朱麗娟　陳海華

摘 要：幾何概型是高中數(shù)學(xué)的新增內(nèi)容，它有著深厚的實(shí)際生活背景. 學(xué)生學(xué)習(xí)這部分內(nèi)容很感興趣，在教師指導(dǎo)下解題并不困難，但是在自主解題過(guò)程中常常不能準(zhǔn)確理解測(cè)度概念，亦不能準(zhǔn)確解題. 本文試圖尋找學(xué)生幾何概型學(xué)習(xí)中的“懂而不會(huì)”現(xiàn)象的成因及其對(duì)策，讓學(xué)生真正理解知識(shí)并學(xué)會(huì)應(yīng)用.

關(guān)鍵詞：幾何概型；教學(xué)嘗試；概念理解

[?] 問(wèn)題的提出

在高三復(fù)習(xí)幾何概型這部分內(nèi)容時(shí)，有這樣兩個(gè)題目：

題1：（1）在等腰直角三角形ABC中，在斜邊AB上任取一點(diǎn)M，求AM

（2）在等腰直角三角形ABC中，過(guò)直角頂點(diǎn)C在∠ACB內(nèi)任作一條射線(xiàn)CM，與線(xiàn)段AB交于點(diǎn)M，求AM

題2：甲、乙兩人約定在6時(shí)到7時(shí)之間在某處會(huì)面，并約定先到者應(yīng)等候另一人一刻鐘，過(guò)時(shí)即可離去，求兩人能見(jiàn)面的概率.

這兩個(gè)題目是這個(gè)部分的典型問(wèn)題，其中題1的兩個(gè)問(wèn)題背景類(lèi)似，所求問(wèn)題問(wèn)法完全一致，但是因?yàn)闇y(cè)度的選擇不同，而使得答案大相徑庭. 題2是一個(gè)以面積為測(cè)度的幾何概型，只要根據(jù)變量的取值范圍給出圖形，就能很快求得答案.

因?yàn)槭且惠啅?fù)習(xí)，通常要求學(xué)生先進(jìn)行自主預(yù)習(xí)，接著在課堂上進(jìn)行反饋交流和糾錯(cuò)，再講解點(diǎn)評(píng). 學(xué)生做下來(lái)的反饋情況令人深思，題1的第1問(wèn)全班55人全都正確，而題1的第2問(wèn)有近半數(shù)的學(xué)生答案錯(cuò)誤，而且錯(cuò)誤驚人一致，答案都是，但是他們都識(shí)別出這是幾何概型，并且知道這兩個(gè)小問(wèn)以前都做過(guò)，也錯(cuò)過(guò)，但是現(xiàn)在還是這樣理解. 而題（2）只有17人認(rèn)為這肯定是幾何概型，這17人中只有12人能夠設(shè)出甲乙兩人到達(dá)的時(shí)刻為x，y，但是真正答對(duì)的只有7人. 經(jīng)過(guò)調(diào)查，剩余的這38個(gè)學(xué)生在看到這個(gè)問(wèn)題的感受是：我知道這個(gè)問(wèn)題老師在新授課的時(shí)候講過(guò)，當(dāng)時(shí)我懂，我會(huì)，但是現(xiàn)在遇到它，我又不知道如何下手，似乎也知道是幾何概型問(wèn)題，但是力不從心，使不上勁.

這就顯示出學(xué)生在學(xué)習(xí)這部分知識(shí)時(shí)存在著“懂而不會(huì)”的現(xiàn)象，甚至有些學(xué)生根本連真正意義上的“懂”都談不上.

[?] “幾何概型”內(nèi)容的教材分析和考試要求分析

1. 高中教材上的定義

蘇教版教材必修3在給出兩個(gè)引例后給出如下定義：對(duì)于一個(gè)隨機(jī)試驗(yàn)，我們將每個(gè)基本事件理解為從某個(gè)特定的幾何區(qū)域內(nèi)隨機(jī)地取一點(diǎn)，該區(qū)域中每一點(diǎn)被取到的機(jī)會(huì)都一樣；而一個(gè)隨機(jī)事件的發(fā)生則理解為恰好取到上述區(qū)域內(nèi)的某個(gè)指定區(qū)域中的點(diǎn). 這里的區(qū)域可以是線(xiàn)段、平面圖形、立體圖形等. 用這種方法處理隨機(jī)試驗(yàn)，稱(chēng)為幾何概型. 接下來(lái)，課本又給出了計(jì)算的公式：一般地，在幾何區(qū)域D中隨機(jī)地取一點(diǎn)，記事件“該點(diǎn)落在其內(nèi)部一個(gè)區(qū)域d”為事件A，則事件A發(fā)生的概率p（A）=. 這里要求D的測(cè)度不為0，其中“測(cè)度”的意義依D確定，當(dāng)D分別是線(xiàn)段、平面圖形和立體圖形時(shí)，相應(yīng)的“測(cè)度”分別是長(zhǎng)度、面積和體積.

