韓松輝，杜 蘭，歸慶明，顧勇為，馬朝忠

1.信息工程大學(xué) 地理空間信息學(xué)院，河南 鄭州450052；2.信息工程大學(xué) 導(dǎo)航與空天目標(biāo)工程學(xué)院，河南 鄭州450052；3.信息工程大學(xué) 理學(xué)院，河南 鄭州450001

1 引 言

復(fù)共線性存在于很多測(cè)量數(shù)據(jù)處理問題中，它對(duì)估計(jì)結(jié)果有很大的影響。如果設(shè)計(jì)矩陣存在復(fù)共線性，很小的觀測(cè)誤差就有可能造成估計(jì)結(jié)果嚴(yán)重偏離真值。為了得到精確、可靠的平差結(jié)果，必須消弱和克服設(shè)計(jì)矩陣復(fù)共線性對(duì)參數(shù)估計(jì)的不良影響［1］。

克服復(fù)共線性影響的前提是準(zhǔn)確地找到設(shè)計(jì)陣中存在的復(fù)共線性關(guān)系，即進(jìn)行復(fù)共線性診斷。到目前為止，國(guó)內(nèi)外學(xué)者關(guān)于復(fù)共線性診斷已經(jīng)提出了10余種方法［1－7］，大致分為3大類：第1類是基于相關(guān)系數(shù)的方法，第2類是基于特征系統(tǒng)（特征值和特征向量）的方法；第3類是基于條件指標(biāo)方差分解比的方法。這些方法可以診斷復(fù)共線性關(guān)系的存在性和嚴(yán)重程度，但在確定復(fù)共線性關(guān)系的個(gè)數(shù)時(shí)往往存在一些問題，尤其是大部分方法不能準(zhǔn)確地確定每個(gè)復(fù)共線性關(guān)系存在于哪些數(shù)據(jù)列之間，而這些信息對(duì)于如何更有針對(duì)性地削弱和克服設(shè)計(jì)陣復(fù)共線性對(duì)參數(shù)估計(jì)的不良影響具有重要的參考價(jià)值。第3類方法以條件數(shù)大小判斷是否存在復(fù)共線性。該指標(biāo)是不盡合理的，另外當(dāng)設(shè)計(jì)陣存在多個(gè)復(fù)共線性時(shí)，“回歸”方法無法全面判斷設(shè)計(jì)陣的復(fù)共線性。在上述復(fù)共線性診斷方法中，特征分析法簡(jiǎn)單易行，是一個(gè)不錯(cuò)的復(fù)共線性診斷方法。特征分析法雖然可以判斷設(shè)計(jì)陣中存在幾個(gè)復(fù)共線性關(guān)系，但是法矩陣的特征值比較小是一個(gè)很模糊的說法，現(xiàn)實(shí)中不易操作。本文對(duì)特征分析法進(jìn)行改進(jìn)，給出判斷小特征值的具體標(biāo)準(zhǔn)。

條件數(shù)是目前用來判斷復(fù)共線性的另一個(gè)主要指標(biāo)。文獻(xiàn)［8］專門討論了廣義嶺估計(jì)的精度隨條件數(shù)變化的情況。文獻(xiàn)［9］利用廣義條件數(shù)研究了非線性病態(tài)法方程的求解問題。隨著測(cè)量手段的改進(jìn)，尤其是衛(wèi)星導(dǎo)航的發(fā)展，出現(xiàn)了條件數(shù)很大但是LS估計(jì)精度很好的測(cè)量平差和數(shù)據(jù)處理情況。條件數(shù)大時(shí)設(shè)計(jì)矩陣是否一定存在復(fù)共線性，條件數(shù)大對(duì)LS估計(jì)的影響如何都是尚未解決問題。本文用矩陣?yán)碚撟C明了復(fù)共線性存在時(shí)一定導(dǎo)致條件數(shù)很大，反之則不然的結(jié)論。然后，討論條件數(shù)大對(duì)LS估計(jì)的影響。

