袁 煒,賀 欣
(鄭州鐵路職業(yè)技術(shù)學(xué)院,河南 鄭州 450052)
我們?cè)跀?shù)學(xué)分析中已經(jīng)掌握和了解了一些有關(guān)冪級(jí)數(shù)的定義和性質(zhì),知道了冪級(jí)數(shù)是函數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)中最基本的一類;冪級(jí)數(shù)的特點(diǎn)是在其收斂區(qū)間上絕對(duì)收斂,且冪級(jí)數(shù)在收斂半徑范圍內(nèi)可任意次的求導(dǎo)和求積分,又可任意交換求和次序.因此,在此范圍內(nèi)冪級(jí)數(shù)與多項(xiàng)式一樣簡(jiǎn)便.我們先來(lái)看一下冪級(jí)數(shù)的定義和一些相關(guān)的性質(zhì).
冪級(jí)數(shù)的基本性質(zhì)為:
性質(zhì) 1.4[2]:在收斂半徑范圍內(nèi),即在( - R,R)上,冪級(jí)數(shù)可任意次逐項(xiàng)求導(dǎo)或求和且產(chǎn)生的新冪級(jí)數(shù)的收斂半徑不變.
知道了冪級(jí)數(shù)的性質(zhì),我們可以看出冪級(jí)數(shù)是一類最簡(jiǎn)單的函數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù),從某種意義上說(shuō),它也可以看作是多項(xiàng)式函數(shù)的延伸,冪級(jí)數(shù)在理論和實(shí)際上有很多應(yīng)用,特別是在應(yīng)用它表示函數(shù)方面,有許多方便的運(yùn)算性質(zhì),因此,它在研究函數(shù)的方面成為了一個(gè)很有用的工具,使我們對(duì)它的作用有了新的認(rèn)識(shí).我們來(lái)看一下冪級(jí)數(shù)在函數(shù)中的一些應(yīng)用.
當(dāng)f(x)的原函數(shù)不能用初等函數(shù)的有限形式表示出來(lái)時(shí),計(jì)算f(x)的定積分就遇到了困難,現(xiàn)在,可以利用冪級(jí)數(shù)取有限項(xiàng)的辦法近似計(jì)算這些定積分的值.
我們?cè)谟?jì)算積分時(shí),當(dāng)具體要求被積函數(shù)能夠展成收斂的冪級(jí)數(shù),且積分限必須在冪級(jí)數(shù)的收斂域之內(nèi),然后利用逐項(xiàng)積分來(lái)計(jì)算所求定積分的值.
∴收斂半徑為R=+∞,這里用到了性質(zhì)1.2,所以:
我們?cè)谇蠹?jí)數(shù)的和時(shí),要利用冪級(jí)數(shù)的性質(zhì)1.4:冪級(jí)數(shù)在收斂區(qū)間內(nèi)可逐項(xiàng)求導(dǎo)與逐項(xiàng)求積分,由此可計(jì)算級(jí)數(shù)的和.
則由冪級(jí)數(shù)逐項(xiàng)微分的性質(zhì)可知:
由冪級(jí)數(shù)逐項(xiàng)積分的性質(zhì)有:
我們可以通過(guò)利用冪級(jí)數(shù)的展開(kāi)式和性質(zhì)來(lái)證明一些不等式
解:數(shù)ex的麥克勞林級(jí)數(shù)是, x∈R.
只需n>5,由此可知當(dāng)取項(xiàng)數(shù)為n≥6就可滿足題目要求
則它在積分區(qū)間[0,1]上是連續(xù)的,利用sin x的展開(kāi)式[1]得:
這是交錯(cuò)級(jí)數(shù),每項(xiàng)絕對(duì)值數(shù)列單調(diào)減少趨于0,取前三項(xiàng)的和作為近似值,則誤差為:
有些連續(xù)函數(shù)的原函數(shù)和有些常微方程的解不是初等函數(shù),即非初等函數(shù),可用冪級(jí)數(shù)表示這些原函數(shù)的解
問(wèn)題1:求連續(xù)函數(shù)e-x2的原函數(shù)F(x)
解:e-x2
令 x= -t2,有
對(duì)冪級(jí)數(shù)在收斂區(qū)間內(nèi)逐項(xiàng)求積分,可得冪級(jí)數(shù)在理論上和實(shí)際中都有很多應(yīng)用,通過(guò)冪級(jí)數(shù)的展開(kāi)式來(lái)表示函數(shù).利用冪級(jí)數(shù)和函數(shù)的分析性質(zhì).常常能夠解決數(shù)學(xué)分析中很多難題.由于它結(jié)構(gòu)簡(jiǎn)單,因而成為計(jì)算常用函數(shù).如指數(shù)函數(shù)、對(duì)數(shù)函數(shù)、三角函數(shù)和很多超越函數(shù)的一個(gè)基礎(chǔ)工具.
[1]華東師范大學(xué)數(shù)學(xué)系.?dāng)?shù)學(xué)分析[M].北京:高等教育出版社,1990.6.
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