“滑竿下滑”問題再探究

教材上有“滑竿下滑”問題的探究，體現(xiàn)了勾股定理在這個情境中的重要價值. 現(xiàn)在我們繼續(xù)圍繞“滑竿下滑”問題做出新的探究.

例 如圖1所示，滑竿在機械槽內(nèi)運動，∠ACB為直角，已知滑竿AB長2.5米，頂端A在AC上運動，量得滑竿下端B距C點的距離為1.5米，當端點B向右移動0.5米時，求滑竿頂端A下滑多少米？

對于這個探究問題，在老師點撥時大家能跟在后面做，但自己獨立完成時不知從何處下手，往往會使思維受到限制.

【分析】勾股定理是描述直角三角形三邊關(guān)系的一個重要關(guān)系式，是中考的重要知識點之一，它實質(zhì)上是一個等式，若能用一個未知數(shù)將直角三角形的三邊表示出來，本題就可以利用勾股定理來列方程，求出相應(yīng)的邊.

解：設(shè)AE的長為x米，依題意得CE

=AC-x.

∵AB=DE=2.5，BC=1.5，∠C=90°，

∴AC2=2.52-1.52=4，即AC=2.

∵BD=0.5，

∴在Rt△ECD中，CE2=2.52-（1.5+0.5）2

=2.25，即CE=1.5.

∴2-x=1.5，x=0.5. 即AE=0.5.

答：梯子下滑0.5米.

跟蹤訓(xùn)練

1. 如圖2，一架長5米的梯子AB斜靠在與地面OM垂直的墻壁ON上，梯子與地面成一個傾斜角，此時OB=■AB. 若梯子頂端A沿NO下滑，同時底端B沿OM向右滑行.如圖3，設(shè)A點下滑到C點，B點向右滑行到D點，并且AC∶BD=3∶2，試計算梯子頂端A沿NO下滑多少米.

解：在Rt△AOB中，∠O=90°，AB=5（米），

所以O(shè)B=■AB=3（米）.

根據(jù)勾股定理，得

OA2=AB2-OB2=52-32=42（米）.

若設(shè)AC=3x，BD=2x，在Rt△COD中，

OC=4-3x，OD=3+2x，CD=5.

根據(jù)勾股定理，得OC2+OD2=CD2，

所以（4-3x）2+（3+2x）2=52，

所以13x2-12x=0，

因為x≠0，所以13x-12=0，即x=■.

所以AC=3x=■.

即梯子頂端A沿NO下滑了■米.