目前，大多數(shù)文獻(xiàn)在發(fā)現(xiàn)病態(tài)性后，直接采用正則化方法或有偏估計(jì)等方法來克服病態(tài)性對(duì)估計(jì)值的危害［10－11］，而沒有事先對(duì)復(fù)共線性進(jìn)行詳實(shí)的全面診斷、進(jìn)而有效地利用病態(tài)性信息構(gòu)造更有針對(duì)性的正則化方法或有偏估計(jì)以更好地消除病態(tài)性的影響。文獻(xiàn)［7］利用LS估計(jì)的信噪比揭示了復(fù)共線性結(jié)構(gòu)的特征，然后提出基于信噪比的正則化方法，對(duì)設(shè)計(jì)陣的復(fù)共線性作出了比較準(zhǔn)確的、有節(jié)制的消除。本文則利用改進(jìn)的特征分析法診斷出設(shè)計(jì)陣的具體復(fù)共線性關(guān)系后將提出更有針對(duì)性的雙k型嶺估計(jì)。

在GEO定軌數(shù)據(jù)處理中，由于衛(wèi)星的高軌靜地特性和受限的地面區(qū)域跟蹤，定軌動(dòng)力學(xué)約束弱且觀測(cè)幾何結(jié)構(gòu)差，引起法方程的病態(tài)性［12－13］。在仿真算例中，本文運(yùn)用上述方法對(duì)GEO定軌數(shù)據(jù)處理中的病態(tài)性問題進(jìn)行分析討論。診斷出GEO定軌數(shù)據(jù)處理中法矩陣的復(fù)共線性個(gè)數(shù)和各復(fù)共線性具體存在于哪幾列之間，并用基于復(fù)共線性診斷提出的雙k型嶺估計(jì)克服復(fù)共線性的影響。

2 改進(jìn)的特征分析法

設(shè)線性模型為

式中，L為觀測(cè)值向量；A為設(shè)計(jì)陣；X為未知參數(shù)向量；Δ為觀測(cè)誤差向量，假設(shè)E（Δ）＝0，cov（Δ）＝σ20P－1，σ0為未知的單位權(quán)中誤差，權(quán)陣P為已知對(duì)稱正定陣。線性模型的法矩陣為N＝ATPA，設(shè)λ1≤λ2≤…≤λt為N的特征值，Q＝［q1q2…qt］為對(duì)應(yīng)的正則化特征向量構(gòu)成的正交矩陣。

2.1 復(fù)共線性關(guān)系存在性診斷

目前，當(dāng)法矩陣存在小的特征值時(shí)，表明法矩陣存在復(fù)共線性已經(jīng)得到許多學(xué)者的認(rèn)可［1，14］。但是什么是小的特征值是一個(gè)很模糊的說法。實(shí)際上，不可單純地從特征值本身的大小判斷是否存在復(fù)共線性，而是應(yīng)該從特征值對(duì)法矩陣各列之間關(guān)系的影響大小判斷法矩陣是否存在復(fù)共線性。

法矩陣特征值求解表達(dá)式為

式中，當(dāng)特征值λ相對(duì)于法矩陣元素絕對(duì)值很小時(shí)，則λ的存在對(duì)法矩陣對(duì)角線上的t個(gè)元素N11、N22、…、Ntt的改變很小，即λ的存在對(duì)法矩陣各列之間的關(guān)系影響很小。由于f（λ）是關(guān)于λ的連續(xù)函數(shù)，故當(dāng)λ很小時(shí)，可得

式中，說明法矩陣各列之間近似線性相關(guān)，即法矩陣存在復(fù)共線性關(guān)系。如果λ本身比較大，只是λ相對(duì)于法矩陣中元素絕對(duì)值很小，則λ和法矩陣所有元素同除以一個(gè)常數(shù)，總能把λ變成一個(gè)比較小的數(shù)，使得表達(dá)式（3）成立。

