無限大功能梯度材料反平面裂紋應(yīng)力場

胡志新，張雪霞，李 嬋

(太原科技大學(xué)應(yīng)用科學(xué)學(xué)院，太原030024)

近幾年，為滿足一些新技術(shù)尤其微電子、航空航天和高溫應(yīng)用等對材料的苛刻要求，一種新型材料(功能梯度材料)的概念被引入到了工程結(jié)構(gòu)中。從應(yīng)用力學(xué)方面來看，功能梯度材料具有的優(yōu)越性能主要是不均勻性，不僅使其具有較好的熱機(jī)性能而且更具有良好的屈服應(yīng)力、斷裂韌性、疲勞和蠕變等基本力學(xué)行為。目前，已經(jīng)有許多關(guān)于材料非均勻性的研究[1-5]。與功能梯度材料相關(guān)的大多數(shù)的研究都集中在各向同性體。但事實上，各向同性功能梯度材料[6]不多見。

近幾年有相當(dāng)多學(xué)者采用不同的材料模型，對功能梯度正交各向異性材料的反平面問題進(jìn)行了研究。文獻(xiàn)[1]采用模型 μ(z)=μ0|z|m(m＞0)，μ(z)=μ0(c+|z|)m，文獻(xiàn)[7-8]中采用μ(z)=μ0(1+α|z|)2模型。

上述文獻(xiàn)中材料物性參數(shù)采用的是都是單參數(shù)模型，而本文中的材料物性參數(shù)采用了雙參數(shù)三次冪函數(shù)模型。采用了積分變換-對偶積分方程的方法，研究含有限尺寸裂紋的無限大功能梯度材料的靜態(tài)應(yīng)力強度因子，并考察無量綱應(yīng)力強度因子ψ(1)隨著不均勻系數(shù)r以及裂紋長度a的變化情況。研究結(jié)果表明:應(yīng)力強度因子ψ(1)隨著r的增加而增加，隨著a的增加而增加，這一結(jié)果為功能梯度的斷裂研究提供了重要的理論意義。

1 材料物性參數(shù)的冪函數(shù)模型

設(shè)無限大功能梯度正交各向異性材料，如圖1所示，x軸和y軸是正交主軸，剪切模量μx，μy是y的函數(shù)，并且μx，μy是按下列梯度變化的。即:

其中不均勻性參數(shù)α＞0，(μx)0和(μy)0是y=0的剪切模量。

圖1 含有限裂紋的功能梯度材料Fig.1 Functionally-graded material with finite length crack

2 偏微分方程和邊界條件的建立

假設(shè)y=0平面有一條長是2a的裂紋，裂紋面受到了反平面剪切載荷下的作用，x，y和z方向的位移分量分別為ux，uy和uz.ux，uy處處為 0，uz=ω(x，y)，非零應(yīng)力分量 τxz和 τyz如下:

已知其應(yīng)力平衡方程是:

將式(3)代入式(4)中，可以得到控制方程:

無限大功能梯度正交各向異性材料反平面裂紋問題的邊界條件是:

因此，功能梯度材料反平面裂紋的問題就被轉(zhuǎn)化成了求解偏微分方程的邊值問題。

3 導(dǎo)出對偶積分方程

由于裂紋的對稱性，只需要考慮x＞0，y＞0的平面。引入以下關(guān)于x的Fourier余弦變換:

即令

將式(9)代入式(5)可得方程如下:

其中

得到修正貝塞爾方程:

其中A1、B1是解的系數(shù)，I1()、K1()分別是第一類和第二類Bessel函數(shù)。

考慮y→∞ 處的正則條件，方程式(11)的解可表示為:

將式(12)代入式(9)得

將式(13)代入式(3)得到剪切應(yīng)力τxz和τyz的積分表達(dá)式:

由式(13)、式(15)及邊界條件式(6)、式(7)得到對偶積分方程:

采用Copson方法[9]，求解對偶積分方程，得到對偶積分方程的解為:

其中J0()是零階第一類Bessel函數(shù)，函數(shù)ψ(ξ)由以下第二類Fredholm積分方程控制:

核:

通過數(shù)值求解式(19)、式(20)可以得到ψ(1).

4 裂紋尖端應(yīng)力場及應(yīng)力強度因子

為了對式(18)進(jìn)行分部積分，引入Bessel函數(shù)的求導(dǎo)公式:

這里v是Bessel函數(shù)的階，z是Bessel函數(shù)的變量。

下面對式(18)進(jìn)行分部積分:

將式(21)代入式(14)、式(15)，并且利用B(s)=B1K1(C/α)得:

考慮式(22)、式(23)在s→∞ 處的積分發(fā)散性以及x→∞ 時Kβ(x)和Kβ'(x)的一些漸進(jìn)特性[10]:

定義復(fù)變量z0=x+iry，則有:

這里r1和θ1在圖1中有定義。

第一類一階Bessel函數(shù)滿足如下條件:

由式(22)-式(27)得到:

根據(jù)圖1所示，由直角坐標(biāo)到極坐標(biāo)的轉(zhuǎn)換式如下:

考慮到式(28)、式(29)在r1→0處的變化情況，整理可得:

由式(30)、式(31)得到應(yīng)力強度因子的表達(dá)式:

式(32)可變形為:

這里ψ(1)稱為無量綱應(yīng)力強度因子。

圖2 無量綱應(yīng)力強度因子ψ(1)隨著不均勻系數(shù)r的變化曲線Fig.2 The variation curves of the dimensionless stress intensity factor ψ(1)with the nonhomogeneous coefficient r

圖3 無量綱應(yīng)力強度因子ψ(1)隨著裂紋長度a的變化曲線Fig.3 The variation curves of the dimensionless stress intensity factor ψ(1)with the crack length a

如圖2和圖3所示:利用數(shù)學(xué)軟件Matlab分析了無量綱應(yīng)力強度因子ψ(1)隨著不均勻系數(shù)r和裂紋長度a的變化曲線。

5 結(jié)論

(1)從式(27)、式(28)中可以得到，功能梯度正交各向異性材料的裂紋尖端場具有的奇異性，并且極角θ1的角分布函數(shù)與正交各向異性均勻材料的情況是相同的，這一結(jié)論與功能梯度各向同性材料反平面問題的結(jié)論是一致的。

(2)如圖2與圖3所示，借助matlab軟件數(shù)值分析了無量綱應(yīng)力強度因子ψ(1)與不均勻系數(shù)r和裂紋長度a的變化關(guān)系。圖2中顯示了ψ(1)隨著r增加而增加的變化曲線，也就是說，通過增大垂直于裂紋面的剪切模量可以抑制裂紋的擴(kuò)展驅(qū)動力，這與文獻(xiàn)[10]中的結(jié)論一致。圖3中顯示了ψ(1)隨著a增加而增加的變化曲線，這一結(jié)論讓我們知道了應(yīng)力強度因子與裂紋的尺寸大小有密切的關(guān)系，而且裂紋尺寸大小對應(yīng)力強度因子的影響很大，這是對前人工作的改進(jìn)與創(chuàng)新。

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