崔 立，宋曉光，鄭建榮

(華東理工大學 機械與動力工程學院，上海 200237)

齒輪軸承轉(zhuǎn)子系統(tǒng)是在各種機械設(shè)備中都有廣泛的應(yīng)用，由于現(xiàn)代機械傳動設(shè)備的要求越來越高，工作環(huán)境也開始向高速、高溫、重載方向發(fā)展，對于齒輪轉(zhuǎn)子系統(tǒng)的研究也就變得越來越重要。

目前對于齒輪非線性動力學進行了大量的研究，但是在齒輪軸承轉(zhuǎn)子耦合系統(tǒng)方面的研究還不夠成熟［1］。傳統(tǒng)的研究方法往往忽略了整個系統(tǒng)的耦合作用，考慮自由度較少，將軸和軸承當做剛性體處理，未考慮柔性轉(zhuǎn)子造成的響應(yīng)或是將支承軸承簡化成線性力，未考慮非線性軸承力的影響。如Kahraman等［2］考慮時變嚙合剛度和齒側(cè)間隙，建立了齒輪系統(tǒng)的動力學模型，但僅考慮3個自由度。李潤方等［3］建立了彎扭耦合的齒輪系統(tǒng)力學數(shù)學模型，采用集中質(zhì)量法，將支撐剛度設(shè)為定值，但未考慮軸、軸承對整個系統(tǒng)的影響。張鎖懷等［4］建立了具有齒側(cè)間隙的齒輪系統(tǒng)動力學模型，但轉(zhuǎn)軸為剛性軸，系統(tǒng)僅考慮4個自由度。也有研究考慮系統(tǒng)多個自由度，考慮齒輪嚙合產(chǎn)生的彎曲和扭轉(zhuǎn)耦合振動，但往往忽略系統(tǒng)中的多種非線性因素及柔性轉(zhuǎn)軸的影響［5-6］。

最近的研究開始考慮多種非線性因素耦合效應(yīng)建模，比如Cai等［7-8］在建立齒輪軸承系統(tǒng)數(shù)學模型時，考慮了系統(tǒng)的強非線性因素，引入了非線性油膜力、非線性嚙合力，這種模型得到了軸承、主動輪、被動輪中心點的振動響應(yīng)時異步的。Byrtus［9］使用模態(tài)綜合法建立了齒輪系統(tǒng)動力學模型，將時變嚙合剛度、齒側(cè)間隙、非線性軸承力等因素引入系統(tǒng)模型中，但未研究柔性轉(zhuǎn)軸的影響。崔亞輝等［10-11］在建立齒輪模型過程中，考慮齒側(cè)間隙、時變嚙合剛度、靜態(tài)傳動誤差、不平衡質(zhì)量的影響。陳思雨等［12］建立了考慮齒側(cè)間隙、時變嚙合剛度齒輪模型，研究了齒輪非線性沖擊響應(yīng)，對脫齒現(xiàn)象進行了研究。李明等［13］研究了齒輪轉(zhuǎn)子軸承系統(tǒng)的彎扭耦合振動和非線性動力學進展情況，提出應(yīng)考慮多種激勵同時作用下系統(tǒng)的動力學分析、同時考慮多種非線性因素的齒輪轉(zhuǎn)子軸承系統(tǒng)動力學分析。蔣慶磊等［14］研究了齒輪傳動多轉(zhuǎn)子耦合系統(tǒng)振動特性，得到了齒輪副耦合作用對機組振動特性的影響。竇唯等［15］建立了高速齒輪轉(zhuǎn)子系統(tǒng)彎扭耦合振動模型，研究了偏心距、齒輪嚙合剛度等參數(shù)對系統(tǒng)振動響應(yīng)的影響規(guī)律。但以上研究均未考慮滾動軸承的非線性振動影響。滾動軸承徑向間隙引起的非線性現(xiàn)象也可導致轉(zhuǎn)子系統(tǒng)失穩(wěn)或進入混沌運動［16-17］。齒輪軸承轉(zhuǎn)子系統(tǒng)是一個多自由度、多耦合、多間隙的非線性振動問題，需要考慮齒側(cè)間隙、軸承徑向間隙等多間隙的非線性因素。