如果不存在相對(duì)于法矩陣中元素絕對(duì)值很小的特征值，則表達(dá)式（3）不成立。此時(shí)最小特征值λ1相對(duì)于也不小，所以λ1的存在已經(jīng)改變了法矩陣中各列之間的線性關(guān)系，即法矩陣各列之間的線性關(guān)系經(jīng)過大的改變之后才使得f（λ1）＝0成立。另外，此處的λ1是最小的特征值，其他特征值令f（λ）＝0成立時(shí)對(duì)法矩陣各列之間的線性關(guān)系改變更大。故此時(shí)法矩陣的各列之間本身不存在近似的線性關(guān)系，即法矩陣不存在復(fù)共線性關(guān)系。

綜上可知，判斷法矩陣是否存在復(fù)共線性，不能簡(jiǎn)單地看特征值本身大小，應(yīng)看特征值相對(duì)于法矩陣元素絕對(duì)值的大小。如果法矩陣存在相對(duì)于其自身元素絕對(duì)值很小的特征值，則說明法矩陣或是設(shè)計(jì)矩陣存在復(fù)共線性關(guān)系。一般特征值的數(shù)量級(jí)小于法矩陣元素絕對(duì)值最小值10－2以上的才能算是小的特征值。

2.2 具體復(fù)共線性關(guān)系診斷

根據(jù)特征分析法，設(shè)計(jì)陣存在復(fù)共線性與小的特征值是對(duì)應(yīng)的。首先考慮最小的特征值λ1，由λ1可得

由于λ1對(duì)應(yīng)一個(gè)復(fù)共線性，復(fù)共線性關(guān)系是近似的線性關(guān)系，故

由于法矩陣N和設(shè)計(jì)矩陣A具有相同的復(fù)共線性，所以可得

設(shè)A＝［a1a2…at］，q1＝［q11q21…qt1］T，有

式中，Aq1是由t個(gè)列qi1ai（i＝1，2，…，t）相加得到的近似等于0的向量。此處Aq1近似等于0是由于設(shè)計(jì)矩陣中存在一個(gè)復(fù)共線性引起的，因此設(shè)計(jì)矩陣中有幾列元素之間存在近似的線性關(guān)系。故矩陣［q11a1q21a2…qt1at］的t個(gè)列中會(huì)出現(xiàn)幾列元素絕對(duì)值大于其余列元素絕對(duì)值的現(xiàn)象，這幾列即是對(duì)此復(fù)共線性貢獻(xiàn)比較大的幾列。記設(shè)計(jì)陣中r個(gè)列qi11ai1、qi21ai2、…、qir1air（r≤t）的元素絕對(duì)值比較大，刪除其余的列不影響表達(dá)式Aq1≈0的成立，故可得

式中，設(shè)計(jì)矩陣A中r個(gè)列ai1、ai2、…、air之間存在復(fù)共線性關(guān)系，而這個(gè)復(fù)共線性關(guān)系的系數(shù)即為q1中的元素qi11、qi21、…、qir1。

3 復(fù)共線性與條件數(shù)的關(guān)系

除了特征分析法外，條件數(shù)也是目前常用的判斷復(fù)共線性的指標(biāo)。在很多情況下條件數(shù)大就表明法矩陣存在病態(tài)性。但是隨著測(cè)量手段的改進(jìn)，尤其是衛(wèi)星導(dǎo)航的發(fā)展，出現(xiàn)了條件數(shù)很大但是LS估計(jì)精度很好的測(cè)量平差和數(shù)據(jù)處理情況。由此引發(fā)條件數(shù)和復(fù)共線性之間的嚴(yán)格關(guān)系是什么的思考。

3.1 存在復(fù)共線性時(shí)條件數(shù)一定大

對(duì)于t階方陣N，在復(fù)數(shù)域內(nèi)一定存在t個(gè)特征值，并且根據(jù)Collatz包含定理可以給出特征值的上下限。這個(gè)定理可簡(jiǎn)單地?cái)⑹鋈缦拢?5］：

