王世宇 ，霍咪娜，修 杰，宋軼民，劉建平，曹樹謙

(1. 天津大學(xué)機(jī)械工程學(xué)院，天津 300072；2. 天津市非線性動力學(xué)與混沌控制重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室，天津 300072；3. 天津大學(xué)電氣與自動化工程學(xué)院，天津 300072)

永磁電機(jī)是一種以磁場為媒介的機(jī)電能量轉(zhuǎn)換裝置，具有節(jié)能、環(huán)保、結(jié)構(gòu)簡單等顯著優(yōu)點(diǎn)．最具代表性的永磁電機(jī)是稀土釹鐵硼(NdFeB)電機(jī)，其具有高效節(jié)能、運(yùn)行可靠且不含戰(zhàn)略金屬鈷等顯著優(yōu)點(diǎn)．然而，該類電機(jī)本質(zhì)上為含脈動激勵的對稱系統(tǒng)，因而將不可避免地產(chǎn)生磁致振動．在許多重要應(yīng)用領(lǐng)域，振動水平是衡量電機(jī)性能的關(guān)鍵技術(shù)指標(biāo)．

現(xiàn)有文獻(xiàn)對永磁電機(jī)的振動抑制問題開展了廣泛而深入的研究，已提出許多卓有成效的方法，例如槽極組合[1-16]、斜槽[11]、斜極[11]、輔助槽[17]、極弧系數(shù)調(diào)整[18]及磁極偏移[19]等．應(yīng)當(dāng)指出，為了降低成本，需要在設(shè)計階段開展振動預(yù)測及抑制工作．槽極組合是一種可在設(shè)計階段實(shí)施的最簡便、最經(jīng)濟(jì)的減振手段，同時也是其他減振方法順利實(shí)施的基本前提．現(xiàn)有文獻(xiàn)對槽極組合問題開展了許多研究．文獻(xiàn)[1]驗(yàn)證了整數(shù)槽電機(jī)的減振效果．文獻(xiàn)[2]指出：增大槽極組合的最小公倍數(shù)可有效抑制轉(zhuǎn)矩脈動．文獻(xiàn)[7]認(rèn)為增大槽極組合的最小公倍數(shù)且減小其最大公因子可有效抑制轉(zhuǎn)矩脈動．文獻(xiàn)[13]認(rèn)為槽極數(shù)互質(zhì)有利于減小轉(zhuǎn)矩脈動．顯然，上述結(jié)論具有一致性，即增大最小公倍數(shù)可以抑制振動．然而，對于槽極公因子的相關(guān)分析，現(xiàn)有文獻(xiàn)還存在分歧．文獻(xiàn)[11]認(rèn)為當(dāng)槽極最大公因子大于 1時，可抑制不平衡磁拉力．文獻(xiàn)[12]認(rèn)為偶數(shù)槽可抑制不平衡磁拉力．但文獻(xiàn)[13]認(rèn)為若槽極最大公因子為 2，4，6，…，或 3，9，15，…，可抑制不平衡磁拉力；若為 1，5，7，…，則會激起不平衡磁拉力．由于磁極數(shù)均為偶數(shù)，因而文獻(xiàn)[11-12]所得結(jié)論相同．盡管文獻(xiàn)[13]研究了最大公因子與不平衡磁拉力的關(guān)系，但所得結(jié)論與文獻(xiàn)[11-12]相矛盾．

綜上分析，筆者將研究永磁電機(jī)的槽極組合與不平衡磁拉力及脈動轉(zhuǎn)矩的關(guān)系，澄清現(xiàn)有文獻(xiàn)之間的分歧．鑒于該類電機(jī)的機(jī)械及電磁對稱性以及內(nèi)在激勵的脈動性，在具體研究過程中，將借鑒行星傳動領(lǐng)域的相位調(diào)諧方法(Planet phasing)[19-20]研究永磁電機(jī)的磁拉力特性．

1 數(shù)學(xué)建模

1.1 基本假設(shè)

為方便分析，現(xiàn)作如下假設(shè)：①將磁拉力等效為作用于定子齒幾何形心的等效集中力；②定/轉(zhuǎn)子均為剛體且有3個自由度：2平移，1轉(zhuǎn)動；③滿足機(jī)械及電磁對稱條件；④定子處于開路狀態(tài)．

1.2 數(shù)學(xué)模型

圖1 磁拉力示意Fig.1 Schematic of magnetic pull

圖 1為內(nèi)轉(zhuǎn)子永磁電機(jī)的計算模型．圖中 Ns和Nm分別為齒槽數(shù)和磁極數(shù)，坐標(biāo)系 xoy固接于定子．不失一般性，假定x軸指向第 1個定子齒的幾何形心，則該定子齒與x軸正向的夾角ψ1=0，因此第i(i = 1 , 2,???, Ns)個定子齒的相應(yīng)夾角ψi= 2 π(i ? 1 )/Ns.圖中 Fti和 Fri分別為作用于第i個定子齒的切向及徑向磁拉力．

