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      用二階行列式求直線一般式方程的探究與應(yīng)用

      2013-04-29 01:29:38趙興勇
      考試周刊 2013年98期
      關(guān)鍵詞:坐標(biāo)

      趙興勇

      摘 要: 本文探究直線上兩點(diǎn)坐標(biāo)、直線一般式方程中的系數(shù)、二階行列式中元素之間運(yùn)算關(guān)系三者的內(nèi)在聯(lián)系,通過計(jì)算由點(diǎn)的坐標(biāo)構(gòu)成的二階行列式中元素間的值,直接求出直線一般式方程中的系數(shù),進(jìn)而求出直線的一般式方程.

      關(guān)鍵詞: 二階行列式 直線方程 一般式 坐標(biāo)

      平面解析幾何中有這樣一類問題“求過平面內(nèi)兩個(gè)已知點(diǎn)的直線的一般式方程”.筆者在常規(guī)解法的基礎(chǔ)上,通過探究直線上兩點(diǎn)坐標(biāo)、直線一般式方程中的系數(shù)、二階行列式中元素之間運(yùn)算關(guān)系三者的內(nèi)在聯(lián)系,通過計(jì)算由點(diǎn)的坐標(biāo)構(gòu)成的二階行列式中元素間的值,直接求出直線一般式方程中的系數(shù),進(jìn)而求出直線的一般式方程.應(yīng)用于解決“過平面內(nèi)兩個(gè)已知點(diǎn)的直線的一般式方程”這類問題的過程中,具有直接、便捷、準(zhǔn)確、適用之優(yōu)點(diǎn).

      一、提出問題

      先來解決一個(gè)課本中的變式探究:

      已知直線l經(jīng)過兩點(diǎn)P(x■,y■),Q(x■,y■),求直線l的方程.[1]

      分析:x■與x■,y■與y■可能相等也可能不等,此時(shí)不能直接用直線的兩點(diǎn)式方程■來求,需要對(duì)其進(jìn)行討論.

      解析:(1)當(dāng)x■=x■時(shí),l:x=x■(或x=x■);

      (2)當(dāng)y■=y■時(shí),l:y=y■(或y=y■);

      (3)當(dāng)x■≠x■,y■≠y■時(shí),l:■=■.

      通常最后再將(1)、(2)、(3)的結(jié)果化為直線的一般式方程.[1]

      點(diǎn)評(píng):這種解法要對(duì)兩點(diǎn)坐標(biāo)進(jìn)行討論,求出其他形式的直線方程,通常最后還要化為直線的一般式方程.顯得過于繁瑣,而且因素考慮不周容易導(dǎo)致解題的失誤.

      問題:是否能夠避開對(duì)兩點(diǎn)坐標(biāo)的討論、避開用兩點(diǎn)式方程來求解,通過兩點(diǎn)的坐標(biāo)直接、簡(jiǎn)便、快捷、準(zhǔn)確地求出直線的一般式方程呢?

      二、探究問題

      探究1:注意到,對(duì)(3)中的■=■變形可得

      (y■-y■)x+(x■-x■)y+(x■y■-x■y■)=0(*)

      若采用(*)式作為直線的方程,那么(1)、(2)顯然也滿足(*)式.

      令y■-y■=A,x■-x■=B,x■y■-x■y■=C①,則(*)式可變形為:

      Bx+By+C=0(A,B不同時(shí)為0),即直線的一般式方程.

      于是,只需將P,Q兩點(diǎn)的坐標(biāo)代入①式,即可求出直線一般式方程中的系數(shù)A,B,C,進(jìn)而求出直線一般式方程.

      用(*)式求解此類題,避免了對(duì)P,Q兩點(diǎn)坐標(biāo)關(guān)系的討論;因素考慮不周導(dǎo)致的解題失誤;也避免了用其他方式求出的直線方程化為一般式方程帶來的麻煩,顯得簡(jiǎn)便、快捷.但①式的規(guī)律性不強(qiáng),不易記憶,容易弄反,弄混淆,故而容易導(dǎo)致解題失誤.為此,可以對(duì)①式進(jìn)一步探究.

      探究2:分析①式,由x■y■-x■y■可聯(lián)想到二階行列式,[2]其正好是二階行列式的值.此時(shí),可以對(duì)二階行列式進(jìn)一步探究,使之與系數(shù)A,B,C建立起聯(lián)系.

