○王素琴

（湖北第二師范學(xué)院數(shù)學(xué)與數(shù)量經(jīng)濟(jì)學(xué)院湖北 武漢 430205）

套利是投資者最為關(guān)注的內(nèi)容，也是投資者尋找的內(nèi)容，它充實(shí)著金融市場。套利是研究金融中均衡性和公平性的重要工具，所以，無論是理論還是實(shí)證，套利一直都是金融領(lǐng)域研究的主要課題。

研究套利的理論有很多，其中很多都是數(shù)理金融理論中最重要的理論基礎(chǔ)，這些既被用于研究套利，也被用于導(dǎo)出數(shù)理金融中的其他結(jié)論。研究套利的方法很多，如中性概率分布和狀態(tài)價格向量，也有很多方法來證明相關(guān)理論結(jié)論，這些方法各有優(yōu)劣，可以從某些方面揭示套利的實(shí)質(zhì)。

單純從數(shù)學(xué)上看，套利實(shí)際為兩組線性不等式組的關(guān)系。本文利用線性不等式組、線性系統(tǒng)或線性錐系統(tǒng)的擇一性和對偶性來構(gòu)造狀態(tài)價格向量，并說明無套利與狀態(tài)價格向量為一對偶關(guān)系，進(jìn)而說明中性概率分布和狀態(tài)價格向量之間的關(guān)系。

一、預(yù)備知識

1、一些記號

設(shè)市場有n個風(fēng)險資產(chǎn)，每種資產(chǎn)在未來時刻1有l(wèi)個狀態(tài)，第i個資產(chǎn)在第j個狀態(tài)出現(xiàn)時的收益率為ri（j），價格為Pji（i=1，2，…，n；j=1，2，…，l）。記：

投資策略向量（資產(chǎn)組合）：x=（x1，x2，…，xn）T；

概率向量：p=（p1，p2，…，pl）T；

第i個資產(chǎn)在當(dāng)前時刻0的價格（初始價格）為vi（i=1，2，…，n），記：

初始價格向量：v=（v1，v2，…，vn）T；

其中：Zji=Pji/vi（i=1，2，…，n；j=1，2，…，l）為在時刻1狀態(tài)j出現(xiàn)時第i個資產(chǎn)的總收益率，有關(guān)系：

如果 x∈R+n，x≠0，則稱 x≥0，同樣可以定義 x≥y。

2、擇一定理

設(shè)A是矩陣，x、u是列向量。

引理1 對齊次線性不等式組：

（Ⅰ） Ax≥0；

（Ⅱ） ATu=0、u＞0，

則（Ⅰ）有解的充分必要條件是（Ⅱ）無解。

引理 2 設(shè) x∈Rn、u∈Rm、A∈Rm×n；Cx為 Rn中其錐，其對偶錐為C*x，考慮線性錐系統(tǒng)：

（Ⅰ） x∈Cx，Ax≥0；

（Ⅱ） -ATu∈C*x，u＞0，

則（Ⅰ）有解的充分必要條件是（Ⅱ）無解。

3、套利定理

引理3（套利定理）下列結(jié)論有且只有一個正確：

（Ⅰ） 存在投資策略x使得：Rx＞0；

（Ⅱ） 存在概率向量p使得：RTp=0。

套利定理表明，在所有的狀態(tài)集合中，要么一定有套利，要么一定無套利。并且在無套利情況下，存在一個概率分布，在這個分布下，每種投資的期望收益均為0，這個概率分布也稱為風(fēng)險中性概率分布。

二、狀態(tài)價格向量的構(gòu)造

1、概念

套利機(jī)會：如果有投資組合x滿足下列條件之一：

（1） vTx≤0，Px≥0

（2） vTx≥0，Px≤0

則稱存在套利機(jī)會，反之亦然。

即在0和1時刻資產(chǎn)組合價值的正負(fù)性不同，則有套利機(jī)會。

狀態(tài)價格向量：如果有α∈Rl滿足：

PTα=v 或 ZTα=1

則稱向量α為支持資產(chǎn)系統(tǒng)P或Z的狀態(tài)價格向量。

當(dāng)資產(chǎn)系統(tǒng)存在價格向量時，每種資產(chǎn)在0時刻的價格向量都可以用1時刻資產(chǎn)在各種狀態(tài)的價格線性表示。

2、狀態(tài)價格向量的構(gòu)造

定理1資產(chǎn)系統(tǒng)不存在套利機(jī)會的充分條件是存在支持該資產(chǎn)系統(tǒng)的狀態(tài)價格向量α∈R+l+。

證明：由套利機(jī)會的定義，不存在套利機(jī)會等價，下列兩組線性不等式組無解：

無解。

由引理1，此二線性不等式組等價：

有解。

統(tǒng)一為：

有解。

證畢。

三、結(jié)論與討論

判斷套利的方法有很多種，判斷狀態(tài)價格向量是否存在就是其中的方法之一。

從單純數(shù)學(xué)角度上看，判斷套利只是關(guān)于一類線性不等式組的一個關(guān)系問題，而擇一定理正是處理和揭示這類線性不等式組一些性質(zhì)的理論基礎(chǔ)，所以，從簡單思維上看是很容易將兩者結(jié)合起來的。

以下是用擇一定理來證明無套利與存在狀態(tài)價格向量等價，從證明過程可見，證明過程簡潔明了，也很簡單。

1、利用線性錐系統(tǒng)的擇一定理（引理2）來證明這個結(jié)論

由引理2即可得到（1）式。

可見，無套利與狀態(tài)價格向量實(shí)為一對偶關(guān)系，這為套利的應(yīng)用提供了理論基礎(chǔ)和廣闊的領(lǐng)域。

2、套利定理（引理3）和定理1都是判斷套利的等價條件

套利定理表明，無套利的等價條件是存在風(fēng)險中性概率，使每種投資期望收益均為0的。

定理1表明無套利的等價條件是存在正狀態(tài)價格向量，使每種資產(chǎn)在0時刻的價格向量都可以用1時刻資產(chǎn)在各種狀態(tài)的價格正線性表示。

由此可得，存在風(fēng)險中性概率和存在正狀態(tài)價格向量也是等價的。

當(dāng)然，可以進(jìn)一步討論風(fēng)險中性概率和狀態(tài)價格向量之間的關(guān)系。

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