命x是任取的一個(gè)列向量（在實(shí)際應(yīng)用中x當(dāng)然應(yīng)該是一個(gè)恰當(dāng)?shù)剡x取的列向量）。記y＝Nx，設(shè)x、y的各個(gè)元素為

再記

Collatz包含定理斷定，在區(qū)間

內(nèi)至少存在一個(gè)方陣N的特征值。

根據(jù)Collatz包含定理可以證明如下定理。

定理1：法矩陣存在復(fù)共線性時(shí)，一定存在相對(duì)于法矩陣元素絕對(duì)值很小的特征值。

證明：令N＝［N1N2…Nt］如果法矩陣N存在一個(gè)復(fù)共線性關(guān)系，不妨仍設(shè)存在復(fù)共線性關(guān)系的幾列為Ni1、Ni2、…、Nir，則Ni1、Ni2、…、Nir之間存在近似的線性關(guān)系，即存在不完全為零的一組數(shù)bi1、bi2、…、bir，使得

故向量bi1Ni1＋bi2Ni2＋…＋birNir中，各元素的絕對(duì)值遠(yuǎn)小于法矩陣中元素絕對(duì)值。令Collatz包含定理中的向量x的元素為

則y＝Nx≈0，故λ－和λ＋均是相對(duì)于法矩陣元素絕對(duì)值很小的實(shí)數(shù)，因此在區(qū)間［λ－，λ＋］中至少存在一個(gè)相對(duì)于法矩陣元素絕對(duì)值很小的特征值。證畢。

不妨仍記這個(gè)相對(duì)于法矩陣元素絕對(duì)值很小的特征值為λ1。在測(cè)量數(shù)據(jù)處理中，一般設(shè)計(jì)矩陣只會(huì)存在少數(shù)的幾個(gè)復(fù)共線性關(guān)系，即不會(huì)出現(xiàn)法矩陣的t個(gè)特征值均很小的情況。故λt是一個(gè)大小正常的特征值，所以λt相對(duì)于λ1會(huì)很大，則條件數(shù)λt／λ1很大。

另外，由2.1中論述和定理1可得以下定理。

定理2：法矩陣存在相對(duì)于本身元素絕對(duì)值小得多的特征值是法矩陣存在復(fù)共線性的充分必要條件。

3.2 條件數(shù)很大不一定存在復(fù)共線性關(guān)系

根據(jù)定理2可知：若不存在相對(duì)于法矩陣元素絕對(duì)值很小的特征值，則法矩陣不存在復(fù)共線性。所以條件數(shù)大是由于λt遠(yuǎn)大于λ1引起的，并不表示法矩陣中一定存在復(fù)共線性關(guān)系。

4 無復(fù)共線性時(shí)條件數(shù)大對(duì)LS估計(jì)的影響

當(dāng)法矩陣存在復(fù)共線性關(guān)系時(shí)，觀測(cè)誤差對(duì)LS估計(jì)的影響很大，這已經(jīng)得到很多專家學(xué)者的認(rèn)可，此處不再進(jìn)行相關(guān)討論。本節(jié)只討論無復(fù)共線性關(guān)系時(shí)，條件數(shù)很大對(duì)LS估計(jì)有什么影響。

首先討論特征值和特征向量的幾何意義。方陣的特征向量是經(jīng)過矩陣變換后保持方向不變，只是進(jìn)行長(zhǎng)度伸縮的向量，而特征值反映了特征向量在矩陣變換時(shí)的伸縮倍數(shù)。另外由譜定理［16］（spectral theorem）知道，一個(gè)方陣完全可以由它的特征向量表示，特征值即是矩陣在對(duì)應(yīng)特征方向的貢獻(xiàn)率大小。于是一個(gè)矩陣完全可以由特征值和特征向量組成的“特征”來表示。

如果法矩陣不存在復(fù)共線性，但是條件數(shù)很大，只是說明法矩陣在某個(gè)特征方向的特征明顯，并不會(huì)放大觀測(cè)誤差對(duì)LS估計(jì)的影響。詳細(xì)分析如下。

