劉曌　楊光偉

微積分課程進(jìn)入中學(xué)已不是新鮮事，世界大部分國家和地區(qū)的高中數(shù)學(xué)課程中均不同程度地引入了微積分內(nèi)容，有的作為必修，有的作為選修或者大學(xué)預(yù)科課程，但是各國高中課程中的微積分內(nèi)容卻存在較大差異，呈現(xiàn)方式及定位也各不相同.我國普通高中文科、理科的選修模塊中微積分內(nèi)容均以導(dǎo)數(shù)為主，將導(dǎo)數(shù)作為研究函數(shù)的工具，文科內(nèi)容較理科內(nèi)容簡單；日本普通高中在選修Ⅱ、選修Ⅲ中系統(tǒng)介紹了微積分思想及應(yīng)用，學(xué)生可根據(jù)升學(xué)意愿及要求自主進(jìn)行選修.本文從微觀層面對中日兩國教科書中的微積分內(nèi)容進(jìn)行考察比較.中國教科書選取人民教育出版社2007年出版的《普通高中課程標(biāo)準(zhǔn)實(shí)驗(yàn)教科書人教A版》選修1-2與2-2（以下簡稱人教版）[1][2]，日本教科書選取東京大學(xué)侯野博教授等主編、東京書籍株式會社2013年出版的“文部科學(xué)省檢定教科書高等學(xué)校數(shù)學(xué)科用”《數(shù)學(xué)Ⅱ》、《數(shù)學(xué)Ⅲ》（（以下簡稱東書版））[3][4].通過對兩國微積分的知識范圍、呈現(xiàn)方式等比較研究，以期對我國的數(shù)學(xué)教育改革及教科書建設(shè)有所借鑒與啟示.

1微積分內(nèi)容課程設(shè)置比較

中日兩國微積分內(nèi)容均安排為選修內(nèi)容.在實(shí)際課程實(shí)施中，選修1-2、2-2作為我國高中數(shù)學(xué)選修系列課程中的基礎(chǔ)性內(nèi)容，幾乎所有學(xué)校均將1-2作為文科學(xué)生必選課程，2-2作為理科學(xué)生必選課程，其中1-2較2-2內(nèi)容偏易偏少，因此幾乎所有的中國高中畢業(yè)生都要學(xué)習(xí)微積分初步知識.而日本高中生在數(shù)學(xué)課程的選擇上有很大自主選擇權(quán)，其微積分內(nèi)容安排在數(shù)學(xué)Ⅱ、數(shù)學(xué)Ⅲ，達(dá)到高中畢業(yè)標(biāo)準(zhǔn)僅需修數(shù)學(xué)Ⅰ，不需學(xué)習(xí)微積分知識；需要考普通高校的學(xué)生可能需修數(shù)學(xué)Ⅱ中的“認(rèn)識微積分”（一般理科類專業(yè)需考查數(shù)學(xué)Ⅱ，而人文社科類一般不作考查），而志愿考東大、早稻田等名校相關(guān)專業(yè)的學(xué)生就需修完數(shù)學(xué)Ⅱ、數(shù)學(xué)Ⅲ中所有的微積分知識.中日兩國在微積分內(nèi)容的課時安排上亦差距較大，我國高中畢業(yè)生最多需修24學(xué)時，最少需修16學(xué)時；而日本高中畢業(yè)生最多需修116學(xué)時，最少則0學(xué)時.

2微積分知識內(nèi)容比較

由表2可看出，我國人教版微積分比東書版內(nèi)容少、程度淺.尤其東書版用較大篇幅（28學(xué)時）系統(tǒng)介紹了極限概念（并非以高等數(shù)學(xué)中嚴(yán)格的ε-δ和ε-N定義來呈現(xiàn)），包含數(shù)列極限中數(shù)列的收斂、發(fā)散、振動以及無限等比數(shù)列、無限等比級數(shù)；分式函數(shù)、無理函數(shù)、反函數(shù)的圖像及三角函數(shù)、對數(shù)指數(shù)函數(shù)的極限.人教版則逾越極限概念，讓學(xué)生通過直觀感受瞬時變化率來體會導(dǎo)數(shù)的意義.同時，東書版詳細(xì)介紹了微分法及其應(yīng)用、不定積分，這在人教版教材中也是完全未涉及的.值得注意的是在導(dǎo)數(shù)與定積分的應(yīng)用方面，人教版偏重于生活情境中的實(shí)際應(yīng)用，如利潤最大、用料最省等生活優(yōu)化問題，東書版則偏重于微積分在數(shù)學(xué)其他分支中的應(yīng)用，如微分法在證明不等式、求方程實(shí)數(shù)解的個數(shù)上的應(yīng)用.另外，東書版在知識拓展模塊介紹了柯西均值定理、洛必達(dá)法則、高次導(dǎo)函數(shù)與泰勒展開式、微分方程式，涉及了高等數(shù)學(xué)中的幾個重要定理或法則，可供學(xué)有余力的優(yōu)秀學(xué)生學(xué)習(xí).

