陳合龍，姜鳳華，何春木

（臺州學(xué)院 建筑工程學(xué)院，浙江 臺州318000）

計(jì)算彎曲變形的方法比較多，常用的方法有積分法［1-7］、初參數(shù)法［8-10］、能量法［9-12］和虛功法［13］。積分法和初參數(shù)法適合計(jì)算直桿或折桿彎曲的位移，但無法計(jì)算曲桿彎曲的位移；拓展后的積分法可分析超靜定結(jié)構(gòu)的彎曲變形問題［6-7］。虛功法基于虛功原理來計(jì)算彎曲位移，但是它的計(jì)算過程涉及多次彎矩計(jì)算，而且每次只能計(jì)算一個(gè)點(diǎn)在一個(gè)方向的位移［13］。實(shí)際上，常用方法都回避了彎曲變形問題是幾何問題這一本質(zhì)，因而它們都有缺陷。基于這個(gè)思路，本研究從彎曲變形的幾何性出發(fā)，利用基本的變形-內(nèi)力關(guān)系，筆者找到了計(jì)算彎曲變形的新積分法。該方法適用于計(jì)算各種形狀的桿件的平面彎曲小變形問題，對靜定結(jié)構(gòu)和超靜定結(jié)構(gòu)彎曲問題的分析步驟也是一致的。因此，該方法不僅是常規(guī)方法的重要補(bǔ)充，而且不失為一個(gè)計(jì)算平面彎曲問題的新選擇。

1 公式推導(dǎo)

為了簡便起見，以懸臂桿為例。如圖1所示，懸臂桿長為l，桿在平面內(nèi)的抗彎剛度為EI，左端A固定，右端B受集中力F的作用。建立如圖所示的坐標(biāo)系。設(shè)桿彎曲的撓曲線方程為w＝w（s），轉(zhuǎn)角方程為θ＝θ（s）。

先計(jì)算B端的撓度wB，為此取長度很小的一段桿Δs，查看由于這一小段桿的彎曲造成的B的撓度，如圖2所示。

圖1 懸臂桿Fig.1 Cantilever bar

圖2 微段彎曲Fig.2 Segmented bar under bending

圖中，θ（s）為s處的轉(zhuǎn)角，Δθs為微段Δs的轉(zhuǎn)角的改變量。假定桿的變形很小，則：

容易看出，Δw1為s處的轉(zhuǎn)角引起的B端的位移，Δw2＋Δw3為微段Δs的彎曲引起的B端的位移。

在變形很小的情況下，有

將式（5）代入式（3），并利用式（4）：

得：

假設(shè)s處的曲率半徑為ρ，則有

聯(lián)系式（7），比較式（2）和式（6），可知Δw2相對于Δw3為高階微量。即：

B的撓度wB等于s＝0處的轉(zhuǎn)角引起的B的撓度，對應(yīng)式（9）等式右邊的第一項(xiàng)，加上桿彎曲引起的B的撓度，因此可以這樣計(jì)算：

2 推廣到曲桿

為方便起見，以半徑為R的1／4圓弧曲桿為例，如圖3所示。桿在平面內(nèi)的抗彎剛度為EI，A端固定，B端受集中力F作用。建立如圖局部坐標(biāo)系，坐標(biāo)軸s沿桿的軸向從A到B，τ為在任意s處的切向，并與坐標(biāo)軸s正向一致。w與坐標(biāo)軸s處處正交，且從τ繞其起點(diǎn)順時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°到達(dá)w正向。整體坐標(biāo)系xoy，原點(diǎn)為A。現(xiàn)在要研究的是在荷載作用下桿的任意位置的位移。設(shè)彎曲的撓曲線方程為w＝w（s），轉(zhuǎn)角方程為θ＝θ（s）。

圖中τ、w、φ（s）、l（s）都是與s相關(guān)的量。其中，l（s）是坐標(biāo)為s的C點(diǎn)與B的距離，φ（s）為CB在xoy坐標(biāo)系下的角度。

不難看出，直桿下的計(jì)算式（從式（1）到式（13））均可順利地推廣到局部坐標(biāo)系（ws）下。

同樣地，B點(diǎn)的位移可以這樣計(jì)算：s＝0處的轉(zhuǎn)角引起的B的位移，加上曲桿彎曲引起的B的位移。那么，第一部分由s＝0處的轉(zhuǎn)角引起的B的位移可以表示為：

圖3 1／4曲桿Fig.3 1／4curved bar

式（14）和式（15）中，下角標(biāo)x、y分別表示沿x、y方向的位移，θ（0）為A處的轉(zhuǎn)角，l（0）為AB 的長度，φ（0）為AB與x正向的夾角。

