(xué)者對(duì)圓度誤差分離技術(shù)進(jìn)行了大的研究［1-8］，并取得了可喜的研究成果。圓度誤差分離技術(shù)一般分為反向法、多步法和多點(diǎn)法。由于反向法利用重復(fù)定位，獲得測(cè)量值樣本數(shù)有限，故不能保障測(cè)量精度的一致性;多步法的操作相對(duì)復(fù)雜，主要用于回轉(zhuǎn)軸重復(fù)精度較高的離線測(cè)量;而多點(diǎn)法只需零件在傳感器的測(cè)量范圍內(nèi)做回轉(zhuǎn)運(yùn)動(dòng)，不需要對(duì)傳感器進(jìn)行轉(zhuǎn)位操作，適合在機(jī)測(cè)量。為此，許多學(xué)者又對(duì)圓度誤差分離方法進(jìn)行了進(jìn)一步的研究。但是，目前的研究缺乏對(duì)三點(diǎn)法原理進(jìn)行深入分析研究及適用條件，這就限制了在機(jī)精密圓度誤差的檢測(cè)應(yīng)用。

本文通過對(duì)傳感器和軸截面的運(yùn)動(dòng)關(guān)系，建立起動(dòng)態(tài)測(cè)量模型，對(duì)三點(diǎn)法誤差分離的推導(dǎo)來(lái)研究其適用條件，并分析討論了角度參數(shù)及周期采樣點(diǎn)數(shù)對(duì)誤差分離的影響;在此基礎(chǔ)上，提出了一種提高分離精度的誤差分離方法，并通過實(shí)例驗(yàn)證了分離的有效性。

1 圓度誤差分離的動(dòng)態(tài)測(cè)量模型

1.1 三點(diǎn)法圓度誤差分離的算法

圓度測(cè)量三點(diǎn)法基本原理為:圍繞主軸的測(cè)量截面上布置交于一點(diǎn)的三個(gè)傳感器S1、S2和S3，如圖1所示，且此三個(gè)傳感器與水平位置的夾角分別為0°、α 和 β。

圖1 三點(diǎn)法傳感器布置示意圖

那么，以三支傳感器的交點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)建立測(cè)量坐標(biāo)系，那么傳感器得到的測(cè)量數(shù)據(jù)分別為:

式中:Sm(θ)為第m個(gè)傳感器的測(cè)量值(m=1、2、3);r(θ)、r(θ+α)和r(θ+β)分別為第m個(gè)傳感器對(duì)應(yīng)的的圓度誤差;δx(θ)和δy(θ)分別為回轉(zhuǎn)誤差在X軸和Y軸上的分量。將式(1)中的三組測(cè)量值分別乘以權(quán)系數(shù)a、b、c并相加得到如式(2)所示的組合信號(hào)S(θ):

若要分離出圓度誤差r(θ)，則需要a+bcosα+ccosβ =0和bsinα +csinβ =0。當(dāng)取a=1時(shí)，求解出a、b、c，并代入式(2)化簡(jiǎn)可得 S(θ)=ar(θ)+br(θ+α)+cr(θ+β)，其離散化形式為S(i)=ar(i)+br(i+p)+cr(i+q)，其中 i= θN/2π，p= αN/2π，q=βN/2π。根據(jù)離散化的傅里葉變換及時(shí)延相移特性可得 Sf(k)=rf(k)(1+bej2πpk/N+cej2πqk/N)，其 k=0，1，2，…，N-1，令g(k)=1+bej2πpk/N+cej2πqk/N，則:

其中g(shù)(k)為權(quán)函數(shù);對(duì)其進(jìn)行傅里葉反變換，可得分離的圓度誤差r(i):

1.2 三點(diǎn)法測(cè)量的動(dòng)態(tài)模型

上述算法強(qiáng)調(diào)的是基本原理，而在測(cè)量過程中，由于軸截面的運(yùn)動(dòng)，其傳感器的輸出為動(dòng)態(tài)信號(hào)，那么其動(dòng)態(tài)測(cè)量模型可以表示如下，仍以三個(gè)傳感器測(cè)量軸線的交點(diǎn)o為坐標(biāo)原點(diǎn)，建立測(cè)量坐標(biāo)系xoy，某時(shí)刻軸截面在測(cè)量坐標(biāo)系中的位置如圖2所示。