3相同知識點(diǎn)呈現(xiàn)方式的比較

兩套教材中相同且核心的知識點(diǎn)有兩個，即導(dǎo)數(shù)和定積分（人教版無不定積分、微分等）.

在導(dǎo)數(shù)的呈現(xiàn)方式上人教版通過氣球膨脹率、高臺跳水問題讓學(xué)生體會經(jīng)歷由平均變化率到瞬時變化率的過程，感受導(dǎo)數(shù)的意義，弱化了極限概念，再進(jìn)一步研究導(dǎo)數(shù)的幾何意義；而東書版教材通過斜面上小球的運(yùn)動讓學(xué)生體會由平均變化率到瞬時變化率的過程，在此基礎(chǔ)上介紹了微分系數(shù)與極限概念，研究微分系數(shù)在函數(shù)圖象上的意義，然后才給出導(dǎo)數(shù)的定義.在學(xué)生初步認(rèn)識微積分后東書數(shù)學(xué)Ⅲ中利用較大篇幅介紹了函數(shù)與極限的相關(guān)理論，要求學(xué)生能更深層次理解導(dǎo)數(shù)的概念，即將導(dǎo)數(shù)作為“差商的極限”來理解，并能理解可微、可導(dǎo)與連續(xù)的關(guān)系.

4例題、習(xí)題的比較

由于兩版教材微積分部分學(xué)時、章節(jié)差距較大，在此以人教版“導(dǎo)數(shù)及其應(yīng)用（24學(xué)時、7節(jié)）”與東書版數(shù)學(xué)Ⅱ中的“認(rèn)識微積分（26學(xué)時、9節(jié)）”為參考做比較，數(shù)據(jù)以每節(jié)為單位做平均數(shù)處理.這里對兩套教材中的例題及練習(xí)題做定性的分類界定，類型1表示僅運(yùn)用微積分部分的數(shù)學(xué)知識就可以解決，無任何情境，也無交叉其他數(shù)學(xué)分支或是其他學(xué)科分支，如求∫31（x3-2x）dx的定積分；類型2表示有生活背景、科技背景等實(shí)際情境的，比如人教版中原油溫度的瞬時變化率、凈化1噸水到相應(yīng)純度所需凈化費(fèi)用的瞬時變化率；類型3表示有學(xué)科交叉背景的題目，比如與其他數(shù)學(xué)分支的交叉、與物理等學(xué)科的交叉，如變速直線運(yùn)動、變力做功等問題.

結(jié)合表5及對教材中具體例題與習(xí)題分析的基礎(chǔ)上可發(fā)現(xiàn)：東書版的例題與習(xí)題的數(shù)量稍比人教版多；東書版中幾乎未包含有實(shí)際背景的題目（例題每節(jié)僅平均0.11，習(xí)題中無），但有學(xué)科交叉的背景的題目數(shù)量要明顯高出人教版；類型1的例題和習(xí)題在兩套教材均占較高比例，人教版達(dá)到58.64%，東書版達(dá)到57.81%；另外東書版教材練習(xí)題緊跟例題，邊講邊練，可促進(jìn)知識的強(qiáng)化，而人教版則采用集中舉例，集中練習(xí)的方式，不利于課堂及時內(nèi)化[3].

5數(shù)學(xué)文化的融入比較

結(jié)合表6及對兩套教材中具體數(shù)學(xué)文化融入分析的基礎(chǔ)上可發(fā)現(xiàn)：東書版教材更注重微積分教學(xué)中融入數(shù)學(xué)史及數(shù)學(xué)文化的內(nèi)容，教材中不僅介紹了微積分的開創(chuàng)者牛頓、萊布尼茨，也介紹了對現(xiàn)代數(shù)學(xué)貢獻(xiàn)極大的黎曼、阿貝爾等；除了對數(shù)學(xué)家生平及其研究的介紹以外，還介紹了極限理論發(fā)展過程中極其著名的芝諾悖論：阿基里斯與龜，以及數(shù)學(xué)中最美的式子、迷人的曲線等.人教版中有兩處數(shù)學(xué)文化的融入，一處是“探究與發(fā)現(xiàn)”中介紹了用導(dǎo)數(shù)方法求方程的近似解（牛頓法），另一處是在章末的實(shí)習(xí)作業(yè)中要求同學(xué)以小組為單位收集有關(guān)微積分創(chuàng)立的時代背景、歷史意義等.