第二部分由曲桿的彎曲引起的B的位移為：

式（16）和式（17）中的下角標(biāo)s表示對整個(gè)曲桿積分的意思。

因此，將式（14）、式（15）、式（16）和式（17）對應(yīng)相加，即得端點(diǎn)B的位移為：

將式（10）代入式（18）、式（19）得，

對于任意坐標(biāo)為s的點(diǎn)的位移的計(jì)算式可以表示為：

需要說明的是，與式（18）、式（19）中不同，式（22）、式（23）中，l、φ有兩個(gè)參數(shù)，它們是兩個(gè)點(diǎn)的弧坐標(biāo)，第一個(gè)參數(shù)表示第一個(gè)點(diǎn)的弧坐標(biāo)，第二個(gè)參數(shù)表示第二個(gè)點(diǎn)的弧坐標(biāo)，l表示這兩點(diǎn)的距離，φ表示由第一點(diǎn)連向第二點(diǎn)的線段與x軸正向的夾角。

曲桿的轉(zhuǎn)角計(jì)算式與直桿的轉(zhuǎn)角計(jì)算公式（13）相同。

需要指出的是，對于靜定問題，式（12）、式（13）、式（22）和式（23）中只涉及一個(gè)初參數(shù)（如起點(diǎn)的轉(zhuǎn)角），這個(gè)初參數(shù)可以是已知的，也可以是待定的；而對于超靜定問題，需要增加初參數(shù)（起點(diǎn)的轉(zhuǎn)角、彎矩、剪力），以表示出方程中的各項(xiàng)，待定的初參數(shù)都可以通過約束條件來確定。

必須說明，彎曲構(gòu)件的位移主要由彎矩引起，通常不計(jì)入軸力和剪力對彎曲位移的影響，以上推導(dǎo)也以此為前提。

3 應(yīng)用舉例

本節(jié)將計(jì)算圖1所示的懸臂桿的撓曲線方程和轉(zhuǎn)角方程，以及圖3所示的1／4圓弧桿的位移方程和轉(zhuǎn)角方程。

對于懸臂桿，將彎矩方程M（t）＝-Fl＋Ft及θ（0）＝0代入式（12）中，積分得到懸臂桿的撓曲線方程：

對s求導(dǎo)的轉(zhuǎn)角方程，

式（24）、式（25）的結(jié)果與文獻(xiàn)［1］一致。

對于1／4圓弧桿，為計(jì)算方便，不妨采用極坐標(biāo)進(jìn)行計(jì)算。如圖4所示，對照式（13）、式（22）和式（23），有如下關(guān)系式：

將式（26）和彎矩方程 M ＝-FRcosα代入式（13）、式（22）和式（23），得

圖4 坐標(biāo)轉(zhuǎn)換Fig.4 Coordinate transformation

積分得，

式（28）的第三方程與文獻(xiàn)［13］的結(jié)果一致。

對于其他的靜定或超靜定結(jié)構(gòu)平面彎曲問題的求解，計(jì)算步驟是一樣的。所不同的是，可能需要利用約束條件來確定起點(diǎn)的待定參數(shù)。

4 結(jié) 語

本研究從彎曲變形的幾何屬性出發(fā)，推導(dǎo)了計(jì)算彎曲變形的新公式，其思路更具一般性，計(jì)算也更簡便。該方法可以計(jì)算曲桿的平面彎曲的變形問題，并且公式中的各項(xiàng)及積分轉(zhuǎn)化成電算也很方便，進(jìn)一步拓展了它的適用范圍。相比于虛功法，其思路更直接，同時(shí)避免了虛功法每次計(jì)算只能得到一個(gè)位移的缺陷。

［1］ 王吉民.材料力學(xué)［M］.北京：中國電力出版社，2010.

［2］ 孫訓(xùn)方，方孝淑，關(guān)來泰.材料力學(xué)I［M］.北京：高等教育出版社，2009.

［3］ 劉鴻文.材料力學(xué)Ⅰ［M］.北京：高等教育出版社，2004.

［4］ 單輝祖.材料力學(xué)Ⅰ［M］.北京：高等教育出版社，2002.

［5］ 范欽珊，蔡新.材料力學(xué)：土木、水利類［M］.北京：清華大學(xué)出版社，2009.

［6］ 王秀華，張春秋，門玉濤，等.超靜定梁變形計(jì)算的積分法［J］.力學(xué)與實(shí)踐，2009，31（4）：79-81.

［7］ 馬希齡，張廣泰，肖正華.等截面圓弧桿件的轉(zhuǎn)角位移方程［J］.新疆工學(xué)院學(xué)報(bào)，1999，30（2）：79-83.

［8］ 劉慶潭.材料力學(xué)教程［M］.北京：機(jī)械工業(yè)出版社，2006.

［9］ 希伯勒.材料力學(xué)［M］.汪越勝，譯.北京：電子工業(yè)出版社，2006.

［10］ 孫國鈞.材料力學(xué)［M］.上海：上海交通大學(xué)出版社，2006.

［11］ Beer F P，Johnston E R，Sun G J.Mechanics of materials［M］.2ed.New York：McGraw-Hill，1992.

［12］ Gere J M，Timoshenko S P.Mechanics of materials［M］.New York：Von Nostrand Reinhold，1984.

［13］ 朱伯欽，周競歐，許哲明.結(jié)構(gòu)力學(xué)：上冊［M］.上海：同濟(jì)大學(xué)出版社，2004：215-216.