4.1 不考慮觀測(cè)誤差

線性模型（1）的法方程為

易知法矩陣的t個(gè)特征向量是線性無關(guān)的，可構(gòu)成t維空間的一組基，故可設(shè)法方程中＾X由其線性表示為

故

由上式可以看出，法矩陣的條件數(shù)比較大，只是把待估參數(shù)＾X變成與方向qt接近的向量ATPL，即把＾X拉向了法矩陣特征最明顯的特征方向。

法矩陣病態(tài)性對(duì)LS估計(jì)的影響主要施加在法矩陣求逆階段，同理?xiàng)l件數(shù)很大對(duì)LS估計(jì)的影響也主要在法矩陣求逆階段。通過法方程可以得到LS估計(jì)的表達(dá)式為

因此不考慮觀測(cè)誤差時(shí)法方程的求解是純數(shù)學(xué)問題，可以得到嚴(yán)格的、準(zhǔn)確的數(shù)學(xué)解。此處的法矩陣不存在復(fù)共線性，實(shí)際上通過上式還可以看出，即使法矩陣存在復(fù)共線性，只要觀測(cè)值很準(zhǔn)確，依然可以通過法方程得到準(zhǔn)確的LS估計(jì)。

4.2 考慮觀測(cè)誤差

由于法矩陣不存在復(fù)共線性，則沒有相對(duì)于法矩陣元素很小的特征值，此處條件數(shù)大是由于λt相對(duì)于λ1很大引起的，因此只討論λt和qt對(duì)LS估計(jì)的影響。設(shè)ATPL在stλtqt方向存在小的誤差Δtqt，其中Δt是一個(gè)小的數(shù)，則

由于λt很大，故其倒數(shù)λ－1t很小，故λ－1tΔtqt很小，所以觀測(cè)誤差沒有被放大。

5 雙k型嶺估計(jì)

采用上述改進(jìn)的特征分析法，可以準(zhǔn)確地判斷復(fù)共線性的個(gè)數(shù)，并且可以判斷每個(gè)復(fù)共線性具體存在于設(shè)計(jì)陣中的那幾列。確定復(fù)共線性關(guān)系后，需要克服復(fù)共線性對(duì)估計(jì)值的影響。線性模型（1）的 LS估計(jì)和嶺估計(jì)［17－21］分別為

式中，k＞0為普通嶺估計(jì)的嶺參數(shù)。

對(duì)于GPS快速定位中的雙差模型，已經(jīng)證明其病態(tài)性是由于在設(shè)計(jì)陣中，模糊度系數(shù)所在列可以近似線性表示出坐標(biāo)改正數(shù)系數(shù)所在列造成的［20－21］。筆者針對(duì)GPS快速定位中的雙差模型中病態(tài)性特征，提出了雙k型嶺估計(jì)［20－21］為

式中，K′＝diag（k′1，k′1，k′1，k′2，…，k′2）為對(duì)角矩陣，k′1＞0和k′2＞0為雙k型嶺估計(jì)的兩個(gè)嶺參數(shù)。易知，LS估計(jì)和普通嶺估計(jì)為雙k型嶺估計(jì)的特例。

根據(jù)改進(jìn)的特征分析法，可以準(zhǔn)確地判斷出法矩陣中具體那幾列之間存在復(fù)共線性關(guān)系。由此復(fù)共線性關(guān)系提出新的相應(yīng)的雙k型嶺估計(jì)如下

式中，K為對(duì)角矩陣，對(duì)角線元素由兩個(gè)嶺參數(shù)k1、k2（k1＞k2＞0）組成，k1和k2的排列順序由法矩陣中確切的復(fù)共線性關(guān)系確定。不妨假設(shè)i1＜i2＜…＜ir列之間存在復(fù)共線性關(guān)系，其中1≤i1，ir≤t，則K中對(duì)角線上第i1、i2、…、ir個(gè)元素為嶺參數(shù)k1，其余的對(duì)角元素取嶺參數(shù)k2，即法矩陣中存在復(fù)共線性關(guān)系的幾列對(duì)應(yīng)比較大的嶺參數(shù)k1，其余的列對(duì)復(fù)共線性貢獻(xiàn)很小對(duì)應(yīng)嶺參數(shù)k2。