而人教A版幾何概型是這樣定義的： 如果每個(gè)事件發(fā)生的概率只與構(gòu)成該事件區(qū)域的長(zhǎng)度（面積或體積）成比例，則稱(chēng)這樣的概率模型為幾何概率模型，簡(jiǎn)稱(chēng)為幾何概型.

比較人教A版教材的定義，蘇教版教材的定義要長(zhǎng)一些. 這么長(zhǎng)的定義，學(xué)生閱讀和理解都是困難的.而人教版的定義對(duì)于學(xué)生而言，這個(gè)命題的條件又該如何理解？

2. 初高中教材的對(duì)比

學(xué)生在初中義務(wù)教育階段已經(jīng)學(xué)習(xí)過(guò)概率統(tǒng)計(jì)初步. 以江蘇科學(xué)技術(shù)出版社的教材為例，概率內(nèi)容出現(xiàn)在七年級(jí)（下）的第十三章《感受概率》和九年級(jí)（下）的第九章《概率的簡(jiǎn)單應(yīng)用》，沒(méi)有給出兩類(lèi)概型，但兩類(lèi)概型都有涉及，比如口袋中的摸球問(wèn)題（古典概型）、轉(zhuǎn)盤(pán)中獎(jiǎng)問(wèn)題（幾何概型）. 在概率計(jì)算中，更多的是用頻率來(lái)估計(jì)概率.

在高中教材中再次出現(xiàn)這兩個(gè)概型，并且給出定義和計(jì)算公式，對(duì)于學(xué)生而言，應(yīng)該有一個(gè)知識(shí)掌握的螺旋上升過(guò)程. 但是，就從本文開(kāi)頭的兩個(gè)問(wèn)題來(lái)看，學(xué)生獨(dú)立解決幾何概型問(wèn)題的能力有待加強(qiáng).

2. 考試要求分析

這部分內(nèi)容是課程改革后的新增內(nèi)容，《普通高中數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)》要求是了解.這部分內(nèi)容在高考中的要求是A級(jí)（了解層次）. 由于考試要求相對(duì)較低，以江蘇省高考試題必做題（160分）為例，五年來(lái)（2008-2012年）考查到幾何概型內(nèi)容的只有2008年的填空題第六題，且為容易題，所以學(xué)生在處理考題時(shí)并不困難.

[?] 學(xué)生學(xué)習(xí)“幾何概型”內(nèi)容“懂而不會(huì)”的原因分析

1. 教師教的層面

“幾何概型”是江蘇省課程改革后新啟用教材必修3中的內(nèi)容，它和算法、統(tǒng)計(jì)都是在這本書(shū)中. 從2005年這套教材的使用情況來(lái)看，必修1-5的使用順序是14523，或者是其他組合，大多數(shù)是將必修3放在最后，也就是認(rèn)為這本書(shū)的內(nèi)容考試要求低，教師認(rèn)為這部分內(nèi)容較為簡(jiǎn)單，講起來(lái)也是泛泛而講，不太重視，講授的時(shí)間較少，也會(huì)出現(xiàn)考綱不考的內(nèi)容不講的現(xiàn)象. 當(dāng)然，鑒于前面的教材和考試說(shuō)明分析，這種現(xiàn)象背后的原因不言而喻.

由此可見(jiàn)，在新授課階段，學(xué)生在模仿解題上并沒(méi)有太多困難，但是教師在讓學(xué)生加深概念的理解層面上所作的努力程度仍然不夠.

2. 學(xué)生學(xué)習(xí)的層面

（1）學(xué)生的已有知識(shí)經(jīng)驗(yàn)

根據(jù)奧蘇貝爾的“有意義學(xué)習(xí)”理論，學(xué)生原有的認(rèn)知結(jié)構(gòu)是學(xué)習(xí)的基礎(chǔ). 幾何概型的學(xué)習(xí)是在古典概型之后. 在古典概型的學(xué)習(xí)中，古典概型中有限個(gè)等可能的基本事件可以通過(guò)列舉的方式讓學(xué)生有著直接的體驗(yàn)，并且古典概型中的問(wèn)題情境也和實(shí)際生活息息相關(guān)；但到了幾何概型，他們需要將試驗(yàn)中的無(wú)限個(gè)等可能的基本事件映射為某個(gè)特定區(qū)域中的點(diǎn)，也就是從實(shí)際問(wèn)題中建立起概率模型. 而在實(shí)際問(wèn)題的解答中，又要將如問(wèn)題1的第2題中無(wú)限個(gè)等可能的事件是射線(xiàn)看成和定義中的點(diǎn)的實(shí)質(zhì)相同，這本身就是較高的思維要求，學(xué)生很難做到.

