價格彈性需求下基于最小訂購量的契約及供應鏈收益分析

丁 平，祁玉青，閔 杰

（1．合肥工業(yè)大學 管理學院，安徽 合肥 230009；2．中國科學技術大學 管理學院，安徽 合肥 230026；3．安徽建筑大學 數(shù)理系，安徽 合肥 230022）

0 引言

在實際的供應鏈管理中，核心企業(yè)的大部分經(jīng)營利潤往往是由少數(shù)大客戶（指每次訂購數(shù)量大或一時間段內總訂購量大的客戶）貢獻的［1］。大量小客戶（約占客戶總數(shù)的70%～80%）占用企業(yè)的大量資源（如營銷、配送、售后服務等資源），但是對利潤的貢獻卻有限。為了降低成本、提高經(jīng)營效率，很多企業(yè)按訂購數(shù)量的不同對其客戶進行等級劃分，然后對不同等級的客戶采取不同的服務方式。例如，對大客戶提供更優(yōu)惠的價格折扣，為大客戶提供送貨上門、免費培訓服務等，其主要目的是激勵大客戶。與常規(guī)的大客戶激勵方法不同，還有一些企業(yè)通過設置最小訂購量的要求來排除部分訂購數(shù)量太小的客戶，但其目的仍然是為了降低成本和提高經(jīng)營效率。例如，Sport Obermeyer公司在中國大陸和香港地區(qū)的代工工廠，分別設置有1 200套和600套滑雪服的單次最低代工數(shù)量要求［2］；Kodak公司對其生產的35mm和16mm等型號的膠片也設置有最低購買數(shù)量的要求［3］。

最小訂購量契約是供應鏈中常用的協(xié)調策略之一，它是指產品供應方（制造商）與其采購方（銷售商）約定訂購量的下限，即銷售商如果向該制造商采購，則每次（或一段時間內）的訂購量必須不少于預先約定或公布的數(shù)量。目前，與最小訂購量有關的研究文獻大致可以分為兩類。第一類文獻假定制造商對銷售商的每次采購數(shù)量設置最小量要求。例如，F(xiàn)isher等［4］研究了制造商設定最小訂購量要求后，滿足兩個周期相關需求的生產計劃決策問題［4］；Robb等［5］建立了給定最小訂購量要求下周期性盤點的銷售商庫存決策模型，并且通過仿真實驗分析比較了各種庫存策略對收益的影響；Porras等［6］研究了在給定最小訂購量要求下，銷售商面對確定性需求時的多產品聯(lián)合采購問題；Zhao等［7］證明了給定最小訂購量要求下，銷售商單產品周期性盤點庫存問題的最優(yōu)策略結構不具有簡單形式；Zhou等［8］通過數(shù)值實驗證明，在給定最小訂購量要求下，銷售商面對隨機性需求、庫存采取周期性盤點方式時，采?。╯，t）訂購策略的結果要優(yōu)于（s，S）策略并且接近理論上的最優(yōu)策略。第二類文獻主要考慮制造商對銷售商一段時間內的總訂購量設定最小量要求。例如，Bassok等［9］研究了給定最小總訂購量要求下，銷售商面對不確定性需求時的單產品周期性訂購策略問題；Chen等［10］在文獻［9］的基礎上進一步研究了給定最小總訂購量要求下，銷售商面對非平穩(wěn)需求、產品批發(fā)單價變化時的庫存決策問題；Kiesmuller等［11］在隨機需求環(huán)境下討論了單物品定期訂貨問題，且在每次訂貨時都要使用最小訂購量契約；Okhrin I等［12］基于最小訂購量研究了一個單物品的訂貨批量問題，并提出了O（T3）的精確算法；文獻［13－16］也針對供應鏈協(xié)調的契約策略進行研究，得到了一些有意義的結論。