圖中o'為被測(cè)截面的回轉(zhuǎn)中心，被測(cè)截面的轉(zhuǎn)動(dòng)角θ= ωt，設(shè)∠o'ox=.Ω，r(θ)為被測(cè)截面在θ處，截面圓輪廓的回轉(zhuǎn)中心到截面圓輪廓的距離，反映的是圓輪廓信息，δ(θ)為測(cè)量截面在轉(zhuǎn)動(dòng)角度θ后oo'之間的距離，測(cè)量時(shí)傳感器固定，被測(cè)對(duì)象的運(yùn)動(dòng)方向?yàn)轫槙r(shí)針旋轉(zhuǎn)，可以看出三個(gè)傳感器的感知距離分別為oA、oB和oC，根據(jù)幾何關(guān)系三個(gè)傳感器的輸出表達(dá)式為:

圖2 傳感器輸出的幾何原理

展開得到:

式中:Si(θ)為第 i個(gè)傳感器的感知量(i=1、2、3);δx(θ)為回轉(zhuǎn)運(yùn)動(dòng)誤差δ(θ)在測(cè)量坐標(biāo)系xoy中x軸上的分量;δy(θ)為回轉(zhuǎn)運(yùn)動(dòng)誤差 δ(θ)在測(cè)量坐標(biāo)系xoy中y軸上的分量;r(θ+φi+τi)是和傳感器實(shí)際數(shù)據(jù)相關(guān)的二乘心到對(duì)應(yīng)截面輪廓的距離(i=1、2、3);Ω是oo'與x軸的夾角，其隨著o'位置的不同而變化。而上式中 r(θ+ φi+ τi)的τi(i=1、2、3)為未知變動(dòng)量，無(wú)法得到它與r(θ+φi)之間的關(guān)系，因此，當(dāng)回轉(zhuǎn)誤差較小時(shí)可用r(θ+φi)代替r(θ+φi+τi)，因?yàn)?

通常Si(θ)和r(θ+φi+τi)為相同數(shù)量級(jí)，而δ(θ)則要小一個(gè)數(shù)量級(jí)，那么，當(dāng) δ(θ)足夠小時(shí)，τi趨近于0，則上式可化簡(jiǎn)為:

當(dāng)各個(gè)傳感器與水平位置的夾角取φ1=0，φ2= α+φ1=α，φ3=β+φ1=β時(shí)，即為式(1)所示的基本方程。

通過上述推導(dǎo)可見，考慮到軸截面的動(dòng)態(tài)運(yùn)行過程，三點(diǎn)法誤差分離方法實(shí)際上是圓度誤差的近似計(jì)算，那么，在實(shí)際應(yīng)用中需要滿足上述近似條件才能取得較好的結(jié)果。

2 圓度誤差分離的影響因素分析

從基本方程可知，若測(cè)量參數(shù)選擇不當(dāng)也會(huì)使圓度誤差分離結(jié)果失真。而從應(yīng)用角度來(lái)說，傳感器角度和周期采樣點(diǎn)數(shù)無(wú)疑是兩個(gè)重要影響因素。

2.1 角度誤差因素影響

由式(3)可以看出，當(dāng)權(quán)函數(shù)g(k)=0時(shí)，此式是一個(gè)不定式，在此情況下使r(k)=0，即圓度誤差中第k階諧波被抑制，便會(huì)導(dǎo)致分離結(jié)果失真。容易證明總有g(shù)(1)=0，即第1階諧波總是被抑制的，而恰好消除了安裝偏心的影響。而當(dāng)p，q和N具有大于1的公因數(shù)w時(shí)下式成立。

式中，m為任意整數(shù)。因此，只要選擇合適的p和q，使得p、q、N三個(gè)數(shù)有大于1的最大公因數(shù)時(shí)，就可以使除k=1以外的所有g(shù)(k)≠0，從而避免除一階以外的諧波被抑制掉。而p和q實(shí)際反映的是傳感器角度α和β，則不同參數(shù)選取將影響分離效果。

設(shè)截面圓輪廓形狀為橢圓，被測(cè)對(duì)象徑向截面的周期采樣點(diǎn)數(shù)N為256，α =70.3°、β =180°。在此參數(shù)設(shè)置條件下，其誤差分離結(jié)果如圖3所示，其中黑色曲線為原始圓輪廓，紅色圓圈為分離的圓輪廓。由圖中的對(duì)比可見:分離的圓度輪廓信號(hào)并不是很理想，原始和分離的圓輪廓相關(guān)系數(shù)僅為0.546，分離結(jié)果比較差。圖4為原始圓輪廓和分離的圓輪廓的頻譜對(duì)比圖，從可以看出:分離出來(lái)的圓度輪廓沒有完全的包含原來(lái)的圓度輪廓信息中所包含的主要頻率信息。

