古埃及人與勾股定理

按：本文選編自《勾股定理：悠悠4000年的故事》一書.

埃及人一定使用過公式（a2+b2=c2），否則他們不可能建造出金字塔，但是他們從沒有把這當(dāng)作一個(gè)有用的理論加以描述.

——喬伊·哈克姆，《科學(xué)的故事》

美索不達(dá)米亞以東約800 km，沿尼羅河岸，另外一個(gè)古老的文明國度埃及在這里繁榮壯大. 這兩個(gè)文明國度和平共處超過3000年，大約從公元前3500年直到希臘時(shí)代. 這兩個(gè)國度都有發(fā)達(dá)的書寫技巧，熱衷于天文觀測，而且對他們的軍事勝利、商業(yè)交流和文化傳統(tǒng)有著非常詳盡的記錄. 但是，不同的是，巴比倫人把這一切記錄在泥板上，這的確是一個(gè)不易損壞的書寫材料；而埃及人使用的卻是紙莎草紙，顯然這是一種相當(dāng)易碎的材料. 如果不是因?yàn)楦稍锏纳衬畾夂?，他們的文獻(xiàn)早就灰飛煙滅了. 盡管如此，我們對古埃及的了解還是少于對美索不達(dá)米亞的了解. 我們主要是通過在各朝代埃及統(tǒng)治者的墓穴里發(fā)現(xiàn)的藝術(shù)品來了解他們，或者通過少部分殘留下來的紙莎草紙卷軸，以及他們的神殿和碑文上的象形文字來了解他們.

眾多的埃及神殿中最著名的就是金字塔，前后大約歷時(shí)1500年人們建造金字塔來贊美統(tǒng)治者法老們生前身后的榮耀. 大量的文學(xué)作品都有關(guān)于金字塔的描述，遺憾的是，其中很多文學(xué)作品是虛構(gòu)的. 金字塔吸引很多崇拜者的祭奠，這些人發(fā)現(xiàn)了這些墓碑與宇宙中事物間的隱含著的關(guān)聯(lián)，從π的值到黃金分割，再到星相. 借用著名埃及古物學(xué)家理查德·基靈斯的話來說：“作家、小說家、記者以及虛構(gòu)小說的寫手們在19世紀(jì)發(fā)現(xiàn)了一個(gè)新話題‘金字塔’，對這個(gè)課題了解得越少，或者理解得越不清楚，那么他們可以駕馭的想象空間就越大.”

顯然，建造每條邊長為230 m、高為146 m的基奧普斯大金字塔這樣如此巨大的墓碑需要大量的數(shù)學(xué)知識，而且可以肯定這些知識當(dāng)中一定包含畢達(dá)哥拉斯定理. 但事實(shí)是這樣的嗎？我們對古埃及數(shù)學(xué)狀況的了解主要來源于萊茵德紙草書，該書收集了84個(gè)問題，分別涉及算術(shù)、幾何和初等代數(shù)等領(lǐng)域. 該書是由蘇格蘭的埃及古物學(xué)者亨利·萊茵德于1858年發(fā)現(xiàn)的，這本紙草書長近5.5 m、寬近4 m. 它保存得非常完好，是我們得到的近乎完整的最古老的數(shù)學(xué)教科書（該書現(xiàn)存于倫敦大英博物館）. 這本紙草書是由一位名叫阿摩塞的抄寫員在大約公元前1650年寫成的，在西方稱其為Ah-mose. 但是，正如阿摩塞告知我們那樣，這本書不是他自己的著作，他只是把一份大約為公元前1800年的文獻(xiàn)抄寫下來而已. 書中對84個(gè)問題中的每一個(gè)問題都有詳細(xì)的求解過程，有些問題還配有圖. 最有可能的是這本著作是抄寫員學(xué)校使用的訓(xùn)練手冊，因?yàn)檫@是分配給皇家抄寫員的文字工作的一部分，這些抄寫員通常要做的是讀（reading）、寫（writing）、算（arithmetic），即我們現(xiàn)代所說的“3R”.

在萊茵德紙草書的84個(gè)問題中，有20個(gè)幾何問題，這些問題大都是研究諸如求圓形谷倉的體積，或求給定尺寸的一塊土地的面積等問題（求土地面積問題對埃及人來說是一個(gè)非常重要的問題，他們的生計(jì)與尼羅河每年的洪水息息相關(guān)）. 其中有5個(gè)問題是關(guān)于金字塔的問題，但在這些問題中并沒有直接或間接地引用畢達(dá)哥拉斯定理. 其中重復(fù)出現(xiàn)的一個(gè)概念就是金字塔邊的斜度，顯然這一問題對施工人員來說非常重要，因?yàn)樗麄儽仨毚_保 4 個(gè)面相等而且有相同的斜度. 但是畢達(dá)哥拉斯定理呢？卻一次也沒有提到.

當(dāng)然，就像考古學(xué)家喜歡說的那樣，缺乏證據(jù)不能證明不存在. 然而，很有可能的是，萊茵德紙草書是對抄寫員、建筑師或者收稅員等一類有知識的人在其生涯中所遇到的數(shù)學(xué)問題的一種概括，沒有提到畢達(dá)哥拉斯定理的事實(shí)充分提示埃及人不知道這個(gè)定理. 據(jù)說，他們是使用帶有等距離間隔的繩結(jié)的繩子丈量距離. 那么可以這樣推理：有3-4-5繩結(jié)的繩子一定會誘發(fā)埃及人發(fā)現(xiàn)3-4-5三角形是一個(gè)直角三角形，從而推斷出32+42=52的事實(shí). 但是，沒有支持這種假設(shè)的任何證據(jù). 更沒有如有些作家所描述的那樣，他們使用了3-4-5這樣的繩子來構(gòu)造直角，使用鉛垂線似乎更容易實(shí)現(xiàn)這樣的目的. 對于這種情況，引用3個(gè)著名的古代數(shù)學(xué)學(xué)者的話作為概括最好.

在90%（關(guān)于數(shù)學(xué)歷史）的書籍中，有一本論述了埃及人知道邊長為3、4和5的直角三角形，并使用這個(gè)直角三角形擺出了一個(gè)直角. 這一陳述有多少價(jià)值呢？完全沒有.

——范德瓦爾登

沒有跡象表明埃及人有什么畢達(dá)哥拉斯定理的概念，盡管有一些關(guān)于“拉繩定界先師”（司繩）的沒有事實(shí)根據(jù)的故事，推測他們在有 3+4+5=12個(gè)繩結(jié)的繩子的幫助下構(gòu)造出直角三角形.

——斯特洛伊克

好像沒有證據(jù)表明他們知道三角形（3，4，5）是直角三角形. 確確實(shí)實(shí)是這樣，根據(jù)最近的權(quán)威著作（皮特，《萊茵德紙草書》，1923），埃及數(shù)學(xué)中沒有什么東西說明埃及人知道畢達(dá)哥拉斯定理或者這個(gè)定理的任何特殊情況.

——希思

當(dāng)然，考古學(xué)家們也有可能在某一天挖出某份文獻(xiàn)，它展示一個(gè)矩形，有如YBC 7289那樣標(biāo)明它的邊和對角線. 但是，在這一發(fā)現(xiàn)之前，我們不能斷定埃及人知道直角三角形的3條邊之間的關(guān)系.

（摘編：海安縣李堡中學(xué) 張海燕）