劉希棟

摘 要：集合語言是現(xiàn)代數(shù)學(xué)的基本語言，集合思想已成為現(xiàn)代數(shù)學(xué)的理論基礎(chǔ). 學(xué)習(xí)語言最好的方法是“使用”，在教學(xué)中要?jiǎng)?chuàng)設(shè)使學(xué)生運(yùn)用集合語言進(jìn)行表達(dá)和交流的情境與機(jī)會(huì). 本文通過具體案例談集合思想在簡(jiǎn)易邏輯中的應(yīng)用.

關(guān)鍵詞：集合思想；簡(jiǎn)易邏輯；應(yīng)用

問題提出

集合論是德國(guó)數(shù)學(xué)家康托在19世紀(jì)末創(chuàng)立的，集合是現(xiàn)代數(shù)學(xué)中的一個(gè)重要概念，集合語言是現(xiàn)代數(shù)學(xué)的基本語言. 集合思想已成為現(xiàn)代數(shù)學(xué)的理論基礎(chǔ)，與高中數(shù)學(xué)的許多內(nèi)容有著廣泛的聯(lián)系，中學(xué)數(shù)學(xué)所研究的各種對(duì)象都可以看做集合或集合中的元素，使用集合語言可以簡(jiǎn)潔、準(zhǔn)確地表達(dá)數(shù)學(xué)的一些內(nèi)容或進(jìn)行數(shù)學(xué)推理. 高中數(shù)學(xué)課程將集合作為一種語言來學(xué)習(xí)，學(xué)生將學(xué)會(huì)用基本的集合語言表示有關(guān)的數(shù)學(xué)對(duì)象，發(fā)展運(yùn)用數(shù)學(xué)語言進(jìn)行交流的能力. 學(xué)習(xí)語言最好的方法是“使用”，在教學(xué)中要?jiǎng)?chuàng)設(shè)使學(xué)生運(yùn)用集合語言進(jìn)行表達(dá)和交流的情境與機(jī)會(huì)，以便學(xué)生在實(shí)際使用中逐漸熟悉自然語言、集合語言、圖形語言各自的特點(diǎn)，進(jìn)行相互轉(zhuǎn)換并掌握集合語言.

“常用邏輯用語”進(jìn)入高中數(shù)學(xué)課程以來，特別是在“命題及其關(guān)系”、“簡(jiǎn)單的邏輯聯(lián)結(jié)詞”教學(xué)過程中，時(shí)不時(shí)出現(xiàn)一些不同的聲音. 如：命題“方程x2=1的根是x=1或x=-1”是復(fù)雜命題還是簡(jiǎn)單命題？“全等三角形一定是相似三角形”的否定是什么？用集合思想解決這些“爭(zhēng)議”簡(jiǎn)潔而準(zhǔn)確.

例析集合思想在簡(jiǎn)易邏輯中的應(yīng)用

（一）集合思想在研究簡(jiǎn)單命題與復(fù)合命題判斷中的應(yīng)用

對(duì)下面兩個(gè)命題：

A. 魯迅的著作不是一天能讀完的；

B. 《祝?！肥囚斞傅闹?

《關(guān)于簡(jiǎn)易邏輯中的兩處錯(cuò)誤辨析》（中學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)參考（上旬），2009，7）一文指出，準(zhǔn)確地認(rèn)識(shí)、把握詞項(xiàng)，是準(zhǔn)確把握傳統(tǒng)邏輯的首要前提.判斷一個(gè)詞項(xiàng)是否是集合詞項(xiàng)，就是看它是否指稱一個(gè)集合體，語境不同，詞項(xiàng)的指稱就有所不同. 筆者完全贊同作者觀點(diǎn)，本文就是受此啟發(fā). 但該文中“A中的‘魯迅的著作是一個(gè)集合詞項(xiàng)，B中的‘魯迅的著作是一個(gè)非集合詞項(xiàng)”. 筆者認(rèn)為此觀點(diǎn)很牽強(qiáng)，也會(huì)帶來混亂，不敢茍同. 筆者的疑問是命題C“《復(fù)活》是魯迅的著作”中“魯迅的著作”又是否為集合詞項(xiàng). 筆者認(rèn)為B中的“魯迅的著作”同樣是一個(gè)集合詞項(xiàng)，它是一種自然語言，用集合語言敘述B就是：《祝?！贰蕒魯迅的著作}或{《祝?！穧?{魯迅的著作}，這樣命題C就是：《復(fù)活》∈{魯迅的著作}或{《復(fù)活》}?{魯迅的著作}，命題C顯然是假命題.

以上6個(gè)命題都是簡(jiǎn)單命題.

（二）集合思想在研究命題否定中的應(yīng)用

看下面命題：⑦全等三角形一定是相似三角形；⑧全等三角形是相似三角形；⑨相似三角形一定是全等三角形；⑩相似三角形是全等三角形.

《關(guān)于簡(jiǎn)易邏輯中的兩處錯(cuò)誤辨析》一文認(rèn)為命題⑦與⑧的表述顯然是不同的. 筆者不同意這種觀點(diǎn)，兩者形式有差異，但本質(zhì)相同，用集合語言表示都是{與△L全等的三角形}?{與△L相似的三角形}（兩個(gè)集合中△L是任意的同一三角形）是真命題，它的否定就是{與△L全等的三角形}?{與△L相似的三角形}，自然語言表達(dá)就是“對(duì)任一△L，存在三角形與△L全等，但與△L不相似”，這是一個(gè)是假命題，同樣命題⑨和⑩用集合語言表示都是{與△L相似的三角形}?{與△L全等的三角形}.

（三）解一個(gè)常見的小題

問題：寫出命題“若x>y，則x2>y2”的否定形式.

這是一次單元測(cè)試中的一道題，全年級(jí)一千多學(xué)生，絕大多數(shù)人學(xué)生的答案是“若x>y，則x2≤y2”，有幾個(gè)學(xué)生的答案是“存在x>y，使得x2≤y2”. 這表明這個(gè)看似簡(jiǎn)單的問題，要讓學(xué)生真正搞明白，有一定難度.

若采用集合語言，容易解決此問題.原命題就是{（x，y）