（2）學(xué)生概念的形成過(guò)程

概念的形成是概念學(xué)習(xí)過(guò)程中非常重要的部分，也是思維過(guò)程中最復(fù)雜的部分. 維果斯基曾提出：“了解概念的形成過(guò)程，即可把握住兒童學(xué)習(xí)和認(rèn)知與思維的過(guò)程.”

概念的形成基本上需要兩個(gè)條件：一是學(xué)習(xí)者必須從許多事物或情境中認(rèn)識(shí)或抽象出它們的共有特征，以便進(jìn)行概括；二是學(xué)習(xí)者必須能夠辨別出與概念相關(guān)或不相關(guān)的標(biāo)志，以便進(jìn)行區(qū)別歸類(lèi)，其具體的過(guò)程概括如下：概念形成的一般過(guò)程（曹才翰，蔡金法，1989）

新授課階段，通過(guò)引例找到幾何概型的共同屬性，揭示出本質(zhì)屬性，再通過(guò)肯定和否定例證形成概念，理解概念的內(nèi)涵和外延. 問(wèn)題2中，甲乙兩人到達(dá)約定地點(diǎn)的時(shí)間看成是兩個(gè)獨(dú)立的隨機(jī)變量，而這兩個(gè)隨機(jī)變量的取值看成是在指定區(qū)間內(nèi)任取一點(diǎn)，這就需要在具體的問(wèn)題情境中能夠深刻理解概念，并且靈活應(yīng)用概念.

維果斯基認(rèn)為，概念學(xué)習(xí)主要有三個(gè)困難：一是遷移；二是給概念下個(gè)定義；三是在最終掌握概念并在抽象水平上系統(tǒng)闡述概念以后，把概念運(yùn)用于必須借助于這些抽象的術(shù)語(yǔ)來(lái)加以觀(guān)察的新的情境，這是最困難的. 從這個(gè)角度來(lái)看，學(xué)生在問(wèn)題2中遇到的問(wèn)題就不難理解了. 經(jīng)過(guò)訪(fǎng)談和調(diào)查，學(xué)生正是沒(méi)有在問(wèn)題情境中找到“甲乙兩人到達(dá)的時(shí)間，即變量x，y.”

而根據(jù)調(diào)查，高三學(xué)生學(xué)習(xí)完幾何概型后，腦海中留下的是具體的簡(jiǎn)單的例子和計(jì)算的公式，并不能理解概念的含義.

可以這樣說(shuō)，學(xué)生們所謂的“懂”，不過(guò)是停留于概念形成的前幾個(gè)階段，在教師的講解下的懂，實(shí)質(zhì)沒(méi)有獨(dú)立思考后的“悟”.

[?] 課堂上的教學(xué)嘗試

1. 讓學(xué)生說(shuō)出自己的想法

Duffin&Simpson指出：當(dāng)我理解了，我就感到愉快；我就自信；我可以忘掉所有細(xì)節(jié)，而在需要的時(shí)候重新構(gòu)造；我覺(jué)得它已經(jīng)屬于我；我可以把它解釋給別人聽(tīng).讓學(xué)生來(lái)說(shuō)思路，說(shuō)困惑不僅僅是一種數(shù)學(xué)交流方式，也是學(xué)生進(jìn)行出聲思維的良好途徑.

如問(wèn)題1（2）的第二個(gè)，就有學(xué)生直接走到講臺(tái)上來(lái)，用粉筆將這個(gè)“在等腰直角三角形ABC中，過(guò)直角頂點(diǎn)C在∠ACB內(nèi)任作一條射線(xiàn)CM，與線(xiàn)段AB交于點(diǎn)M”的過(guò)程展示出來(lái)，畫(huà)出的射線(xiàn)充斥整個(gè)∠ACB，滿(mǎn)足條件的射線(xiàn)有哪些圈出來(lái)，因此，很快可以找到P（AM

接著學(xué)生還總結(jié)出，可以通過(guò)模擬操作題目給出的情境來(lái)判斷幾何概型和進(jìn)行測(cè)度尋找. 學(xué)生還根據(jù)這一方法驗(yàn)證了問(wèn)題1的第1問(wèn).

