王海林，王吉民

（浙江科技學院 建筑工程學院，杭州310023）

梁作為實際工程中應用廣泛的構件，它在外荷載作用下引起的彎曲變化受到高度的重視，而作為與之相緊密聯(lián)系的撓曲線方程的計算問題，也就成了材料力學中的一個重要內(nèi)容。關于梁撓曲線的計算方法有很多，如積分法、能量法、圖乘法、共軛梁法、變分法等。目前，在大部分的材料力學教材中，梁撓曲線方程的首選計算方法是積分法，但是在實際的工程分析中，由于梁上常常作用有多種荷載，用積分法需要在梁的連續(xù)性條件和邊界條件的基礎上確定各段相應的積分常數(shù)，致使過程顯得非常繁瑣，因此不是很實用。

文獻［1］提供了一種在Laplace變換的基礎上求解梁撓曲線方程的方法。本研究以此方法為基礎，將Heaviside函數(shù)直接引入梁的彎矩方程，從而構造出全梁通用方程，并對該方程進行Laplace變換，通過梁的基本方程并結合邊界條件，直接計算出超靜定梁的撓曲線方程，從而進一步簡化了計算過程，減少了計算量，為超靜定梁撓曲線方程的求解提供了一種較為快捷的計算模式。

1 Heaviside函數(shù)及相關性質(zhì)

上式即為Heaviside函數(shù)，常記為H（x），由于其在x＝0處發(fā)生跳躍，故又稱為單位階躍函數(shù)（unit step function）。Heaviside函數(shù)具有多種性質(zhì)，它還是δ（x）函數(shù)的原函數(shù)［2］。關于Heaviside函數(shù)，可參考相關文獻，這里不贅述。

2 梁通用方程的建立

2.1 基本公式

材料力學［3］中，考慮小變形狀態(tài)，梁的撓曲線近似微分方程為

2.2 利用Heaviside函數(shù)建立通用方程

有一懸臂梁，分別在該梁上作用集中力P（圖1），力偶M（圖2），均布荷載q（圖3）

圖1 集中力P作用下的懸臂梁Fig.1 Cantilever beam under concentrated force P

圖2 力偶M作用下的懸臂梁Fig.2 Cantilever beam under force couple M

圖3 均布荷載q作用下的懸臂梁Fig.3 Cantilever beam under uniform load q

2.2.1 集中力P作用下懸臂梁彎矩值M（x）的表達

引入Heaviside函數(shù)，所以，有

2.2.2 力偶M作用下懸臂梁彎矩值M（x）的表達

所以，有

2.2.3 均布荷載q作用下懸臂梁彎矩值M（x）的表達

所以，有

2.3 一般情況

所以，基于小變形和線彈性情況下的疊加原理，對于該懸臂梁，不管梁上作用有上述荷載中的幾種，彎矩M（x）均可表示為一個如下的通用方程：

將該通用方程（2）帶入撓曲線近似微分方程（1）式，有

3 撓曲線方程的Laplace變換

3.1 Laplace變換具有的主要性質(zhì)有

3.2 對式（3）進行Laplace變換

結合上述所列的Laplace變換性質(zhì)，式（3）左右進行變換，有

化簡整理，得

對（5）式進行反Laplace變換，有

故，式（6）即為基于Heaviside函數(shù)的梁通用撓曲線方程。

4 算 例

4.1 方法驗證

如圖4所示，有一受均布荷載作用下的兩端固定梁，首先定義：設梁A端反力為RA，B端反力為RB，方向均豎直向上；梁A端彎矩為MA，B端彎矩為MB，順時針為正。

于是，根據(jù)式（6），有

利用邊界條件：y｜x＝0＝0，得y（0）＝0；y′｜x＝0＝0，得y′（0）＝0

聯(lián)立兩式，求解得

同理，得出A，B的固端剪力，綜合后即

這個結果與結構力學［4］等截面桿件的載常數(shù)表中所列的情況完全一致，故該方法正確。所以，化簡后，均布荷載作用下的兩端固定梁撓曲線方程為

這個方程與結構靜力計算手冊［5］給出的方程相同。

4.2 實 例

如圖5，有一超靜定梁，各荷載均標于梁上，根據(jù)（6）式，有

圖4 均布荷載作用下的兩端固定梁Fig.4 Both ends clamped beams under uniform load

圖5 超靜定梁簡圖Fig.5 Diagram of statically indeterminate beam

補充靜力方程，對B取矩

聯(lián)立兩式求解，并用MATLAB［6］符號計算驗證結果，得

代入式（7），即可得出該超靜定梁的撓曲線方程。

5 結 語

從上述的推導及實例的計算可以看出，本文所述的方法在求解超靜定梁撓曲線方面，計算量少，比較快捷、方便，因此具有一定的實用性。

［1］ 劉明超，丁曉燕．拉氏變換求解梁的撓曲線方程［J］．力學與實踐，2012，34（2）：78-80．

［2］ 梁昆淼．數(shù)學物理方法［M］．4版．北京：高等教育出版社，2010：83．

［3］ 王吉民．材料力學［M］．北京：中國電力出版社，2010：107-108．

［4］ 龍馭球，包世華．結構力學Ⅰ：基本教程［M］．2版．北京：高等教育出版社，2006：281-283．

［5］ 國振喜，張樹義．實用建筑結構靜力計算手冊［M］．北京：機械工業(yè)出版社，2009：297．

［6］ 薛定宇，陳陽泉．高等應用數(shù)學問題的MATLAB求解［M］．北京：清華大學出版社，2008．