      將P點(diǎn)的橫、縱坐標(biāo)作為二階行列式的第一行,Q點(diǎn)的橫、縱坐標(biāo)作為行列式的第二行置入二階行列式a ?搖 bc?搖 d中,可得 x■?搖y■x■?搖 y■②

      觀察②中的元素,結(jié)合直線一般式方程中的系數(shù),發(fā)現(xiàn)行列式②的值恰好為系數(shù)C;②中的第二列元素上減下為系數(shù)A,即y■-y■=A;②中的第一列元素下減上為系數(shù)B,即x■-x■=B.

      為了更好地表達(dá)直線一般式中的系數(shù)A,B,C,探究對(duì)二階行列式的定義(一種特定記號(hào))進(jìn)行延伸.

      探究3:二階行列式定義[2]的延伸

      在a ?搖 bc?搖 d中延伸運(yùn)算:第二列元素上減下,其差記做A;第一列元素下減上,其差記做B;行列式的值(兩條對(duì)角線上元素的乘積之差)記做C;這種延伸運(yùn)算可以記做

      c-a=B

      C=?搖a?搖?搖?搖?搖?搖?搖?搖?搖?搖?搖b↑(一)↓?搖c?搖?搖?搖?搖?搖?搖?搖?搖?搖?搖d=ad-bc

      b-d=A

      三、結(jié)論

      過兩點(diǎn)P(x■,y■),Q(x■,y■)的直線l的一般式方程為Ax+By+C=0(A,B不同時(shí)為0),其中A,B,C可用下面的(※)式來求.

      x■-x■=B

      C=x■?搖?搖?搖?搖?搖?搖?搖?搖?搖?搖y■↑(一)↓x■?搖y■=x■y■-x■y■?搖(※)

      y■-y■=A

      四、應(yīng)用

      1.“x■=x■或y■=y■”型

      例 :已知直線n經(jīng)過兩點(diǎn)P(2,6),Q(-4,6),求直線n的一般式方程.

      解析:將P(2,6)的橫、縱坐標(biāo)作為行列式的第一行,Q(-4,6)的橫、縱坐標(biāo)作為行列式的第二行置入(※)式中得

      -4-2=-6=B

      C=?搖2?搖?搖?搖?搖?搖?搖?搖?搖?搖?搖6↑(一)↓-4?搖?搖?搖?搖?搖?搖?搖?搖?搖6=2×6-(-4)×6=36

      6-6=0=A

      所以直線n的一般式方程為-6y+36=0,即y-6=0.

      2.“x■≠x■,y■≠y■”型

      例2:已知直線m經(jīng)過兩點(diǎn)P(2,3),Q(-4,6),求直線m的一般式方程.

      解析:將P(2,3)的橫、縱坐標(biāo)作為行列式的第一行,Q(-4,6)的橫、縱坐標(biāo)作為行列式的第二行置入(※)式中得

      -4-2=-6=B

      C=?搖2?搖?搖?搖?搖?搖?搖?搖?搖?搖?搖3↑(一)↓-4?搖?搖?搖?搖?搖?搖?搖?搖?搖6=2×6-(-4)×3=24

      3-6=-3=A

      所以直線m的一般式方程為-3x-6y+24=0,即x+2y-8=0.

      通過探究,用(※)式來求解“過平面內(nèi)兩個(gè)已知點(diǎn)的直線的一般式方程”這類問題,坐標(biāo)與系數(shù)的關(guān)系規(guī)律性很強(qiáng),且容易理解、容易記憶、容易應(yīng)用,避免了對(duì)兩點(diǎn)坐標(biāo)關(guān)系的討論;避免了因素考慮不周導(dǎo)致的解題失誤;避免了用其他方式求出的直線方程化為一般式方程帶來的麻煩,其顯得直接、簡(jiǎn)便、快捷、準(zhǔn)確、適用,不失為一種行之有效的方法.不僅豐富了數(shù)學(xué)解題方法,提高了數(shù)學(xué)應(yīng)用意識(shí),還說明了數(shù)學(xué)中各分支的內(nèi)容并不是孤立的,它們?cè)谝欢ǖ臈l件下有著內(nèi)在聯(lián)系.

      參考文獻(xiàn):

      [1]王申懷.數(shù)學(xué)②必修[M].A版.北京:人民教育出版社,2007:95-98.

      [2]李龍才,章建躍.數(shù)學(xué)選修4-2矩陣與變換[M].A版.北京:人民教育出版社,2007:53-54.

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