例1 學(xué)校草坪上要空出一塊直角三角形的地種花，已知這個直角三角形的兩邊長分別為4 m和5 m，那么這塊直角三角形空地的面積為_______m2.

【錯誤解答】因為是塊直角三角形空地，由勾股定理可得，32+42=52，所以第三條邊長為3 m，此時直角三角形空地的面積：■×3×4=6（m2）.

【錯因剖析】由于不能正確理解勾股定理的內(nèi)涵——兩條直角邊的平方和等于斜邊的平方以及受勾股數(shù)3，4，5的影響，導(dǎo)致了錯誤. 在直角三角形中，要弄清哪個是直角，從而確定哪條是斜邊，才能寫出正確的勾股定理表達(dá)式.

【正確解答】此題要分兩種情況：

（1） 當(dāng)已知的4和5兩邊中有一條為斜邊，則5是斜邊，由勾股定理，另一直角邊的長為3，此時三角形空地的面積■×3×4=6；

（2） 當(dāng)已知的4和5兩條邊都是直角邊時，此時三角形空地的面積為■×4×5=10.

故這塊直角三角形空地的面積為6 m2或10 m2.

例2 已知，在△ABC中，AB=20，AC=15，BC邊上的高為12，則BC邊的長為_______.

【錯誤解答】先畫出圖形（如圖1），在兩個直角三角形中分別用勾股定理求BD和CD的長再相加即可.

在Rt△ABD中，由勾股定理得，

BD2=AB2-AD2=202-122=256，則BD=16；

在Rt△ACD中，由勾股定理得，

CD2=AC2-AD2=152-122=81，則CD=9.

所以BC=BD+CD=16+9=25.

【錯因剖析】從以上過程可看出，其分析問題的思路清晰，在直角三角形中兩次利用勾股定理進(jìn)行計算. 但是由于思維定勢影響，就借助了“順手”畫出的∠C為銳角的三角形解決問題，而忽略了鈍角三角形其高在形外的這種情形，因此導(dǎo)致漏解. 解決這類無圖問題時，在借助圖形分析的同時，要考慮解的多種可能性，避免漏解.

【正確解答】此題要分兩種情況：

（1） 如圖1，在Rt△ABD中，由勾股定理得，

BD2=AB2-AD2=202-122=256，則BD=16；

在Rt△ACD中，由勾股定理得，

CD2=AC2-AD2=152-122=81，則CD=9.

所以BC=BD+CD=16+9=25.

（2） 如圖2，同（1）可求得BD=16，CD=9，所以BC=BD-CD=16-9=7.

綜上，BC邊的長為25或7.

例3 如圖3，等腰△ABC中，AB=AC

=10，底邊BC=12，求一腰上的高CH的長.

【錯誤解答】因為CH⊥AB，在Rt△ACH和Rt△BCH中，由勾股定理得，

AC2-AH2=CH2，BC2-BH2=CH2，

因此102-AH2=CH2，122-BH2=CH2.

【錯因剖析】

該同學(xué)借助圖形，分析在已知的兩個直角三角形中利用勾股定理完全正確. 但是為什么最后這個題做不下去了？因為AH或BH的長度不知道，未知線段多導(dǎo)致其在解題過程中的無序，進(jìn)而無法求解.

思路1：實際上，因為在兩個直角三角形中都無法直接求得CH的長，因此采用間接方法，即設(shè)AH=x，則BH=10-x，在兩個直角三角形中分別表示出公共邊CH2即可列方程求得AH，然后再求出CH的長.

解法1：設(shè)AH=x，則BH=10-x，在Rt△ACH和Rt△BCH中，由勾股定理得，

AC2-AH2=CH2，BC2-BH2=CH2，

因此102-x2=122-（10-x）2，解得x=■.

在Rt△ACH中，由勾股定理得

CH2=AC2-AH2=102-■2=■，

所以CH=■.

思路2：既然未知量是等腰三角形一腰上的高，腰為已知量，只要先求出面積即可. 因此想到作底邊上的高，先求三角形的面積.

解法2：如圖4，作

AD⊥BC于點D.

因為AB=AC，AD⊥BC，所以BD=CD=■BC=6.

在Rt△ABD中，由勾股定理得，

AD2=AB2-BD2=102-62=64，所以AD=8.

因為AD⊥BC，CH⊥AB，

所以S△ABC=■BC·AD=■AB·CH，所以CH=■=■.

例4 如圖5所示的一塊地，已知AD=4 m，CD=3 m，AD⊥DC，AB=13 m，BC=12 m，求這塊地的面積.

【錯誤解答】因為AD⊥DC，考慮連接AC，則構(gòu)造Rt△ACD，從而求得AC長為5，然后用兩個直角三角形面積相減得這塊地的面積.

在Rt△ACD中，AC2=CD2+AD2=32+42

=25，所以AC=5.

這塊地的面積S=S△ABC-S△ADC=■AC·BC-■AD·CD=■×5×12-■×3×4=30-6

=24.

【錯因剖析】這題的解題過程看起來沒有問題，但是“AB=13 m”的條件難道多余嗎？許多同學(xué)由于受特征結(jié)論及圖的影響，直觀判斷三角形ABC是直角三角形而沒有進(jìn)行推理，導(dǎo)致了錯誤的發(fā)生.

【正確解答】在Rt△ACD中，AC2=CD2+AD2=32+42=25，所以AC=5.

在△ABC中，由于AC2+BC2=AB2，所以∠ACB=90°.

因此這塊地的面積S=S△ABC-S△ADC=■AC·BC-■AD·CD=■×5×12-■×3×4=30-6=24.