1.3 磁拉力相位分析

在永磁電機(jī)中，主磁通沿徑向進(jìn)入氣隙，進(jìn)而產(chǎn)生作用于定子的徑向及切向磁拉力．在坐標(biāo)系 xoy下，轉(zhuǎn)子每旋轉(zhuǎn) 1周，所有磁極將與某一特定的定子齒掃過mN 次，相應(yīng)的磁拉力脈動頻率

式中0ω為電機(jī)的轉(zhuǎn)速．

第i個定子齒與x軸的夾角

作用于相鄰定子齒的磁拉力相位差

由式(2)和式(3)可得作用于第i個定子齒的磁拉力相角

式(4)描述了磁拉力之間的相位超前及滯后關(guān)系．

1.4 不平衡磁拉力分析

假定作用于第 i個定子齒的徑向及切向磁拉力分別為

對整數(shù)m和N，有[20]

為方便分析，定義相位調(diào)諧因子

式中 m od ( a /b)表示a除以b的余數(shù)．根據(jù)三角函數(shù)的運(yùn)算特性，式(6)右端各項(xiàng)取值規(guī)律相似．篇幅所限，僅分析第1項(xiàng)，即

1.5 脈動轉(zhuǎn)矩分析

仍然采用傅里葉級數(shù)分析由切向磁拉力形成的轉(zhuǎn)矩脈動規(guī)律．假定作用于第i個定子齒的力矩為

1.6 相位調(diào)諧映射關(guān)系

改變槽極組合將引起齒槽與磁極相對位置的改變，進(jìn)而影響電機(jī)的受力及振動特性．由上述結(jié)果可得：①若 k = 0 ，將抑制不平衡磁拉力，同時激起脈動轉(zhuǎn)矩；②若 k =1 或 Ns?1，將產(chǎn)生不平衡磁拉力，同時抑制脈動轉(zhuǎn)矩；③若 k =2, 3, 4, … , Ns?2，將同時抑制不平衡磁拉力和脈動轉(zhuǎn)矩．圖 2以四齒定子為例示出了 3種典型的受力狀態(tài)．相應(yīng)地，定子將分別呈現(xiàn)扭轉(zhuǎn)振動模式(rotational mode，RM)、平移振動模式(translational mode，TM)和平衡模式(balanced mode，BM)．進(jìn)一步分析可知，若槽極最大公因子為Q，則相位調(diào)諧因子的取值滿足 k ∈ [ Q ,? Q ][16,21]，據(jù)此可得表 1所述規(guī)律．此外，若 Q ＞1，將抑制不平衡磁拉力．該結(jié)論與文獻(xiàn)[11-12]相符．但是，應(yīng)當(dāng)指出的是，隨著磁拉力諧波階次的變化，定子可呈現(xiàn)扭轉(zhuǎn)振動或受力平衡狀態(tài)．

圖2 定子受力示意Fig.2 Magnetic forces on stators

表1 永磁電機(jī)相位調(diào)諧Tab.1 Phase tuning of PM motors

2 仿真驗(yàn)證

2.1 仿真算例及磁拉力計算方法

為驗(yàn)證相位調(diào)諧規(guī)律的正確性，設(shè)計了激勵相位不同的永磁電機(jī)，僅調(diào)整了齒槽數(shù)，使電機(jī)的差別主要體現(xiàn)在槽極組合及其產(chǎn)生的受力特性．具體配合為8極15槽和8極12槽，其他參數(shù)見表2．

表2 永磁電機(jī)基本參數(shù)Tab.2 Basic parameters of PM motors

為驗(yàn)證磁拉力的疊加效果，在仿真過程中，分別計算作用于單個定子齒的切向及徑向磁拉力，然后分析其疊加效果．為了清晰地顯示磁拉力的變化規(guī)律，還采用瞬態(tài)磁場有限元及麥克斯韋應(yīng)力張量法計算每個瞬時的徑向及切向磁拉力．磁拉力的離散計算格式為

式中0μ、N、rB、tB、r和θΔ分別為真空磁導(dǎo)率、路徑的離散點(diǎn)個數(shù)、徑向磁通密度、切向磁通密度、半徑和旋轉(zhuǎn)步長．

2.2 8極15槽電機(jī)

圖3為某一瞬時8極1槽和8極15槽電機(jī)的磁力線分布．圖 4為該瞬時的徑向及切向氣隙磁通密度．磁極和齒槽數(shù)越多，磁力線分布越均勻，因而 8極15槽電機(jī)的磁力線分布更加對稱．

圖3 磁場分布Fig.3 Flux distribution

圖4 氣隙磁通密度(8極15槽)Fig.4 Air-gap magnetic flux density(8,pole/15,slot)

圖5 永磁電機(jī)不平衡磁拉力(8極15槽)Fig.5 UMP of PM motors(8,pole/15,slot)

圖6 不平衡磁拉力諧波分析(8極15槽)Fig.6 Fourier analysis of UMP(8,pole/15,slot)

