李善勛

（洪都航空工業(yè)集團(tuán)，江西 南昌 330024）

0 引言

在工程中，經(jīng)常需要求解結(jié)構(gòu)強(qiáng)迫運(yùn)動(dòng)的問題，典型的情況如求橋梁、建筑物在地震時(shí)的響應(yīng)，以及飛機(jī)在空中飛行時(shí)設(shè)備、附件的響應(yīng)等，這類問題的一個(gè)共同特點(diǎn)是人們無法直接獲得結(jié)構(gòu)所承受的載荷，而只能得到結(jié)構(gòu)所承受基礎(chǔ)施加的加速度、速度或位移隨時(shí)間和頻率的變化信息，利用上述信息，用“大質(zhì)量法”或拉格朗日乘子法可以解決結(jié)構(gòu)的瞬態(tài)或頻率響應(yīng)分析問題。

某型飛機(jī)的儀表板是材料為LY12的機(jī)加件，飛機(jī)的各儀表、顯示器都安裝在該儀表板上，儀表板通過減震墊及其支持結(jié)構(gòu)安裝在飛機(jī)的口框梁上。該型飛機(jī)在顫振試飛中，儀表板出現(xiàn)了振動(dòng)情況，據(jù)飛行員反映，儀表板的振動(dòng)頻率大約在15 Hz左右，儀表板的振動(dòng)嚴(yán)重影響了飛行員對飛機(jī)的操控，顫振試飛任務(wù)也由于儀表板的振動(dòng)問題而進(jìn)度減緩。為了解決儀表板的振動(dòng)問題，分析飛機(jī)儀表板隨頻率變化的加速度響應(yīng)，本文采用大質(zhì)量法對飛機(jī)儀表板進(jìn)行了頻率響應(yīng)分析。

1 理論簡介

用“大質(zhì)量法”建立強(qiáng)迫運(yùn)動(dòng)模型（圖1）。

圖1 大質(zhì)量法模型

在圖中，假設(shè)M0比m大許多，u··為大質(zhì)量運(yùn)動(dòng)的加速度，“大質(zhì)量”M0與感興趣結(jié)構(gòu)之間連接為剛性。假定大質(zhì)量M0對于感興趣的結(jié)構(gòu)的激勵(lì)輸入及m的響應(yīng)均為正弦函數(shù)，即輸入

為使系統(tǒng)獲得加速度u··，需施加的載荷為P=(M0+m)u··，在m遠(yuǎn)小于M0的情況下，P≈M0u··，用M0代替（M0+m），載荷輸入誤差為m/（M0+m），這樣系統(tǒng)的運(yùn)動(dòng)方程為：

式（1）中[M]為質(zhì)量矩陣，[B]為阻尼矩陣，[K]為剛度矩陣。

假設(shè)

其中[φ]為系統(tǒng)的模態(tài)變形矩陣，則可把變量從物理坐標(biāo)系{u(x)}轉(zhuǎn)換為模態(tài)坐標(biāo)系{ξ（ω）}。

把（2）式帶入（1）式，兩邊同除eiwt得

兩邊同時(shí)乘以模態(tài)變形矩陣的轉(zhuǎn)置矩陣[φ]T，得

若阻尼矩陣可以被正交，則根據(jù)模態(tài)正交性（4）式變?yōu)椋?/p>

其中，mj＝j(luò)階模態(tài)質(zhì)量，bj＝j(luò)階模態(tài)阻尼，kj＝j(luò)階模態(tài)剛度，pj＝j(luò)階模態(tài)力，（5）式中每階模態(tài)的響應(yīng)為