本文考慮齒側(cè)間隙、軸承徑向間隙，考慮齒輪時變嚙合剛度、軸承時變剛度，建立適用于復(fù)雜載荷的齒輪軸承柔性轉(zhuǎn)子耦合的動力學模型，研究轉(zhuǎn)速變化對齒輪系統(tǒng)動力學響應(yīng)的影響、轉(zhuǎn)軸剛度變化對系統(tǒng)動態(tài)特性的影響規(guī)律、齒側(cè)間隙和軸承徑向間隙變化對系統(tǒng)混沌運動的影響，提高齒輪轉(zhuǎn)子系統(tǒng)的可靠性。

1 計算模型

首先建立齒輪副嚙合模型和動力學模型;然后推導滾動軸承接觸力的非線性模型;接著采用有限單元法將轉(zhuǎn)子系統(tǒng)劃分為彈性軸段、圓盤及支承，建立各節(jié)點的動力學模型;將各節(jié)點參數(shù)疊加，得到整個系統(tǒng)的動力學模型。

1.1 齒輪嚙合模型

1.1.1 時變剛度激勵

齒輪嚙合傳動過程中，齒根處嚙合時彈性變形較小，齒頂處時彈性變形較大，因此嚙合剛度隨時間發(fā)生周期性變化。計算嚙合剛度研究比較成熟的方法有石川公式、保角映射法、傅里葉級數(shù)展開法等。本文采用修正的梅澤清彥公式計算嚙合線上每點的時變剛度［18］，齒輪副的嚙合綜合剛度計算如下:

式中:km(t)為齒輪副嚙合綜合剛度;kp為節(jié)點處單對齒的嚙合剛度;t為嚙合時間;tz為端平面內(nèi)轉(zhuǎn)過一個基節(jié)的嚙合時間;ε、εα分別為總重合度系數(shù)和端平面內(nèi)重合度系數(shù);b為有效齒寬;H為齒輪全齒高;q1～q5是由最小二乘法得到的常數(shù)，q1=-0.008 54，q2=-0.116 54，q3=2.978 4，q4=-0.006 35，q5=0.005 29;zv1、zv2為當量齒數(shù);γ1、γ2為齒高修正系數(shù)。計算得到齒輪嚙合時變剛度如圖1所示，綜合嚙合剛度是一條連續(xù)的周期性曲線，這將造成齒輪在嚙合過程中周期性振動。

圖1 齒輪嚙合剛度Fig.1 Meshing stiffness for gear pairs

1.1.2 齒側(cè)間隙激勵

齒輪系統(tǒng)的受力分析如圖2所示，沿y、z軸方向的齒輪動態(tài)嚙合力分別通過Fy、Fz表示。

圖2 齒輪嚙合模型Fig.2 Model of gear mesh

輪齒的嚙合傳動會使其產(chǎn)生彎曲和扭轉(zhuǎn)振動，考慮齒輪彎扭耦合的3自由度模型，齒輪中心處位移可表示為:

兩齒輪在嚙合線上的相對位移:

式中:em表示由于實際齒廓偏離理論位置引起的齒輪靜態(tài)傳動誤差，α為齒輪壓力角。

當δ(t)＞bn時，齒輪處于正常嚙合狀態(tài);當-bn＜δ(t)＜bn時，齒輪嚙合會出現(xiàn)瞬時脫齒現(xiàn)象;當δ(t)＜-bn時，出現(xiàn)齒背接觸現(xiàn)象。

設(shè)齒側(cè)間隙為2bn，采用分段函數(shù)表示齒側(cè)間隙。輪齒間嚙合力包括彈性力和阻尼力，可將時變嚙合力表示為［19］:

式中:cm是嚙合阻尼。

此外，當沿y方向振動過大時，可能導致齒面、齒背同時接觸，即產(chǎn)生所謂的擠齒現(xiàn)象，發(fā)生擠齒條件為:

1.1.3 齒輪受力模型

對主動、從動輪進行受力分析，得到受力公式如下:

式中:F1y、F1z為主動輪在y，z方向受到的嚙合力;F2y、F2z為從動輪在y，z方向受到的嚙合力;M1、M2表示主、從動輪受到的力矩。rb1、rb2表示主、從動齒輪基圓半徑;m1、m2表示兩齒輪的質(zhì)量;T1、T2是主、從動輪所受的轉(zhuǎn)矩。

在正常嚙合狀態(tài)下，各公式取上面的符號;當發(fā)生齒背接觸時，嚙合力方向改變，各公式取下面的符號。

1.2 滾動軸承非線性接觸力

圖3(a)所示為球軸承，Dw為球徑，D1為軸承外徑，D2為內(nèi)徑，ur為軸承徑向間隙。圖3(b)為球軸承受力變形后球與套圈之間的位移-變形關(guān)系。假設(shè)外圈滾道溝曲率中心是固定的，內(nèi)圈滾道溝曲率中心相對此中心而移動，滾動體質(zhì)心也產(chǎn)生位移，內(nèi)外圈接觸角將不同。圖中O1點為固定的外圈曲率中心，內(nèi)圈溝曲率中心從O2點移動到了O'2點，球中心從Ob點移動到了O'b點。

圖3 滾動軸承幾何關(guān)系Fig.3 Geometry relation of rolling bearing

圖3中，c1、c2分別為外圈、內(nèi)圈的溝曲率系數(shù)，α0為滾動體與套圈原始接觸角，α1i、α2i分別為受載后第i個滾動體與外圈、內(nèi)圈的接觸角，Axi、Azi為內(nèi)外圈溝曲率中心的軸向距離和徑向距離，φi為第i個滾動體的方位角。由圖中幾何關(guān)系可求出滾動體與外圈、內(nèi)圈的接觸變形δ1i、δ2i，以及接觸角，再由赫茲接觸理論可得滾動體和套圈的接觸力Q1i、Q2i。

考慮滾動軸承的離心力、陀螺力矩、慣性力、摩擦力，建立任意受載的滾動體擬動力學分析模型［20-21］。

內(nèi)圈位移已知時，使用Newton-Raphson方法可求出各滾動體的接觸力。可得滾動軸承的非線性接觸力和力矩為:

式中:f1i、f2i為滾動體的摩擦力。rr2為內(nèi)圈滾道溝曲率中心圓半徑。

1.3 彈性轉(zhuǎn)軸模型

使用有限元理論將彈性軸劃分為若干個軸段，每個軸段單元采用兩節(jié)點Euler梁單元模型，每個節(jié)點考慮6個自由度，包括橫向彎曲振動(沿y、z軸)、軸向振動(沿x軸)、扭轉(zhuǎn)振動(繞x軸)、扭擺振動(繞y、z軸)。如圖4所示，兩根彈性軸分別包括n1和n2個節(jié)點，i、j表示嚙合齒輪在軸段上的節(jié)點位置。

圖4 齒輪軸承轉(zhuǎn)子系統(tǒng)節(jié)點示意圖Fig.4 Nodes of gear bearing rotor system

通過Euler梁單元模型，根據(jù)有限元理論，可得到軸段節(jié)點的質(zhì)量、剛度、阻尼、陀螺和載荷矩陣。

1.4 整體法建模

采用整體法對齒輪、滾動軸承和彈性軸的質(zhì)量、剛度、阻尼、陀螺和載荷矩陣進行組裝。方法如下:

整體法是取各轉(zhuǎn)子節(jié)點狀態(tài)向量的集合X=［X1，X2，X3，…，Xn］作為系統(tǒng)的狀態(tài)向量，Xi={xi，yi，zi，θxi，θyi，θzi}，每個節(jié)點考慮 6 個自由度。組裝維數(shù)為6(n1+n2)×6(n1+n2)的質(zhì)量、剛度、阻尼、陀螺和載荷矩陣。其中，由于齒輪嚙合力考慮3個自由度、軸承力考慮5個自由度，通過對應(yīng)自由度補零的方法使其添加為6自由度矩陣。