圖3 圓輪廓的對(duì)比

圖4 輪廓的頻譜圖像對(duì)比

用最小二乘圓法對(duì)圓度誤差進(jìn)行評(píng)定:原始圓輪廓的圓度誤差為3.233μm;分離的圓輪廓圓度誤差為2.497μm。兩個(gè)評(píng)定結(jié)果偏差較大，分離結(jié)果失真。

圖5所示為該角度參數(shù)下對(duì)權(quán)函數(shù)模|g(k)|的影響，其中權(quán)函數(shù)的模|g(k)|有64個(gè)零值，使得圓度輪廓信號(hào)中的主要奇次諧波被抑制，因此造成了圓度誤差分離的失真。

圖5 角度參數(shù)對(duì)權(quán)函數(shù)模的變化

若α不變而β=171.6°時(shí)，那么它對(duì)權(quán)函數(shù)模的影響如圖6所示，由此可見，權(quán)函數(shù)模|g(k)|的取值很少為零，因此，在此角度參數(shù)下權(quán)函數(shù)不產(chǎn)生諧波抑制，可以提取出理想的圓度誤差。

圖6 角度參數(shù)對(duì)權(quán)函數(shù)模的變化

通過以上分析可知，在實(shí)際應(yīng)用中，需要對(duì)角度參數(shù)的選取有一個(gè)全局性的把握，以避免實(shí)際測(cè)量時(shí)的盲目性。

2.2 周期采樣點(diǎn)數(shù)誤差因素

在實(shí)際測(cè)量中，機(jī)床主軸旋轉(zhuǎn)時(shí)往往存在速度波動(dòng)，即造成周期采樣點(diǎn)數(shù)存在誤差，那么會(huì)對(duì)諧波一致產(chǎn)生影響。

設(shè)定實(shí)際周期采樣點(diǎn)數(shù)N為2048點(diǎn)，而周期點(diǎn)數(shù)變化范圍為［2020，2070］，即偏差大概在實(shí)際點(diǎn)數(shù)的百分之一范圍內(nèi)，圖7為周期采樣點(diǎn)數(shù)的誤差對(duì)誤差分離精度的影響變化曲線，圖中曲線為分離的圓輪廓和原始圓輪廓的相關(guān)系數(shù)取值。

由此可見，當(dāng)計(jì)算所用的周期采樣點(diǎn)數(shù)和實(shí)際的周期采樣點(diǎn)數(shù)都為2048點(diǎn)時(shí)，相關(guān)系數(shù)為0.9929，相似程度較高，誤差分離的精度很高，而當(dāng)使用的周期采樣點(diǎn)數(shù)大于或小于實(shí)際點(diǎn)數(shù)時(shí)，相關(guān)系數(shù)都呈現(xiàn)下降趨勢(shì)，即精度損失呈變大趨勢(shì)。

圖7 周期采樣點(diǎn)數(shù)誤差對(duì)分離結(jié)果的影響

3 提高分離精度的測(cè)量算法

考慮到傳感器角度和周期采樣點(diǎn)數(shù)對(duì)分離結(jié)果的較大影響，在結(jié)合動(dòng)態(tài)測(cè)量模型，本文提出了一種提高分離精度的圓度誤差分離方法，其基本思想就是在被測(cè)件截面上貼裝一個(gè)磁性金屬標(biāo)記作為測(cè)量基準(zhǔn)(如圖8所示)，以此基準(zhǔn)來(lái)準(zhǔn)確測(cè)量周期采樣點(diǎn)數(shù)和角度值，在此基礎(chǔ)上，結(jié)合三點(diǎn)法誤差分離，可實(shí)現(xiàn)圓度誤差的有效分離，具體步驟如下:

圖8 角度測(cè)量示意圖

(1)通過數(shù)據(jù)采集獲得時(shí)間序列Xi，并對(duì)數(shù)據(jù)波形中的突變點(diǎn)按式(11)計(jì)算出被測(cè)對(duì)象的周期采樣點(diǎn)數(shù)，其中M為突變點(diǎn)的個(gè)數(shù);

(2)分別在傳感器S1、S2和S3所采集到的數(shù)據(jù)中確定突變點(diǎn)A的中心位置。采用式(12)、(13)便可以計(jì)算出角度參數(shù)pA和qA。

式(12)和(13)中，S1A、S2A和S3A分別為傳感器信號(hào)中突變點(diǎn)A的中心位置;αA、βA分別為用突變點(diǎn)A確定的傳感器S1與S2、S3之間的夾角;pA、qA分別為用突變點(diǎn)A確定的傳感器S1與S2、S3之間的夾角參數(shù);

