勾股定理：提供等量列方程

勾股定理在解決問(wèn)題時(shí)的作用非常大，特別是在計(jì)算線(xiàn)段長(zhǎng)的問(wèn)題時(shí)勾股定理是常用的定理，但是有些同學(xué)在應(yīng)用勾股定理時(shí)，還是覺(jué)得有一些難度的，主要問(wèn)題是對(duì)式中的平方形式不適應(yīng)，其實(shí)只要用方程的思想去看勾股定理的應(yīng)用就一通百通了. 我們先回憶一下勾股定理的內(nèi)容：在Rt△ABC中（如圖1），∠C=90°，AB=c，AC=b，BC=a，則a2+b2=c2.

情形一：觀察一下勾股定理的等式a2

+b2=c2，共有三個(gè)字母，可以看做三個(gè)未知的量，當(dāng)其中兩個(gè)量已知的時(shí)候，第三個(gè)量一定可以求出.

例1 已知a=6，c=10，求b.

解：代入等式得：62+b2=102，解得：b=8.（負(fù)值舍去）

情形二：如果三邊中只已知一邊，另兩邊都未知，但另兩邊存有某種關(guān)系，未知的兩邊也是可求的.

例2 一個(gè)直角三角形的一直角邊為8，斜邊比另一直角邊多4，求這個(gè)三角形的面積.

解：設(shè)另一直角邊為x，則斜邊為x+4，由勾股定理得：82+x2=（x+4）2.

解得：x=6.

所以，三角形的面積為■×8×6=24.

例3 如圖2，在Rt△ABC中，∠C=90°， AC=1，BC=3. AB的中垂線(xiàn)DE交BC于點(diǎn)D， 連接AD，求AD的長(zhǎng).

【分析】已知AB的中垂線(xiàn)DE交BC于點(diǎn)D，即D在線(xiàn)段AB的中垂線(xiàn)上，則有AD=BD. 根據(jù)BC=3可得到BD+CD=AD+CD=3.這個(gè)時(shí)候我們來(lái)看Rt△ACD，AC的長(zhǎng)已知，AD、CD滿(mǎn)足和等于3，那么我們不妨設(shè)AD=x，則CD=3-x，根據(jù)勾股定理列方程就可以求出AD的長(zhǎng).

解：∵D在線(xiàn)段AB的中垂線(xiàn)上，

∴AD=BD.

∵BC=3，∴BD+CD=AD+CD=3.

設(shè)AD=x，則CD=3-x，

由勾股定理得：x2=（3-x）2+12，

解得： x=■，∴AD=■.

情形三：利用勾股定理參與表示問(wèn)題中的量.

例4 如圖3，鐵路上A、B兩站相距25 km，C、D為兩村莊，DA⊥AB于點(diǎn)A，CB⊥AB于點(diǎn)B，已知DA=15 km，CB=10 km，現(xiàn)在要在鐵路AB上建一個(gè)土特產(chǎn)品收購(gòu)站E，使得C、D兩村到E站的距離相等，則E站應(yīng)建在離A站多遠(yuǎn)的地方？

解：設(shè)AE=x km，則BE=（25-x） km，

∵DA⊥AB于點(diǎn)A，∴∠A=90°，

∴DE2=AD2+AE2.

同理，CE2=CB2+BE2.

∵DE=EC，∴CB2+BE2=AD2+AE2，

∴102+（25-x）2=152+x2，

解得：x=10.

答：E站應(yīng)建在離A站10 km處.

同學(xué)們?cè)趯W(xué)習(xí)知識(shí)時(shí)要善于把握知識(shí)的本質(zhì)規(guī)律，勾股定理的等式實(shí)質(zhì)可以看作一個(gè)三元的方程，在解決問(wèn)題時(shí)用方程的思想來(lái)看待勾股定理的應(yīng)用，也許你就覺(jué)得輕松起來(lái).