合理地確定k1和k2是一個(gè)應(yīng)用上十分重要的問題。注意到雙k型嶺估計(jì)是廣義嶺估計(jì)的特例，故應(yīng)用從廣義嶺估計(jì)出發(fā)確定普通嶺估計(jì)中嶺參數(shù)的思想［22］確定k1和k2。

利用文獻(xiàn)［17］公式，兩個(gè)嶺參數(shù)k1和k2分別取為

式中，α＝［α1α2…αp］T＝QTX為原參數(shù)向量X的典則參數(shù)Λ＝diag（λ1，λ2，…，λt），V＝－L，0＜c＜1。

當(dāng)模型存在復(fù)共線性時(shí)，雙k型嶺估計(jì)可以有效地克服病態(tài)性影響。當(dāng)模型不存在復(fù)共線性關(guān)系時(shí)，雙k型嶺估計(jì)退化為L(zhǎng)S估計(jì)。

6 算例與分析

算例1：仿真線性模型。對(duì)于設(shè)計(jì)陣只包含一個(gè)復(fù)共線性關(guān)系的情況，改進(jìn)的特征分析法可以很容易地判斷出復(fù)共線性情況，此處不再討論。討論復(fù)雜的設(shè)計(jì)陣數(shù)據(jù)列之間存在兩個(gè)復(fù)共線性，并且兩個(gè)復(fù)共線性關(guān)系相互影響的情況。例如，設(shè)計(jì)陣為

用下列兩個(gè)表達(dá)式構(gòu)造設(shè)計(jì)陣的復(fù)共線性

式中，εi～N12（0，0.12E）。設(shè)法矩陣元素絕對(duì)值最小值為其中i，j＝1，2，…，t。則法矩陣的、法矩陣特征值λi的數(shù)值如表1所示。

表1 算例1的min（｜Nii｜）和λi 數(shù)值大小Tab.1 Numerical values of min（｜Nii｜）andλiof example 1

由表1可以看出，法矩陣存在2個(gè)復(fù)共線性。計(jì)算A12×8q1＝q11a1＋q21a2＋…＋q81a8，由于篇幅有限，給出矩陣［q11a1q21a2…q81a8］的前3行為

由此矩陣可以看出，第4、7列的元素值很小，故這兩列不包含在復(fù)共線性之內(nèi)。在設(shè)計(jì)陣中，第1、2、3、5、6、8列之間存在復(fù)共線性關(guān)系。最小特征值對(duì)應(yīng)的特征向量q1為

則［1 3.00 －3.00 0 －0.50 2.00 0 －1.00］T此系數(shù)與式（13）減去式（14）后的系數(shù)，即與

的系數(shù)是一致的。

考慮第2個(gè)復(fù)共線性。計(jì)算A12×8q2＝q12a1＋q22a2＋…＋q82a8，給出矩陣［q12a1q22a2…q82a8］的前3行為

由此矩陣可以看出，仍然是設(shè)計(jì)陣第1、2、3、5、6、8列之間存在復(fù)共線性關(guān)系，特征向量q2為

則

由于第2個(gè)復(fù)共線性較弱，此系數(shù)與表達(dá)式1.5×（13）＋（14），即與

的系數(shù)是近似一致的。

由以上分析可以看出，雖然設(shè)計(jì)陣中的復(fù)共線性關(guān)系是由式（13）、式（14）引起的，但是設(shè)計(jì)陣出現(xiàn)小的特征值或者法矩陣條件數(shù)很大不是因?yàn)檫@兩個(gè)表達(dá)式中某一個(gè)造成的。設(shè)計(jì)陣的復(fù)共線性是這兩個(gè)表達(dá)式共同作用的結(jié)果，并且這兩個(gè)表達(dá)式的組合造成了一強(qiáng)一弱兩個(gè)復(fù)共線性關(guān)系。