整體法建模組裝各矩陣的流程如圖5所示。首先，輸入初始條件，以齒輪副在轉(zhuǎn)軸上的節(jié)點號ni和nj為基準，將兩根軸的節(jié)點號排列為2行的矩陣;然后從轉(zhuǎn)軸最左端節(jié)點開始組裝，將節(jié)點的參數(shù)矩陣添加到相應(yīng)的整體矩陣中，若一根轉(zhuǎn)軸在另一轉(zhuǎn)軸的對應(yīng)節(jié)點處不存在節(jié)點，則將其在整體矩陣中對應(yīng)的節(jié)點設(shè)為零矩陣;如該節(jié)點處有軸承支承，將滾動軸承質(zhì)量、阻尼、軸承力矩陣組裝到對應(yīng)的節(jié)點上;對于齒輪耦合節(jié)點，考慮到齒輪間的耦合作用，在對應(yīng)的節(jié)點位置上添加齒輪的質(zhì)量矩陣、嚙合力矩陣;直至所有節(jié)點全部組裝，得到齒輪軸承轉(zhuǎn)子系統(tǒng)的質(zhì)量矩陣、阻尼矩陣、陀螺矩陣、剛度矩陣、載荷矩陣。

得到各矩陣后，可建立齒輪軸承轉(zhuǎn)子系統(tǒng)的動力學模型如下:

式中:質(zhì)量矩陣M由轉(zhuǎn)軸、軸承、齒輪質(zhì)量組裝得到;阻尼矩陣C由轉(zhuǎn)軸、軸承阻尼組裝得到;陀螺矩陣G、剛度矩陣K僅包含轉(zhuǎn)軸項;載荷矩陣P(t)由外力、齒輪嚙合力、非線性軸承力和重力組裝得到。

2 計算方法

圖5 整體法組裝矩陣Fig.5 Matrix assemble using integration method

根據(jù)FPA修正法確定求解周期，采用Runge-Kutta法、Newton-Raphson法對非線性動力學方程組求解，通過時域圖、頻譜圖、相圖以及龐加萊截面圖進行分析。然后求解最大Lyapunov指數(shù)，判斷系統(tǒng)的動力學行為。

2.1 求解周期的確定

齒輪軸承轉(zhuǎn)子系統(tǒng)中，存在齒輪嚙合激勵、軸承非線性變剛度激勵，其中齒輪嚙合力產(chǎn)生的激勵其周期為軸轉(zhuǎn)動周期的整數(shù)倍，但軸承的變剛度激勵周期往往不是軸轉(zhuǎn)動周期的整數(shù)倍，所以在判斷和求解周期運動時，采用修正的FPA法建立統(tǒng)一的求解周期［22］，定義求解周期如下:

式中:T為求解周期，Tg為齒輪嚙合激勵周期，TVC為軸承變剛度激勵周期，ε為常數(shù)，取ε=0.01，k=1，2，3，…。

根據(jù)上式循環(huán)計算，直至找到滿足式(18)的k值，代入式(17)即得求解周期。

2.2 Lyapunov 指數(shù)計算

利用Lyapunov指數(shù)來判定是否存在混沌響應(yīng)是目前最有效的方法之一。Lyapunov指數(shù)表示在相平面中2條相鄰軌線間的距離隨時間的平均指數(shù)發(fā)散率，它明確地區(qū)分了確定性運動和混沌運動。采用Wolf算法計算最大Lyapunov指數(shù)［23-24］，對于連續(xù)系統(tǒng):

設(shè)(τ)為一基準軌線，X(τ)為其相鄰軌線。定義向量X=(x1，x2，…，xn)T的范數(shù)為:

考察X(τ)與(τ)之間的距離隨時間延續(xù)的發(fā)散程度。記:

設(shè)在τ0時刻‖δX(τ0)‖充分小，于是1維的Lyapunov指數(shù)定義為:

在n維連續(xù)系統(tǒng)中，δX(τ)在每個基底上有分量，每一個分量均可求出一個λ，因此共存在n個Lyapunov指數(shù)λi，稱為 Lyapunov指數(shù)譜。當任意選取向量δX(τ)時，Lyapunov指數(shù)以概率1可能取得最大值，如果其中最大的Lyapunov指數(shù)λmax＞0，則一定存在混沌運動。因此，只要計算出系統(tǒng)的最大Lyapunov指數(shù)，就可以判斷系統(tǒng)是否處于混沌狀態(tài)。