6結(jié)論與啟示

6.1日本微積分知識體系完整、知識豐富，我國則重點(diǎn)突出導(dǎo)數(shù)教學(xué)

由表2可知，日本教科書中基本包含了一元微積分的主要知識點(diǎn)和解題方法，而人教版教科書則以“導(dǎo)數(shù)及其應(yīng)用”為中心，繞過了極限理論，亦回避了不定積分等知識，且在內(nèi)容要求上偏易.通過比較可知我國微積分內(nèi)容以介紹性和簡單應(yīng)用性為主，沒有過度拓寬知識面以及加深知識點(diǎn)，尤其定積分部分僅露出了“冰山一角”，宛如蜻蜓點(diǎn)水.筆者認(rèn)為我國教科書應(yīng)適當(dāng)豐富微積分內(nèi)容，比如在理科教材中可引入極限概念以及不定積分等知識，讓學(xué)生對微積分思想及應(yīng)用能有更深層次的理解.

6.2日本更注重微積分在數(shù)學(xué)、物理上應(yīng)用，我國更注重在社會生活中的應(yīng)用價值

不論是從導(dǎo)數(shù)、定積分的呈現(xiàn)內(nèi)容出發(fā)，還是從例題、習(xí)題的選取上，我國教材非常重視微積分在日常生活中的應(yīng)用，比如“原油溫度的瞬時變化”、“磁盤的最大存儲量”等問題；而日本則更注重在數(shù)學(xué)其他分支或者物理學(xué)科中的應(yīng)用，比如微積分在不等式證明、解高次方程中的應(yīng)用.筆者認(rèn)為，我國應(yīng)保持注重實(shí)際應(yīng)用的特點(diǎn)，同時適當(dāng)擴(kuò)充微積分在數(shù)學(xué)學(xué)科、其他交叉學(xué)科中的應(yīng)用，使學(xué)生能感受到微積分在研究數(shù)學(xué)、物理等學(xué)科問題中的應(yīng)用價值，更好地體會微積分的科學(xué)價值.

6.3日本教科書中注重?cái)?shù)學(xué)文化的融入，我國教科書較少融入數(shù)學(xué)文化

由表6可知，我國教材中僅兩處數(shù)學(xué)文化相關(guān)內(nèi)容，其中一處還是以“實(shí)習(xí)作業(yè)”的形式出現(xiàn)，而日本則出現(xiàn)多達(dá)11處的文化融入，不僅有微積分發(fā)展史上數(shù)學(xué)家的介紹，還有趣味題（阿基里斯與龜）、數(shù)學(xué)中最美的式子曲線等，題材豐富、形式多樣.筆者認(rèn)為，微積分內(nèi)容本身較難理解，抽象程度較高，教材中適當(dāng)融入數(shù)學(xué)史、數(shù)學(xué)文化，可提高學(xué)生學(xué)習(xí)的興趣，讓學(xué)生感受到微積分的文化意義與科學(xué)價值.比如定積分教學(xué)中可引入我國數(shù)學(xué)史上劉徽的“割圓術(shù)”中有關(guān)圓的面積公式產(chǎn)生的推導(dǎo)思想，且對學(xué)生而言圓比曲邊梯形更熟悉更好理解，這樣不僅體現(xiàn)了數(shù)學(xué)教學(xué)中的歷史發(fā)生原理，更傳揚(yáng)了中國傳統(tǒng)數(shù)學(xué)文化[6].當(dāng)然如何適當(dāng)選材以及何種方式呈現(xiàn)還需要不斷探索論證.

參考文獻(xiàn)

[1]人民教育出版社課程教材研究所，中學(xué)數(shù)學(xué)課程教材研究開發(fā)中心.普通高中數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)實(shí)驗(yàn)教科書數(shù)學(xué)A版（選修1-2）[M].北京：人民教育出版社，2007.

[2] 人民教育出版社課程教材研究所，中學(xué)數(shù)學(xué)課程教材研究開發(fā)中心.普通高中數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)實(shí)驗(yàn)教科書數(shù)學(xué)A版（選修2-2）[M].北京：人民教育出版社，2007.

[3]吳野博，河野俊丈，等.數(shù)學(xué)Ⅱ[M].東京：東京書籍株式會社，2013.

[4]吳野博，河野俊丈，等.數(shù)學(xué)Ⅲ[M].東京：東京書籍株式會社，2013.

[5]葉立軍，王曉楠，劉春江.中美高中數(shù)學(xué)教材“球的表面積與體積”內(nèi)容的比較研究[J]，中學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)參考（上旬刊）， 2011，（11）：70—72.

[6]張黨光.對高中數(shù)學(xué)微積分的理解及建議[J]，教學(xué)實(shí)踐， 2012，（2）：71.