圖 5為不平衡磁拉力的仿真結(jié)果．若忽略計算誤差，兩個正交方向的磁拉力變化規(guī)律基本相同，僅初始相位不同．對其進(jìn)行諧波分析，可得圖 6所示結(jié)果．由圖6可知，8極1槽電機(jī)的磁拉力存在第8階和第 16階諧波．轉(zhuǎn)子旋轉(zhuǎn) 1周，作用于定子齒的磁拉力將脈動8個周期，因此第8階和第16階諧波應(yīng)分別為等效基波和等效2階諧波．顯然，8極15槽電機(jī)抑制了等效基波，存在等效 2階諧波．由表 1可知，與等效第1階和第2階諧波對應(yīng)的相位調(diào)諧因子分別為8和1，此時分別抑制和激起不平衡磁拉力．上述仿真結(jié)果與本文的理論分析相符．

圖 7為脈動轉(zhuǎn)矩及其諧波分析．與徑向磁拉力的分析過程相同，轉(zhuǎn)子仍然旋轉(zhuǎn) 1周，轉(zhuǎn)矩也脈動了8個周期，所以第8階諧波即為等效基波．從圖7(b)可以看出，8極1槽電機(jī)轉(zhuǎn)矩的等效基波和等效2階諧波較顯著，而這兩階諧波在 8極 15槽電機(jī)中均受到不同程度的抑制．由表 1可知，若等效諧波階數(shù)為1和 2，則相位調(diào)諧因子分別為8和1，此時恰好抑制轉(zhuǎn)矩脈動．上述仿真結(jié)果與本文的理論推導(dǎo)一致．

圖9 氣隙磁通密度(8極12槽)Fig.9 Air-gap magnetic flux density(8,pole/12,slot)

圖7 脈動轉(zhuǎn)矩及其諧波分析(8極15槽)Fig.7 Cogging torques and Fourier analysis(8,pole/15,slot)

圖10 永磁電機(jī)不平衡磁拉力(8極12槽)Fig.10 UMP of PM motors(8,pole/12,slot)

2.3 8極12槽電機(jī)

圖8 為8極12槽電機(jī)某一瞬時的磁力線分布，其中圖 8(a)和圖 8(b)分別對應(yīng) 8極1槽和 8極 12槽電機(jī)．圖 9為該瞬時的徑向和切向磁通密度．顯然，8極12槽電機(jī)的磁力線分布更對稱．轉(zhuǎn)子每旋轉(zhuǎn)1周，作用于定子齒的磁拉力脈動mN 次．

圖 10為電機(jī)的徑向及切向磁拉力脈動規(guī)律．由表 1可知，偶數(shù)齒槽應(yīng)抑制不平衡磁拉力．若忽略計算誤差，圖10所示不平衡磁拉力為0．

對脈動轉(zhuǎn)矩進(jìn)一步分析可得圖11所示脈動轉(zhuǎn)矩分析結(jié)果．由于轉(zhuǎn)子仍然旋轉(zhuǎn)1周，所以第8階諧波仍為等效基波．8極1槽電機(jī)存在等效第1和第2階諧波，但這兩階諧波在 8極 12槽電機(jī)中均受到不同程度的抑制．根據(jù)表1所述結(jié)論，與等效第1階和第2階諧波對應(yīng)的相位調(diào)諧因子分別為8和4，應(yīng)當(dāng)抑制脈動轉(zhuǎn)矩．脈動轉(zhuǎn)矩分析由上述分析可見，仿真結(jié)果與本文的理論推導(dǎo)一致．

圖11 脈動轉(zhuǎn)矩及其諧波分析(8極12槽)Fig.11 Cogging torques and Fourier analysis(8,pole/12,slot)

3 結(jié) 論

(1) 揭示了槽極組合與受力特性尤其是 3種典型振動模式之間的映射關(guān)系．3種振動模式分別為扭轉(zhuǎn)振動模式、平移振動模式和受力平衡模式．其中，扭轉(zhuǎn)和平移模式分別由脈動轉(zhuǎn)矩和不平衡磁拉力激起，在平衡模式下磁拉力受到完全抑制．

(2) 若槽極最大公因子大于 1，將抑制不平衡磁拉力．該結(jié)論與文獻(xiàn)[11-12]一致．但應(yīng)當(dāng)指出，磁拉力的某些諧波仍可激起轉(zhuǎn)矩脈動，具體情形可采用相位調(diào)諧因子進(jìn)行預(yù)測．欲減小轉(zhuǎn)矩脈動，應(yīng)增加定子齒數(shù)，避免出現(xiàn)轉(zhuǎn)矩的低階脈動諧波激起的顯著振動.

(3) 機(jī)械及電磁對稱是本文工作的基礎(chǔ)．由于工程領(lǐng)域存在許多諸如永磁電機(jī)和行星傳動的旋轉(zhuǎn)對稱式,動力/傳動系統(tǒng)，因而可采用相位調(diào)諧方法研究參數(shù)與動態(tài)響應(yīng)之間的映射關(guān)系，進(jìn)而可為動態(tài)設(shè)計提供技術(shù)指導(dǎo)．

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