3 結(jié)果分析

對某齒輪軸承轉(zhuǎn)子系統(tǒng)進行數(shù)值計算，兩齒輪軸長度各400 mm，彈性模量為2×1011Pa，泊松比0.3，各由兩個7306球軸承支承，軸承受預(yù)緊載荷200 N，齒輪傳遞扭矩100 N·m。主動、被動齒輪和支承軸承的結(jié)構(gòu)參數(shù)如表1、表2所示。

表1 齒輪結(jié)構(gòu)參數(shù)Tab.1 Structure parameters of gears

表2 滾動軸承結(jié)構(gòu)參數(shù)Tab.2 Structure parameters of rolling bearings

將兩根齒輪軸各劃分為5個節(jié)點，分析轉(zhuǎn)速、齒側(cè)間隙、轉(zhuǎn)軸剛度、軸承徑向間隙對系統(tǒng)非線性響應(yīng)的影響，本文取從動輪節(jié)點處的彎曲振動響應(yīng)分析。

3.1 齒側(cè)間隙的影響

齒側(cè)間隙會導致整個系統(tǒng)在運行過程中出現(xiàn)擠齒、脫齒、齒背接觸等現(xiàn)象，造成齒輪單邊沖擊或雙邊沖擊。其他參數(shù)不變的情況下，分析齒側(cè)間隙對整個齒輪轉(zhuǎn)子軸承系統(tǒng)的動力學特性的影響。

不同齒側(cè)間隙時最大Lyapunov指數(shù)隨轉(zhuǎn)速變化如圖6所示?？梢钥闯觯X側(cè)間隙為10 μm時，在2 900～3150r/min，最大Lyapunov指數(shù)大于零，系統(tǒng)出現(xiàn)混沌行為;當齒側(cè)間隙為20 μm時，系統(tǒng)在2 750～3 300 r/min、4 300～5 400 r/min，系統(tǒng)出現(xiàn)了混沌行為，而當齒側(cè)間隙為40 μm時，系統(tǒng)在2 700～ 3 350 r/min、4 150～5 500 r/min，出現(xiàn)混沌行為。隨著齒側(cè)間隙的不斷增大，混沌區(qū)間逐漸變大。

圖6 不同齒側(cè)間隙時最大Lyapunov指數(shù)隨轉(zhuǎn)速變化Fig.6 Variation of Maximal Lyapunov exponent with speed at different backlash

計算齒側(cè)間隙為20 μm時z方向的振幅，如圖7所示。在2 700 r/min處，振幅出現(xiàn)了跳躍現(xiàn)象。在轉(zhuǎn)子轉(zhuǎn)速為4 750 r/min時，出現(xiàn)了共振峰值。這是由于轉(zhuǎn)速接近齒輪轉(zhuǎn)子系統(tǒng)一階彎扭耦合振動臨界轉(zhuǎn)速引起共振。

圖7 齒側(cè)間隙20 μm時的振幅Fig.7 Amplitude corresponding to 20 μm backlash

齒側(cè)間隙為10 μm、轉(zhuǎn)速為4 400 r/min，沿嚙合線方向相對位移、沿y方向的相對位移、頻譜圖和Poincaré映射圖如圖8所示。可以看出，圖8(a)所示沿著嚙合線的相對位移大于齒側(cè)間隙一半，說明齒輪正常嚙合。圖8(b)表示的嚙合產(chǎn)生的y方向的相對位移小于零，根據(jù)式(8)中擠齒條件判斷，系統(tǒng)未產(chǎn)生擠齒現(xiàn)象。圖8(c)中頻譜中僅有軸承變剛度振動頻率fb、齒輪嚙合頻率fg，結(jié)合圖8(d)Poincaré映射圖為表明系統(tǒng)為周期運動。