但是已有相關研究都側重于研究給定最小訂購量契約下，契約某一方的生產計劃決策或庫存決策問題，而對最小訂購量契約的應用依據(jù)和設置方法問題的研究較少。制造商設定最小訂購量的目的是要改變銷售商的訂購策略，限制其小批量的頻繁訂購；而銷售商訂購策略的改變又會反過來影響制造商的生產決策。因此，最小訂購量契約的設定應當是在供應鏈上下游企業(yè)之間互動的過程中形成的。與現(xiàn)有文獻將最小訂購量當作外生變量不同，本文以一個制造商和若干銷售商組成的兩級供應鏈為背景，研究在供應鏈上下游企業(yè)互動過程中，基于價格彈性需求，研究制造商應當如何設置最小訂購量契約，以及所設置的最小訂購量契約對供應鏈收益影響的變化范圍。

1 符號和假設

考慮由一個制造商和N個銷售商組成的兩級供應鏈，N個銷售商以批發(fā)價格w從制造商處采購同一種產品。本文考慮最小訂購量要求發(fā)生在銷售商每次采購決策時的情況，即制造商規(guī)定：銷售商每次（若訂購）的訂購量必須不少于M數(shù)量。在制造商設置最小訂購量契約后，每個銷售商都面臨兩種選擇：接受該契約（即每次訂購數(shù)量都不少于M）和拒絕該契約（即放棄訂購）。因此，對于本文研究的問題，制造商和銷售商之間是一種典型的以制造商為主導者（leader）的Stackelberg博弈，具體博弈過程可以描述為：①各個銷售商在制造商提出的最小訂購量要求下，采取最優(yōu)策略，使得自己的收益最大化；②制造商在考慮各個銷售商反應的基礎上，設定最優(yōu)最小訂購量，使得自身的收益最大化。制造商單位成本c、批發(fā)單價w都是常數(shù)。

本文主要考慮制造商和銷售商之間的博弈關系，針對銷售商的市場需求作以下兩個假設：

假設1 每個銷售商的市場需求是相互獨立的，即市場需求只與自身價格相關。

假設2 每個銷售商的市場需求是價格的確定性函數(shù)，并且價格相同時的需求價格彈性相同。

假設1要求銷售商的市場需求是獨立的，即忽略銷售商之間的價格競爭關系，這種情形在現(xiàn)實中大量存在。例如，許多制造商對其銷售商實行區(qū)域獨家代理機制，以防止互相之間的價格競爭。此外，電信、煤炭等壟斷性商品也符合假設1的特征，其中最小訂購量契約的使用是常見的現(xiàn)象。一般當顧客在銷售商之間切換的成本比較高時，可以近似認為假設1成立。

需求價格彈性是指需求量對價格變動的反應程度，即需求量變化的百分比除以價格變化的百分比。通常認為影響需求價格彈性的因素［17］主要有商品的必需程度、可替代性、類別大小、消費者收入因素和時間的長短。因為本文考慮同一種產品，所以假設2意味著各個銷售商面對的消費者是同質的，即不同銷售商面對的消費者的收入結構基本相同。

根據(jù)假設1和假設2，可以得到銷售商需求函數(shù)的一般形式。

定理1 當滿足假設1和假設2時，銷售商的需求函數(shù)可以寫成Di＝Siq（p）（i＝1，2，…，N）的形式。其中：Di為銷售商i的市場需求量，p為零售價格，q（p）為p的函數(shù)，Si為與銷售商i有關的常數(shù)且Si≥1。

證明 見附錄。

從銷售商的需求函數(shù) Di＝Siq（p）（i＝1，2，…，N）可以看出，當所有銷售商的價格都相同時，Si越大的銷售商的需求量也越大。因此，Si可以被看作銷售商i固有需求規(guī)模的大小。

定義1 設N個銷售商的需求函數(shù)Di＝Siq（p）（i＝1，2，…，N），其中q（p）是p的減函數(shù)，定義Si為銷售商i的需求規(guī)模系數(shù)，簡稱規(guī)模系數(shù)。

2 最小訂購量契約下銷售商的策略

由于制造商和銷售商之間是Stackelberg博弈關系，首先需要考慮各個銷售商在最小訂購量契約下的反應，即各個銷售商的最優(yōu)零售價格和最優(yōu)訂購量。由于需求量是價格的確定性函數(shù)，在訂購量不為0時，銷售商i的訂購量Qi等于其市場需求量Di。假設最小訂購量要求為M，根據(jù)利潤最大化原則，在訂購量不為0時，銷售商i的目標函數(shù)可以表示為