以估計(jì)值和真值差的模作為估計(jì)評(píng)價(jià)標(biāo)準(zhǔn)，則LS估計(jì)和本文提出的雙k型嶺估計(jì)的評(píng)價(jià)標(biāo)準(zhǔn)分別為26.477和2.715 9。雙k型嶺估計(jì)的估計(jì)效果遠(yuǎn)高于LS估計(jì)的估計(jì)效果。

算例2：設(shè)GEO衛(wèi)星定點(diǎn)于160°E，3個(gè)模擬地面觀測(cè)站為北京、三亞和成都，基本觀測(cè)量是站星之間的單程測(cè)距，以均值為1m、方差為1的正態(tài)分布隨機(jī)變量為隨機(jī)誤差，數(shù)據(jù)采樣間隔為60s，初始?xì)v元的衛(wèi)星位置三分量均附加10m固定偏差。采用動(dòng)力法進(jìn)行LS批處理定軌，待估狀態(tài)向量X為初始?xì)v元的衛(wèi)星位置和速度向量、2個(gè)光壓參數(shù)η和、兩個(gè)測(cè)站（三亞和成都）系統(tǒng)偏差參數(shù)、沿跡方向的2個(gè)周日周期經(jīng)驗(yàn)力振幅觀察上述矩陣可以很容易發(fā)現(xiàn)，矩陣［q11a1q21a2…qt1at］第1、2、3、4、9、10列元素絕對(duì)值較大。故其對(duì)此復(fù)共線性貢獻(xiàn)較大，即這幾列之間存在復(fù)共線性關(guān)系。這個(gè)結(jié)論也驗(yàn)證了GEO衛(wèi)星軌道易受系統(tǒng)誤差影響大的普遍看法［12－13］。根據(jù)此復(fù)共線性關(guān)系，令共12參數(shù)。定軌弧長(zhǎng)從4h至3d，其中針對(duì)機(jī)動(dòng)后軌道快速恢復(fù)的4h短弧跟蹤條件只解算軌道6參數(shù)。

為考察復(fù)共線性對(duì)定軌弧長(zhǎng)的敏感性，逐歷元累加法矩陣。設(shè)法矩陣元素絕對(duì)值最小值為，其中i，j＝1，2，…，t。則6參數(shù)4h觀測(cè)數(shù)據(jù)和12參數(shù)8h觀測(cè)數(shù)據(jù)法矩陣的、法矩陣特征值λi的數(shù)值如表2所示。

表2 算例2的min（｜Nii｜）和λi 數(shù)值大小Tab.2 Numerical values of min（｜Nii｜）andλiof example 2

分析表2發(fā)現(xiàn)：

（1）采用6參數(shù)進(jìn)行定軌時(shí)，法矩陣不存在復(fù)共線性。此處條件數(shù)大只是最大特征值和最小特征值之間的比值大，不會(huì)放大觀測(cè)誤差對(duì)估計(jì)值的影響。故采用LS估計(jì)即可得到很好的估計(jì)結(jié)果。

（2）采用12參數(shù)進(jìn)行軌道確定時(shí)，法矩陣存在一個(gè)嚴(yán)重的復(fù)共線性關(guān)系，必須要克服此復(fù)共線性關(guān)系對(duì)估計(jì)值得影響。

對(duì)解算12參數(shù)的情況，下面采用特征分析法討論復(fù)共線性具體存在于設(shè)計(jì)陣的那幾列。由于觀測(cè)歷元較少時(shí)復(fù)共線性比較明顯，此處采用前10個(gè)歷元的設(shè)計(jì)陣A30×12進(jìn)行分析。計(jì)算

