趙爽“勾股圓方圖”

在稍后一點(diǎn)的《九章算術(shù)》一書中（約在公元50至100年間），勾股定理得到了更加規(guī)范的一般性表達(dá). 書中的《勾股章》說：“把勾和股分別自乘，然后把它們的積加起來，再進(jìn)行開方，便可以得到弦.” 《九章算術(shù)》系統(tǒng)地總結(jié)了戰(zhàn)國、秦、漢以來的數(shù)學(xué)成就，共收集了246個(gè)數(shù)學(xué)的應(yīng)用問題和各個(gè)問題的解法，列為九章. 中國古代的數(shù)學(xué)家們不僅很早就發(fā)現(xiàn)并應(yīng)用勾股定理，而且很早就嘗試對(duì)勾股定理作理論的證明.

最早對(duì)勾股定理進(jìn)行證明的是三國時(shí)期吳國的數(shù)學(xué)家趙爽. 趙爽創(chuàng)制了一幅“勾股圓方圖”，用形數(shù)結(jié)合的方法給出了勾股定理的詳細(xì)證明. 趙爽的這個(gè)證明可謂別具匠心，極富創(chuàng)新意識(shí). 在這幅“勾股圓方圖”中，以弦為邊長(zhǎng)得到的正方形ABDE是由4個(gè)相同的直角三角形再加上中間的那個(gè)小正方形組成的. 每個(gè)直角三角形的面積為■，中間的小正方形邊長(zhǎng)為b-a，則面積為（b-a）2. 于是便可得如下的式子：

4×（■ab）+（b-a）2=c2

化簡(jiǎn)后便可得： a2+b2=c2

他用幾何圖形的截、割、拼、補(bǔ)來證明代數(shù)式之間的恒等關(guān)系，既具嚴(yán)密性，又具直觀性，為中國古代以形證數(shù)、形數(shù)統(tǒng)一，代數(shù)和幾何緊密結(jié)合、互不可分的獨(dú)特風(fēng)格樹立了一個(gè)典范.

劉徽“青朱出入圖”

同一時(shí)代的數(shù)學(xué)家劉徽也是沿用趙爽的方法給出“青朱出入圖”，將青、朱兩塊移出，拼入，便很簡(jiǎn)單地證明了勾股定理.

劉徽在證明勾股定理時(shí)用的也是以形證數(shù)的方法，只是具體的分合移補(bǔ)略有不同. 劉徽的證明原來也有一幅圖，可惜圖已失傳，只留下一段文字：“勾自乘為朱方，股自乘為青方，令出入相補(bǔ)，各從其類，因就其余不動(dòng)也，合成弦方之冪. 開方除之，即弦也.”后人根據(jù)這段文字補(bǔ)了一張圖.