而當銷售商i的訂購量為0時，其利潤也為0。因此，綜合訂購與不訂購兩種可能，銷售商i的目標函數(shù)可以表示為

Ozelkan［18］，Lau［19］等證明了對于常見的確定性需求函數(shù)，如線性（linear）函數(shù)、分對數(shù)（logit）函數(shù)、等彈性（iso－elastic）函數(shù)和對數(shù)（logarithmic）函數(shù)，在無最小訂購量要求時，銷售商的收益函數(shù)都是“強單峰的”。因此，在本文的分析中，不假定q（p）的具體形式，而是假定在無最小訂購量要求的情況（M＝0）下，銷售商i的收益函數(shù)是滿足強單峰性的。

根據(jù)銷售商i的目標函數(shù)（2），可得在最小訂購量為M時，銷售商i的最優(yōu)零售價格。

定理2 設最小訂購量為M，銷售商i的需求函數(shù)Di＝Siq（p），則銷售商i的最優(yōu)零售價格

符號?表示沒有值，由于此時銷售商i不訂購，也就沒有所謂的最優(yōu)零售價格。

證明 見附錄。

定理3 設最小訂購量為M，銷售商i的需求函數(shù)Di＝Siq（p），則銷售商i的最優(yōu)訂購量

證明 見附錄。

3 最小訂購量契約的設計

因為制造商是博弈的主導者，所以制造商在考慮銷售商反應的基礎上，設定最優(yōu)最小訂購量使其自身收益最大化。因此，基于銷售商i在最小訂購量為M 時的最優(yōu)訂購量（定理3），可以得到制造商的目標函數(shù)

因為制造商的單位成本c和批發(fā)單價w都是常數(shù)，所以式（7）等價于

尋找制造商的最優(yōu)策略（最優(yōu)最小訂購量），就是求滿足上述優(yōu)化問題的最優(yōu)解M＊。首先給出一個引理。

引理1 設M1≤M2≤Siq（w），則成立。

引理1表明，在保證銷售商i訂購量不為0時（即最小訂購量要求小于等于Siq（w）），最小訂購量要求越高，銷售商i的訂購量就越多。根據(jù)引理1，可以證明定理4。

定理4 設M＊是式（6）的最優(yōu)解，則M＊∈｛S1q（w），S2q（w），…，SNq（w）｝。

證明 見附錄。

定理4表明，模型（6）的最優(yōu)解只可能在S1q（w），S2q（w），…，SNq（w）這 N 個點中取值，因此可以直接對這N個點進行枚舉，求得最優(yōu)解。

算法1

初始化。令Q＊＝0，M＊＝0，n＝1，計算q（w），p（1）和q（p（1））。

步驟1 令 M ＝Snq（w），帶入式（3）計算，然后匯總計算

步驟2 若Q（M）＞Q＊，則令Q＊＝Q（M），M＊＝M。

步驟3 若n＜N，則令n＝n＋1，返回步驟1。

步驟4 輸出M＊和Q＊，算法結束。

整個算法需要從M＝S1q（w）到M＝SNq（w）共執(zhí)行N次。在每次執(zhí)行過程中，需要計算顯然算法1的時間復雜度為O（N2）。

4 最小訂購量契約對供應鏈收益的影響

對于供應鏈中的各方企業(yè)來說，它最關心的是新契約機制帶來的收益變化情況。為了分析供應鏈的收益變化，首先對銷售商的下標序號進行調整。不失一般性，假設銷售商是按其規(guī)模系數(shù)Si（i＝1，2，…，N）從小到大的順序編號，即S1＜S2＜…＜SN。根據(jù)定理4，最優(yōu)最小訂購量（記 M＊）是S1q（w），S2q（w），…，SNq（w）這 N 個點中的一個。假設M＊＝SKq（w），即

根據(jù)定理3可知，在最小訂購量為M＊時，銷售商1～銷售商K－1都不訂購，銷售商K～銷售商N都訂購至少M＊。

由 于 SKq（p（1）） ＜ SKq（w），SKq（p（1）） ＜SK＋1q（p（1））＜ … ＜ SNq（p（1）），根 據(jù) 定 理 3 可 知，如果：