采用四舍五入方法給出第3個(gè)歷元數(shù)據(jù)計(jì)算得到的矩陣［q11a1q21a2…q12，1a12］如下

式中，k1和k2由文中相應(yīng)的嶺參數(shù)公式確定，c＝1／2。

由于GEO軌道的確定一般采用比較長(zhǎng)的觀測(cè)數(shù)據(jù)，隨著觀測(cè)數(shù)據(jù)的增加，復(fù)共線性會(huì)逐漸減弱。當(dāng)存在復(fù)共線性時(shí)，采用雙k型嶺估計(jì)可以克服其影響；當(dāng)不存在復(fù)共線性關(guān)系時(shí)，雙k型嶺估計(jì)退化為L(zhǎng)S估計(jì)。故采取兩種方案進(jìn)行分析討論：

方案1采用LS估計(jì)；

方案2采用本文提出的雙k型嶺估計(jì)。

以衛(wèi)星位置的三維定軌誤差絕對(duì)值的平均值為定軌評(píng)價(jià)標(biāo)準(zhǔn)。上述兩種方案的位置誤差隨定軌弧長(zhǎng)從4h（240歷元）到3d（4320歷元）的變化情況如圖1所示。

圖1 算例2中方案1和方案2定軌誤差Fig.1 Orbit error of scheme 1and scheme 2of example 2

由圖1可以看出：

（1）當(dāng)觀測(cè)歷元較少時(shí)，設(shè)計(jì)陣病態(tài)性比較嚴(yán)重，LS估計(jì)遠(yuǎn)不如雙k型嶺估計(jì)效果好。隨著觀測(cè)歷元的增加，病態(tài)性逐漸減弱。在1000歷元到2000歷元之間病態(tài)性較弱，LS估計(jì)和雙k型嶺估計(jì)的結(jié)果相當(dāng)，定軌誤差均在5m以內(nèi)。

（2）2000歷元以后，由于觀測(cè)歷元增多，設(shè)計(jì)陣已不存在復(fù)共線性，此時(shí)雙k型嶺估計(jì)完全退化為L(zhǎng)S估計(jì)，兩種方案的定軌誤差曲線完全重合。但是由于累積誤差的影響，此時(shí)相應(yīng)的定軌評(píng)價(jià)標(biāo)準(zhǔn)在10m以內(nèi)。

6 結(jié) 論

（1）證明了以下定理：法矩陣存在復(fù)共線性與法矩陣存在相對(duì)于本身元素絕對(duì)值小得多的特征值是充分必要條件。

（2）給出了判斷法矩陣是否存在小的特征值的方法，進(jìn)而完善了特征分析法。

（3）若法矩陣存在復(fù)共線性，則條件數(shù)一定很大。若不存在相對(duì)于法矩陣元素絕對(duì)值很小的特征值，即使條件數(shù)很大，法矩陣本身也不存在復(fù)共線性。

（4）不存在復(fù)共線性時(shí)，條件數(shù)很大只是反映了法矩陣特征值差異較大，它不會(huì)放大觀測(cè)誤差對(duì)LS估計(jì)的影響。

（5）準(zhǔn)確判斷出法矩陣中具體那幾列之間存在復(fù)共線性關(guān)系后，本文提出的相應(yīng)雙k型嶺估計(jì)可以有效地克服復(fù)共線性的影響。采用從廣義嶺估計(jì)出發(fā)確定普通嶺估計(jì)中嶺參數(shù)的思想，給出了確定雙k型嶺估計(jì)中嶺參數(shù)的合理方法。

（6）采用6參數(shù)對(duì)GEO衛(wèi)星定軌時(shí)，法矩陣不存在復(fù)共線性。采用12參數(shù)對(duì)GEO衛(wèi)星定軌時(shí)，當(dāng)觀測(cè)數(shù)據(jù)較少時(shí)復(fù)共線性很嚴(yán)重，隨著觀測(cè)時(shí)間的增加復(fù)共線性越來越弱，當(dāng)觀測(cè)時(shí)間為兩天時(shí)法矩陣已完全不存在復(fù)共線性。

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