(4)在精確獲得傳感器角度參數(shù)后，根據(jù)三點(diǎn)法誤差分離方法，計(jì)算權(quán)函數(shù)，并通過傅里葉反變換分離出圓度誤差。

4 實(shí)驗(yàn)測(cè)試分析

為了驗(yàn)證誤差分離方法的可行性，現(xiàn)對(duì)一直徑為40mm的圓柱形棒料進(jìn)行了實(shí)驗(yàn)測(cè)試。傳感器及安裝支架的定位如圖9所示，標(biāo)定好傳感器的測(cè)量基準(zhǔn)，并在被測(cè)件上貼上角度標(biāo)記，機(jī)床轉(zhuǎn)速為200 rpm，采樣頻率為2000Hz。

圖9 傳感器及保持支架的安裝

圖10所示為傳感器測(cè)量波形，其中突變點(diǎn)A為角度標(biāo)記點(diǎn)，計(jì)算得到角度精確的P和Q，進(jìn)而換算成角度值，即S1與S2之間的夾角.α=118.21°，S1與S3之間的夾角β=241.58°。

圖10 傳感器夾角的精確測(cè)量

對(duì)測(cè)量的角度參數(shù)進(jìn)行諧波抑制驗(yàn)證，若產(chǎn)生諧波抑制嚴(yán)重，則放棄此角度參數(shù)，重新選擇傳感器安裝位置，直到滿足測(cè)量要求為止。圖11所示為測(cè)量的角度參數(shù)的權(quán)函數(shù)變化波形，可以看出權(quán)函數(shù)的模 |g(k)|除了k=1外沒有零點(diǎn)，即不會(huì)產(chǎn)生諧波抑制作用，所以此角度參數(shù)符合測(cè)量要求。

最后，通過誤差分離計(jì)算得到被測(cè)件的圓輪廓并將其疊加在測(cè)試基圓上，如圖12所示。用最小二乘法評(píng)定分離出來(lái)的圓度誤差為41.85μm，為了驗(yàn)證分離結(jié)果的可靠性，將此被測(cè)對(duì)象用圓度儀進(jìn)行了測(cè)量，測(cè)量結(jié)果為41.37μm，兩次測(cè)量值偏差為0.5μm。由于傳感器分辨率以及傳感器安裝同心誤差的影響，可認(rèn)為結(jié)果基本一致。由此可見，基于三點(diǎn)法圓度誤差可實(shí)現(xiàn)圓度誤差的在機(jī)測(cè)量。

圖11 角度參數(shù)諧波抑制檢驗(yàn)

圖12 誤差分離得到的圓度輪廓

5 結(jié)論

對(duì)三點(diǎn)法圓度誤差分離技術(shù)在應(yīng)用中存在的問題進(jìn)行了研究與探討，提出了一種誤差分離的模擬與分析方法。并分析討論了角度參數(shù)和周期采樣點(diǎn)數(shù)對(duì)誤差分離精度的影響，最后通過實(shí)例驗(yàn)證了誤差分離的有效性。

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Study of Roundness Error Separation based on Dynamic Measuring Model

LIU Fei1，LIANG Lin1，Xu Guang-hua1，2，ZHEN Zhao1，HANG Fu-zhong3
(1.School of Mechanical Engineering，Xi’an Jiaotong University，Xi’an 710049，China;2.The State Key Laboratory for Manufacturing Systems Engineering，Xi’an Jiaotong University，Xi’an 710054，China)

Aiming at the accuracy of roundness error separation in precision machining，according to the relationship between axisymmetric body and sensors，the dynamic measuring model for motion of axisymmetric body cross section is built，meanwhile the mathematic expression of sensors output is deduced to analyze the approximate condition of error separation.Then，the effect factors of angular error and periodic sampling error which effect error separation result are discussed.Thus a method of roundness error separation which improving accuracy of separation is proposed，and test results show that the modeling study is very effective for roundness error separation and suppressing effects of errors in workpiece machining.

roundness error;error separation;dynamic model

TH165.3

A

1001-2265(2012)12-0092-04

2012-02-13;

2012-04-12

機(jī)床重大專項(xiàng)項(xiàng)目資助(2009ZX04001-051)

劉飛(1979—)，男，河北隆堯人，西安交通大學(xué)機(jī)械工程學(xué)院博士研究生，主要研究方向?yàn)闄C(jī)械故障診斷、精密測(cè)量技術(shù)，(E-mail)lf.7902@stu.xjtu.edu.cn。

(編輯 趙蓉)