由一道課本習(xí)題出發(fā)

教材上的例習(xí)題都是經(jīng)過編寫專家精心構(gòu)造、苦心打磨的優(yōu)秀問題，如何發(fā)揮這些優(yōu)質(zhì)習(xí)題的價值，使我們“入寶山不空返”？下面我們從一道教材習(xí)題出發(fā)，給同學(xué)們做些輔導(dǎo).

課本習(xí)題（蘇科版八年級上冊，第88頁）

如圖1，在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=12，BC=9，AB的垂直平分線分別交AB、AC于點D、E. 求AE、EC的長.

【思路講解】不妨連接BE，由垂直平分線的性質(zhì)，容易得到BE=AE，進一步，可在Rt△BCE中由勾股定理構(gòu)造方程. 設(shè)CE=x，則BE=AE=12-x. 得方程x2+92=（12-x）2

解得，x=■.

于是AE=■，CE=■.

【成果擴大】我們很自然地聯(lián)想到，這個圖形中其他線段的長也能求嗎？

比如AB是不是很快能得到？進一步AD、BD是不是也很容易求得？還有DE呢？不妨留給同學(xué)們自己思考.

不滿是向上的階梯，上面我們稍加思考，就將問題的成果擴大（事實上，隨著學(xué)習(xí)的深入，在九年級我們還有其他方法快速求解上述線段的長），初步達到了“入寶山不空返”. 下面再給出一道同類問題，以期達到“做一題·會一類·通一片”的效果.

變式拓展

如圖2，在Rt△ABC中，∠C=90°，點D是BC上一點，AD=BD，若AB=8，BD=5，則CD=______.

【分析】圖中有兩個直角三角形，若設(shè)CD=x，分別在Rt△ABC和Rt△ADC中利用勾股定理列方程，可求得CD的值.

解：設(shè)CD=x，在Rt△ABC中，由AC2

+（CD+BD）2=AB2，得到AC2=AB2-（CD+BD）2

=64-（x+5）2 ①

在Rt△ADC中，由AC2+CD2=AD2，得到AC2=AD2-CD2=25-x2 ②

比較①②兩式，得到64-（x+5）2=25-x2，解得x=1.4. 即CD的值為1.4.

【點評】勾股定理反映了直角三角形三邊之間的數(shù)量關(guān)系，利用勾股定理列方程思路清晰，直觀易懂.

同步訓(xùn)練

1. 如圖3，在鈍角△ABC中，BC=9，AB=17，AC=10，AD⊥BC的延長線于D. 求AD的長.

2. 某校把一塊三角形的廢地開辟為動物園，如圖4所示，測得AC=80米，BC=60米，AB=100米.

（1） 若入口E在邊AB上，且與A、B等距離，求入口E到出口C的最短距離；

（2） 若線段CD是一條小渠，且D點在邊AB上，已知水渠的造價為10元/米，則D點距A點多遠，水渠的造價最低？最低造價是多少？

參考答案

1. 如圖1所示，設(shè)CD=x，在直角△ADC中，AD2=AC2-CD2=102-x2；

在直角△ABD中，

AD2=AB2-BD2=172-（9+x）2.

所以172-（9+x）2=102-x2.

解此方程，得x=6.

所以AD=8.

2. （1） 在△ABC中，因為AC=80，BC

=60，AB=100，所以AC2+BC2=AB2，所以∠C

=90°，即△ABC為直角三角形，故入口E到出口C的最短線路就是Rt△ABC斜邊的中線CE，又因為CE=■AB=50，所以入口E到出口C的最短線路長為50米；

（2） 如圖所示，CD為Rt△ABC斜邊上的高時，CD最短，此時水渠造價最低. 所以CD×AB=AC×BC，所以CD=48米，在Rt△ACD中，AC2=AD2+CD2，802=AD2+482，所以AD

=64米. 所以D點距A點64米時，水渠的造價最低，最低造價為48×10=480（元）.