齒側(cè)間隙為20 μm、4 400 r/min時，相對位移、頻譜圖和Poincaré映射圖如圖9所示。圖9(a)表明沿著嚙合線的相對位移既存在大于齒側(cè)間隙一半又存在小于齒側(cè)間隙一半的現(xiàn)象，說明系統(tǒng)處于正常嚙合與瞬時脫齒之間，即系統(tǒng)呈現(xiàn)單邊沖擊狀態(tài)。圖b)表明嚙合產(chǎn)生y方向的相對位移偶爾會出現(xiàn)大于零的現(xiàn)象，表明系統(tǒng)出現(xiàn)輕微的擠齒。圖9(c)頻譜出現(xiàn)連續(xù)譜線，結(jié)合圖9(d)Poincaré映射可知系統(tǒng)呈現(xiàn)混沌運動。

圖8 轉(zhuǎn)速4 400 r/min、間隙10 μm的響應(yīng)Fig.8 Responses at 4 400 r/min and backlash of 10 μm

圖9 轉(zhuǎn)速4 400 r/min、間隙20 μm的響應(yīng)Fig.9 Responses at 4 400 r/min and backlash of 20 μm

齒側(cè)間隙分別為 10 μm、20 μm，系統(tǒng)一階彎扭耦合臨界轉(zhuǎn)速附近4 750 r/min的Poincaré映射圖如圖10所示。圖10(a)表明齒側(cè)間隙為10 μm時系統(tǒng)為擬周期振動，圖10(b)表明齒側(cè)間隙為20 μm時系統(tǒng)為混沌運動。說明當齒側(cè)間隙增大時，系統(tǒng)在一階彎扭耦合臨界轉(zhuǎn)速附近由擬周期運動進入混沌運動。

以上分析可知，齒輪軸承轉(zhuǎn)子系統(tǒng)中齒側(cè)間隙對非線性動力學行為有重要的影響，隨著齒側(cè)間隙增大，齒輪系統(tǒng)會出現(xiàn)脫齒和擠齒現(xiàn)象，進入混沌運動且出現(xiàn)沖擊。

3.2 轉(zhuǎn)軸剛度的影響

齒側(cè)間隙取20 μm，對轉(zhuǎn)軸剛度的影響進行分析。在其他參數(shù)不變的情況下，分別取轉(zhuǎn)軸長度為300 mm、400 mm、500 mm，轉(zhuǎn)軸徑向剛度分別為 2.61 ×107N/m、1.14×107N/m、0.59 ×107N/m，分析對齒輪轉(zhuǎn)子軸承系統(tǒng)的動力學特性的影響。不同轉(zhuǎn)軸剛度時對應(yīng)的最大Lyapunov指數(shù)隨轉(zhuǎn)速的變化如圖11所示。

轉(zhuǎn)軸長度為300 mm時，在2 600～3 700 r/min、4 150～5 900 r/min，出現(xiàn)混沌行為。轉(zhuǎn)軸長度為400 mm 時，在2 750～3 300 r/min、4 300 ～5 400 r/min，出現(xiàn)混沌行為。轉(zhuǎn)軸長度為500 mm時，系統(tǒng)在2 800～3 200 r/min，出現(xiàn)混沌行為?？梢?，隨著轉(zhuǎn)軸長度增加即轉(zhuǎn)軸剛度降低，系統(tǒng)混沌區(qū)間減小;共振轉(zhuǎn)速附近產(chǎn)生混沌運動對應(yīng)的轉(zhuǎn)速降低，這是由于轉(zhuǎn)軸剛度降低導致彎扭耦合振動臨界轉(zhuǎn)速減小，因此混沌運動的區(qū)間也發(fā)生改變。

轉(zhuǎn)速為4 400 r/min、轉(zhuǎn)軸長度為300 mm的響應(yīng)如圖12所示。圖12(a)表明脫齒現(xiàn)象嚴重，系統(tǒng)出現(xiàn)單邊沖擊。圖12(b)表明，有間歇性的擠齒現(xiàn)象。圖12(c)證明系統(tǒng)為混沌運動。

轉(zhuǎn)速4 400 r/min、轉(zhuǎn)軸長度為500 mm的響應(yīng)如圖13所示，由圖13(a)可知，無脫齒。圖13(b)表明，無擠齒。13(c)證明系統(tǒng)為2周期運動。

