對(duì)一道習(xí)題的思考

陳因鴻

摘 要：本文對(duì)一道解三角形的錯(cuò)題進(jìn)行研究，找到了該題出錯(cuò)的真正原因，并由此得到數(shù)學(xué)習(xí)題編制應(yīng)注意的幾個(gè)原則.

關(guān)鍵詞：解三角形；習(xí)題；錯(cuò)解；習(xí)題編制

人民教育出版社中學(xué)數(shù)學(xué)室出版的《同步解析與測(cè)評(píng)》（數(shù)學(xué)必修5）第一章《解三角形》第18頁(yè)有這樣一道習(xí)題：

已知△ABC中，a=1，A=30°，S△ABC=1，則sinAsinBsinC=_____（參考答案是）.

本題主要考查正弦定理和面積公式的靈活運(yùn)用，其解答過(guò)程為：

從上面看來(lái)，我們的解法沒(méi)有任何問(wèn)題. 但我們只要反思一下本題，回頭再看看本題，就會(huì)發(fā)現(xiàn)由本題的解法知sinBsinC=1，因?yàn)锳，B∈（0，π），所以B=C=，這顯然是不可能的. 那為什么會(huì)出現(xiàn)這種情況呢？是我們的解法有錯(cuò)，還是其他原因呢. 很明顯我們的解法沒(méi)有任何問(wèn)題，那是怎么回事呢？

我們不妨從另一角度來(lái)思考一下：

由余弦定理得：a2=b2+c2-2bccosA，又由前面的解法知bc=4，

所以b2+c2=1+4，由重要不等式知：b2+c2≥2bc=8，而1+4<8. 所以本題是一個(gè)錯(cuò)題.

下面我們來(lái)研究角A的取值范圍，以期能找到本題出錯(cuò)的真正原因.

如圖1，我們以B為坐標(biāo)原點(diǎn)，BC所在直線為x軸建立直角坐標(biāo)系.

當(dāng)AC⊥x軸或AB⊥x軸時(shí)，此時(shí)tanA=<，所以A<.

當(dāng)AC，AB都不與x軸垂直時(shí)，則AB，AC的斜率分別為kAB=，kAC=，則角A為直線AB到直線AC的角，所以

1. 在△ABC中，a=2，A=，S△ABC=1，則sinAsinBsinC=____（參考答案：）.

2.在△ABC中，a=2，A=，S△ABC=，則sinAsinBsinC=____（參考答案：）.

后記：習(xí)題是數(shù)學(xué)教學(xué)的主要組成部分，學(xué)生通過(guò)習(xí)題練習(xí)，不僅可以檢查教學(xué)情況，也可以強(qiáng)化數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的方法與能力，還可以讓學(xué)生獲得更多的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)體驗(yàn). 數(shù)學(xué)習(xí)題的編制必須審慎和嚴(yán)謹(jǐn)，不要將錯(cuò)導(dǎo)錯(cuò)，把學(xué)生引向歧途. 數(shù)學(xué)習(xí)題編制應(yīng)注意的幾個(gè)原則.

一、目的性原則：緊扣內(nèi)容，有助于教學(xué)，有助于學(xué)生的發(fā)展.

二、科學(xué)性原則：條件必須充分、獨(dú)立，不自相矛盾，條件與結(jié)論之間必有內(nèi)在的必然聯(lián)系.

三、和諧性原則：體現(xiàn)嚴(yán)謹(jǐn)、簡(jiǎn)潔和統(tǒng)一的數(shù)學(xué)美.

四、創(chuàng)新性原則：適度注意取材新鮮，情境新穎，呈現(xiàn)新異.