再由（2）式可計(jì)算出系統(tǒng)在物理坐標(biāo)下的響應(yīng)。

2 計(jì)算模型建立

2.1 儀表板結(jié)構(gòu)簡介

某型飛機(jī)原狀態(tài)儀表板結(jié)構(gòu)三維圖如圖2所示，儀表板為材料LY12的機(jī)加件，厚度為4 mm，邊緣厚度為5 mm，儀表板通過上、下4個(gè)減震墊與機(jī)體結(jié)構(gòu)連接。改進(jìn)后的儀表板結(jié)構(gòu)如圖3所示，儀表板由儀表板主面板和儀表板加強(qiáng)件兩部分組成。儀表板主面板為材料LY12的機(jī)加件，面板厚度為4 mm，邊緣厚度為8 mm，儀表板加強(qiáng)件為材料LY12的機(jī)加件，厚度為4 mm至5 mm，儀表板主面板和儀表板加強(qiáng)件用螺栓連接，儀表板加強(qiáng)件通過螺栓與機(jī)體結(jié)構(gòu)連接。

圖2 某型飛機(jī)原狀態(tài)儀表板三維圖

圖3 某型飛機(jī)儀表板改進(jìn)方案三維圖

2.2 儀表板有限元模型介紹

儀表板有限元模型用體元（Tet10）、點(diǎn)單元、梁元及MPC元建立。儀表板面板、加強(qiáng)件用體元建立，在各顯示器及質(zhì)量較大的儀表重心處創(chuàng)建集中質(zhì)量點(diǎn)，在集中質(zhì)量點(diǎn)上施加慣性載荷，通過MPC單元將集中質(zhì)量點(diǎn)與儀表板骨架相連。原方案與改進(jìn)方案的儀表板有限元模型如圖4、圖5所示。

圖4 儀表板原方案有限元模型

2.3 大質(zhì)量的選取及施加

在距飛機(jī)儀表板1 000 mm處創(chuàng)建大質(zhì)量單元，儀表板通過螺栓連接在飛機(jī)口框梁上，飛機(jī)的質(zhì)量約為7×103kg，原方案儀表板系統(tǒng)的實(shí)際質(zhì)量為26 kg，根據(jù)參考文獻(xiàn)，大質(zhì)量通常取分析模型質(zhì)量的103～108倍。在實(shí)際計(jì)算中，一般取分析質(zhì)量的106倍，所以大質(zhì)量值取為2.6×107kg，這樣處理的結(jié)果計(jì)算載荷輸入誤差小于10-6數(shù)量級(jí)，滿足工程要求。大質(zhì)量在模型中的處理通常有兩種方法，一種是在結(jié)構(gòu)的每個(gè)約束點(diǎn)上分別施加一個(gè)大質(zhì)量，這種方法會(huì)給計(jì)算帶來誤差，另一種方法是把各個(gè)約束點(diǎn)用剛性單元連接起來，然后在一個(gè)約束點(diǎn)上施加一個(gè)大質(zhì)量。根據(jù)以上討論，計(jì)算模型最后確定為把一個(gè)2.6×107kg的大質(zhì)量施加于一用剛性單元連接起來的約束點(diǎn)上，儀表板的有限元模型如圖4所示，在大質(zhì)量上施加一個(gè)隨頻率變化的單位力，根據(jù)地面共振試驗(yàn)數(shù)據(jù)，某型飛機(jī)的振動(dòng)頻率范圍為0 Hz～80 Hz。用同樣的方法選取改進(jìn)方案的大質(zhì)量。在計(jì)算中采用的載荷曲線如圖6所示。

圖5 儀表板改進(jìn)方案有限元模型

圖6 載荷隨頻率變化關(guān)系圖

2.4 計(jì)算方法及參數(shù)確定

求解方程（1）可用直接法或模態(tài)法，考慮到儀表板有限元模型規(guī)模較大，且我們關(guān)心的響應(yīng)頻率范圍較小（為0 Hz～80 Hz），最后選用模態(tài)法。根據(jù)模態(tài)提取的最高頻率至少應(yīng)大于所關(guān)注頻率的2倍的原則，在計(jì)算中用蘭瑟士（Lanczos）法提取了0 Hz～240 Hz范圍內(nèi)的所有模態(tài)，飛機(jī)儀表板材料為LY12,根據(jù)金屬材料的特性，選取阻尼系數(shù)為0.002。