對比圖9、圖12與圖13可知，隨著轉(zhuǎn)軸剛度降低，系統(tǒng)由混沌運動逐漸轉(zhuǎn)變?yōu)?周期運動;由嚴重脫齒逐漸減輕并變?yōu)椴幻擙X，由間歇性擠齒、輕微擠齒變?yōu)闊o擠齒;沖擊現(xiàn)象也逐漸減輕并消失。

圖10 不同齒側(cè)間隙的Poincaré映射Fig.10 Poincaré figuresat different backlash

圖11 不同轉(zhuǎn)軸剛度時最大Lyapunov指數(shù)Fig.11 Maximal Lyapunov exponent at different stiffness

圖12 轉(zhuǎn)速4 400 r/min、轉(zhuǎn)軸長度300 mm響應(yīng)Fig.12 Responses at 4 400 r/min and shaft length is 300 mm

圖13 轉(zhuǎn)速4 400 r/min、轉(zhuǎn)軸長度500 mm響應(yīng)Fig.13 Responses at 4 400 r/min and shaft length is 500 mm

圖14 不同間隙時的頻譜Fig.14 Frequency spectrμm at different backlash and clearance

3.3 軸承徑向間隙的影響

軸承徑向間隙會導致軸承系統(tǒng)出現(xiàn)非線性行為。之前的研究因為軸承的振動幅值與齒輪相比較小而往往忽略，但隨著結(jié)構(gòu)參數(shù)與工況參數(shù)改變支承軸承的振幅可能很大［13-14］，本文考慮軸承齒輪轉(zhuǎn)子系統(tǒng)耦合影響，研究軸承的非線性對齒輪的影響。

圖14(a)、(b)給出了轉(zhuǎn)速4 400 r/min，齒側(cè)間隙為10 μm、軸承徑向間隙分別為40 μm、80 μm 時的頻譜圖，與圖8(c)軸承徑向間隙為60 μm時得到的頻譜圖對比，發(fā)現(xiàn)徑向間隙為40 μm、60 μm時系統(tǒng)均為周期振動，但間隙為60 μm時軸承激勵的幅值比間隙為40 μm時大;間隙為80 μm時發(fā)現(xiàn)嚙合頻率兩側(cè)出現(xiàn)軸承振動幅值調(diào)制產(chǎn)生的邊頻帶，軸承振動頻率附近出現(xiàn)了連續(xù)譜線，軸承變剛度激勵的幅值增大，軸承非線性振動對系統(tǒng)的影響增大，系統(tǒng)由周期運動變?yōu)榉侵芷谶\動。

圖14(c)、(d)給出了轉(zhuǎn)速4 400 r/min，齒側(cè)間隙20 μm、軸承徑向間隙分別為 40 μm、80 μm 時的頻譜圖。與圖9(c)軸承徑向間隙為60 μm得到的頻譜圖對比，發(fā)現(xiàn)三種參數(shù)下系統(tǒng)均為混沌運動，但隨著徑向間隙的增大，軸承激勵的幅值明顯增大，軸承振動對系統(tǒng)的影響增大，系統(tǒng)的混沌運動行為也變得更加明顯。

4 結(jié)論

(1)齒側(cè)間隙增大，系統(tǒng)混沌運動的轉(zhuǎn)速區(qū)間變大，振幅出現(xiàn)跳躍現(xiàn)象;齒輪系統(tǒng)會出現(xiàn)脫齒和擠齒現(xiàn)象，由周期運動逐漸進入混沌運動且出現(xiàn)沖擊;臨界轉(zhuǎn)速附近由擬周期運動進入混沌運動。

(2)隨著轉(zhuǎn)軸剛度降低，系統(tǒng)混沌運動的轉(zhuǎn)速區(qū)間減少，柔性轉(zhuǎn)軸對減少系統(tǒng)混沌運動有利;彎扭耦合振動臨界轉(zhuǎn)速減小;使系統(tǒng)脫齒、擠齒和沖擊現(xiàn)象逐漸減輕。

(3)隨著軸承徑向間隙增大，軸承的非線性振動對系統(tǒng)的影響逐漸增大，軸承變剛度激勵的幅值增大。

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