對(duì)于問(wèn)題2，學(xué)生指出，設(shè)出兩個(gè)隨機(jī)變量x，y，其中x，y滿(mǎn)足

6≤x≤7，

6≤y≤7，

x-y

≤，

還有學(xué)生提出，當(dāng)變量為一維時(shí)，對(duì)應(yīng)的測(cè)度是長(zhǎng)度、角度或者時(shí)間；當(dāng)變量是二維時(shí)，測(cè)度可看做是面積；而變量是三維時(shí)，測(cè)度可看做是體積.

2. 讓學(xué)生找一找相關(guān)的變式

鑒于學(xué)生們?cè)谡n堂上的熱烈的討論和表達(dá)，筆者又讓他們結(jié)合最近的綜合練習(xí)和專(zhuān)題復(fù)習(xí)，找一找相關(guān)的變式.

學(xué)生很快找到了這樣的兩個(gè)變式：

變式1 和問(wèn)題1對(duì)應(yīng)，重在通過(guò)操作找到測(cè)度

在半徑為1的圓上隨機(jī)地取兩點(diǎn)，形成一條弦，則其長(zhǎng)超過(guò)圓內(nèi)接等邊三角形的邊長(zhǎng)的概率為_(kāi)_________.

學(xué)生分析：首先固定其中的一個(gè)點(diǎn)，做出一個(gè)等邊三角形，其次是考慮取另外一個(gè)點(diǎn). 我們?nèi)〉命c(diǎn)是在弧上的，所以測(cè)度為弧長(zhǎng)，P==.

變式2 和問(wèn)題2對(duì)應(yīng)，重在變量的個(gè)數(shù)

在長(zhǎng)為1的線(xiàn)段上任取兩點(diǎn)，則這兩點(diǎn)之間的距離小于的概率為_(kāi)______.

學(xué)生分析：設(shè)在長(zhǎng)為1的線(xiàn)段上任取兩點(diǎn)看成是在區(qū)間[0，1]上任取x，y，則x，y滿(mǎn)足

0≤x≤1，

0≤y≤1，

x-y

≤，則P=.

變式3 將問(wèn)題2的條件做了如下改動(dòng)：

甲若是先到，等10分鐘；乙若是先到，等15分鐘（解答略）.

3. 讓學(xué)生反思并表達(dá)解決幾何概型問(wèn)題的策略和注意點(diǎn)

學(xué)習(xí)過(guò)程是學(xué)生主動(dòng)建構(gòu)的過(guò)程，每一堂課后，完善知識(shí)結(jié)構(gòu)需要學(xué)生自己動(dòng)手，付出主觀(guān)的努力. 學(xué)生的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)過(guò)程中的反思要求認(rèn)知者對(duì)自身數(shù)學(xué)思維活動(dòng)過(guò)程和結(jié)果作深層次的反向思考和批判性的再認(rèn)識(shí)，以求獲得更深刻的認(rèn)識(shí)或產(chǎn)生新認(rèn)識(shí)，包括自我覺(jué)察、自我評(píng)價(jià)、自我探究、自我監(jiān)控、自我調(diào)節(jié). 只有養(yǎng)成反思的習(xí)慣，才能讓數(shù)學(xué)反思能力獲得提高. 而這種在數(shù)學(xué)反思活動(dòng)中反映出來(lái)的穩(wěn)定的心理特征，是元認(rèn)知在數(shù)學(xué)思維活動(dòng)中發(fā)揮作用的基本形式，是獲得數(shù)學(xué)思維的核心和動(dòng)力.

從技能訓(xùn)練的角度來(lái)講，從熟練化到自動(dòng)化再到策略化，反思是個(gè)必不可少的過(guò)程.

[?] 建議和思考

1. 幾何概型的教學(xué)中，學(xué)生是有一定的生活經(jīng)驗(yàn)和知識(shí)基礎(chǔ)的，可以充分利用實(shí)驗(yàn)和計(jì)算機(jī)和信息技術(shù)模擬增強(qiáng)直觀(guān)性. 這樣做，也可以激發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣，讓學(xué)生充分感受到數(shù)學(xué)是有意義和有用的，而不是抽象和不相關(guān)的.

2. 鼓勵(lì)學(xué)生大膽地進(jìn)行數(shù)學(xué)交流，暴露自己的思維. 這不僅利于學(xué)生解題時(shí)思維的整理和優(yōu)化，也可以讓教師及時(shí)發(fā)現(xiàn)學(xué)生的思維障礙，便于指導(dǎo).

3. 在課堂中，教師應(yīng)更多地關(guān)注學(xué)生的想法，注重課堂的生成性. 教學(xué)中大多數(shù)都是教師進(jìn)行變式的準(zhǔn)備，學(xué)生被動(dòng)地接受. 但是，通過(guò)本次課堂上的嘗試，學(xué)生的變式選擇和辨析，的確讓學(xué)生真正地從思維上動(dòng)起來(lái)了.