在以上邊界條件下，對原方案和改進(jìn)方案兩種方案進(jìn)行比較計(jì)算（原方案如圖2所示，改進(jìn)方案如圖3所示）。

3 計(jì)算結(jié)果

原方案儀表板的振動(dòng)加速度隨頻率變化的曲線如圖7所示，從曲線可以看出，在頻率為15 Hz左右時(shí)，儀表板的振動(dòng)加速度最大。改進(jìn)儀表板方案后，儀表板的振動(dòng)加速度隨頻率變化曲線如圖8所示，從曲線可以看出，在頻率為55 Hz左右時(shí)，儀表板的振動(dòng)加速度最大。從計(jì)算結(jié)果可以看出，兩種方案的計(jì)算結(jié)果差別較大。

圖7 原方案儀表板加速度—頻率響應(yīng)曲線

圖8 改進(jìn)方案儀表板加速度—頻率響應(yīng)曲線

4 計(jì)算結(jié)果分析

從原方案的振動(dòng)頻率響應(yīng)曲線可以看出，在頻率約為15 Hz左右，儀表板的振動(dòng)加速度最大。由某型飛機(jī)的地面共振試驗(yàn)可知，機(jī)身垂直一彎、二彎的頻率分別為17.59 Hz和29.60 Hz，機(jī)身水平一彎的頻率為17.77 Hz。儀表板的振動(dòng)頻率很接近機(jī)身垂直一彎和水平一彎的頻率，由此可以推測，某型飛機(jī)在顫振試飛中儀表板發(fā)生振動(dòng)的原因是儀表板的振動(dòng)頻率沒有避開飛機(jī)機(jī)身的振動(dòng)頻率，儀表板的振動(dòng)是由飛機(jī)機(jī)體的振動(dòng)引起的。改進(jìn)后儀表板的振動(dòng)頻率約為55 Hz左右，避開了飛機(jī)機(jī)體的振動(dòng)頻率，雖然在15 Hz左右仍有一個(gè)峰值，但其對應(yīng)的振動(dòng)量級(jí)很小，儀表板按改進(jìn)方案進(jìn)行改進(jìn)后，其減振效果很明顯。

5 結(jié)語

1）原方案儀表板的振動(dòng)頻率與飛機(jī)機(jī)身的振動(dòng)頻率相接近，同為15 Hz左右。二者頻率接近是造成儀表板振動(dòng)的主要原因；

2）儀表板方案改進(jìn)后的計(jì)算結(jié)果顯示，儀表板的第一階峰值頻率已轉(zhuǎn)移至55 Hz左右，高于飛機(jī)機(jī)身的振動(dòng)頻率，與原方案相比，在頻率為15 Hz左右時(shí)儀表板的振動(dòng)量級(jí)有了明顯的減?。?/p>

3）解決飛機(jī)上各成、附件的振動(dòng)，有兩種辦法。一是改變其支持結(jié)構(gòu)的振動(dòng)頻率，二是減小其振動(dòng)量級(jí)，用大質(zhì)量法計(jì)算振動(dòng)頻率對于解決工程上同類振動(dòng)問題有一定的借鑒意義；

4）由于激勵(lì)載荷的曲線假設(shè)為直線，與實(shí)際情況略有出入。如果激勵(lì)載荷采用試驗(yàn)數(shù)據(jù)，用大質(zhì)量法可以得到更準(zhǔn)確的計(jì)算結(jié)果。

[1]張阿舟主編.實(shí)用振動(dòng)工程（第一冊）.北京：航空工業(yè)出版社，1996.

[2]Blakely Ken.Basic Dynamic Analysis，MSC/NASTRAN User's Guide Version 68.The MacNeal-Schwendler Corpora-tion，1993.

[3]李增綱.Nastran快速入門與實(shí)例.北京：國防工業(yè)出版社，2007.