邱剛

(江蘇省海門中學(xué) 江蘇 南通 226100)

二體問題是質(zhì)點系問題中最簡單的運動情形，對二體問題的研究體現(xiàn)了質(zhì)點系問題研究的理論方法，是物理競賽考查的重點內(nèi)容.在高中物理競賽力學(xué)部分的二體問題中，對同一問題的研究可選用不同的參考系，而選用合適的參考系往往能使物體運動的形式變得簡單，研究過程得到簡化，便于問題的分析．在質(zhì)心參考系中對二體問題的研究最為簡潔，但在各類競賽參考資料中鮮有選用質(zhì)心參考系對二體問題進行研究.現(xiàn)將選取質(zhì)心參考系對力學(xué)競賽題中二體能量問題進行研究，以體現(xiàn)質(zhì)心參考系在研究此類問題時的巧妙性．

1 質(zhì)心參考系的定義及有關(guān)性質(zhì)[1]

1.1 定義

當(dāng)無外力時，將慣性坐標(biāo)系平移至質(zhì)心處稱為質(zhì)心坐標(biāo)系.

圖1

M=∑mi

1.2 有關(guān)性質(zhì)

(1)質(zhì)心參考系S′中質(zhì)點系動量總是為零

當(dāng)無外力時，S′系中，質(zhì)點系的動量

故S′系是動量為零的參考系．

(2)質(zhì)點系的動能——柯尼希定理

S系中質(zhì)點系的動能

S′系中質(zhì)點系的動能

2 質(zhì)心參考系在二體能量問題中的應(yīng)用

以上列舉的質(zhì)心參考系中的幾個結(jié)論在二體能量問題的分析中尤為巧妙，下面選取3道二體能量問題(在競賽參考資料中均未選用質(zhì)心參考系進行分析)，選用質(zhì)心參考系對問題進行分析，以呈現(xiàn)質(zhì)心參考系對二體能量問題的分析方法．

(1)解除鎖定前瞬間，A,B的速度為多少;

(2)解除鎖定后瞬間，A,B的速度為多少.

解析：(1)解除鎖定前瞬間，由動能定理有

得

由于輕質(zhì)彈簧短而硬，在瞬間恢復(fù)原長的過程中，只有彈簧的彈力對系統(tǒng)做功，屬于內(nèi)力中的保守力做功W內(nèi)保=E0，由質(zhì)心系中的動能定理得

此式也可視為質(zhì)心系中的機械能守恒定律的應(yīng)用，彈簧的彈性勢能全部轉(zhuǎn)化為物體對質(zhì)心的動能．

聯(lián)立以上兩式解得

點評：本題是第18屆物理競賽復(fù)賽試題第6題去掉最后一問的簡化試題.競賽參考答案是選取地面為參考系,應(yīng)用動量守恒和機械能守恒對問題進行分析，計算過程較為繁瑣，而在質(zhì)心參考系中同樣應(yīng)用動量守恒和機械能守恒對問題的分析則顯得簡潔，提高了解題效率．

【例2】[3]質(zhì)量為m和M的兩物塊用橡皮繩相連，放在水平臺面上，原長為a，當(dāng)它伸長時，如同勁度系數(shù)為κ的彈簧，物塊與臺面的摩擦因數(shù)為μ，今將它們拉開b(b>a)靜止釋放，求兩物塊相碰時的相對速度.

圖2

物塊受到的摩擦力為外力，對系統(tǒng)做的功為

由質(zhì)心系中質(zhì)點系動能定理和柯尼希定理得

解得兩物塊碰撞時的相對速度為

點評：參考書中選用兩個物塊中的某一物塊為參考系，在非慣性系中，將另一物塊的運動等效為機械振動對問題展開分析，分析過程較為繁瑣.而選用質(zhì)心參考系，應(yīng)用質(zhì)心系中的動能定理和二體問題的柯尼希定理，可使物體的運動過程得到簡化，巧妙地解決了問題．

【例3】[4]有三個質(zhì)量均為m的粒子，粒子1與粒子2中間夾置一個被充分壓縮了的輕質(zhì)短彈簧，并用輕質(zhì)細(xì)線縛在一起(可視為一個小物體)，靜止地放置在光滑水平面上，另一個粒子3沿該光滑水平面射向它們．粒子3和粒子1相碰撞并粘連在一起運動后，輕質(zhì)細(xì)線自動崩斷，使彈簧釋放，三個粒子分成兩部分,一部分為粒子2，另一部分為粘在一起的粒子1和3．已知彈簧被充分壓縮時的彈性勢能是Ep．為了使被釋放出的粒子2的散射角保持在30°之內(nèi)，求粒子3入射時的動能應(yīng)滿足什么條件．

由系統(tǒng)機械能守恒得

聯(lián)立解得

圖3

圖4

點評：本題為第16屆全國高中物理競賽決賽第5題，是典型的二體問題中的散射問題遵循能量守恒和動量守恒，選用質(zhì)心參考系，極大地簡化了散射問題的分析過程，再次顯示了質(zhì)心參考系在二體能量問題研究中的巧妙性．

3 小結(jié)

本文首先簡要介紹了質(zhì)心參考系中研究物體運動的幾個有用的結(jié)論，再將這幾個結(jié)論應(yīng)用到二體能量問題的研究中，重點突出了質(zhì)心參考系在二體能量問題研究中的巧妙性兼重要性.筆者在競賽教學(xué)過程中體會到，許多高質(zhì)量的競賽題考查的知識具有大學(xué)普通物理背景，但解答過程中所用的數(shù)學(xué)知識僅限于中學(xué)階段的數(shù)學(xué)內(nèi)容，如何用中學(xué)數(shù)學(xué)的方法解決難度較大的物理競賽題，關(guān)鍵要看問題分析中物理方法的選取，對學(xué)生思維能力要求較高，這正是高中物理競賽的價值取向．因此,如何在物理競賽中培養(yǎng)學(xué)生的思維能力成了競賽教學(xué)中的首要任務(wù).筆者發(fā)現(xiàn)，在競賽輔導(dǎo)中對賽題進行“一題多解”和對一種好的物理分析方法進行“一法多用”是培養(yǎng)思維能力和激發(fā)學(xué)習(xí)興趣的有效途徑．

參考文獻

1 周衍柏．理論力學(xué)教程．北京：高等教育出版社，2008.112～129

2 第18屆全國中學(xué)生物理競賽復(fù)賽試題(2001年)含答案，http://wenku.baidu.com/view/93a0171efc4ffe4733 68abc8.html

3 清北學(xué)堂物理競賽模擬題，http://wenku.baidu.com/view/4429e3a10029bd64783e2cfb.html

4 第16屆全國中學(xué)生物理競賽決賽試題，http://wenku.baidu.com/view/04fbfe3243323968011c9215.html