（1）存在ST＋1q（p（1））≥SKq（w），則銷售商K～銷售商T的訂購量為M＊；銷售商T＋1～銷售商N的訂購量為Siq（p（1）），i＝T＋1，…，N。

（2）SNq（p（1））＜SKq（w），則銷售商K ～ 銷售商N的訂購量都為M＊。

4．1 對制造商收益的影響

根據(jù)上述分析，當M＊＝SKq（w）時，制造商的收益可以表示為

在不采取最小訂購量契約時，銷售商i的訂購量為Siq（p（1））（i＝1，…，N），此時制造商的收益可以表示為

根據(jù)制造商的收益函數(shù)，可以得到制造商收益變化的一個上界。

證明 見附錄。

4．2 對整個供應鏈收益的影響

因為制造商是供應鏈的主導者，所以與不采取最小訂購量契約相比，制造商的收益必定是增加或至少不變的（因為制造商可以選擇最小訂購量為0）。對于銷售商來說，制造商采取最小訂購量契約后，其收益必定是減少或至多不變的（因為有約束條件（最小訂購量約束）的最優(yōu)化問題的最優(yōu)解必定不優(yōu)于其無約束時的最優(yōu)解）。一個自然的問題是，在采取最小訂購量契約后，整個供應鏈的收益（制造商的收益＋N個銷售商的收益）如何變化。

根據(jù)定理2和定理3，以及S1，S2，…，SN的遞增關系可知，當M＊＝SKq（w）時，整個供應鏈的收益可以表示為

在不采取最小訂購量契約時，銷售商i的訂購量為Siq（p（1））（i＝1，…，N），零售價格為p（1），因此此時整個供應鏈的收益可以表示為

證明 見附錄。

5 數(shù)值分析

為了說明模型的應用，以兩種最常用的確定性需求函數(shù)——線性函數(shù)和等彈性函數(shù)為例，通過數(shù)值方法分析最小訂購量契約對供應鏈收益的影響。在計算中，取銷售商數(shù)目N＝100。為了體現(xiàn)實際情況下銷售商規(guī)模大小的隨機性，以1 000個截尾正態(tài)分布隨機數(shù)代表銷售商的規(guī)模系數(shù)，其中均值μ＝500，標準差σ＝100；制造商單位成本c＝5，批發(fā)價格w＝8。

5．1 線性需求函數(shù)時的情形

對于線性需求函數(shù)q（p）＝a－bp（a，b＞0），使b從0．025～0．5變化，變化步長為0．025；a從10．5～20變化，變化步長為0．5。圖1所示為線性需求函數(shù)下，采取最小訂購量契約前后制造商的收益情況。

從圖1可以看出，采取最小訂購量契約后，制造商的收益要高于不采取最小訂購量契約時的收益。當a增加或者b減少時，采取最小訂購量契約前后制造商的收益都是增加的。

根據(jù)定理5，采取最小訂購量契約后，制造商的收益最多增加

因此，在線性需求函數(shù)情況下，無論a和b如何取值，采取最小訂購量契約后，制造商的收益最多增加100%。

圖2所示為與不采取最小訂購量契約相比，采取最小訂購量契約后制造商實際收益增加的比例與本文給出的理論上界值。從圖2可以看出，在線性需求函數(shù)情況下，本文給出的上界較好地反映了制造商收益變化的趨勢。在具體計算結果中，實際增加的比例大約在92．5%左右，因此本文給出的上界（100%）比實際值大約高7．5%左右（最大高7．8%，最小高7．2%）。

圖3所示為線性需求函數(shù)下，采取最小訂購量契約前后，整個供應鏈的收益（制造商收益＋N個銷售商收益）情況。從圖3可以看出，采取最小訂購量契約后，整個供應鏈的收益低于不采取最小訂購量契約時的收益。當a增加或者b減少時，采取最小訂購量契約前后整個供應鏈的收益都是增加的。

綜合上述分析，可以得到如下性質。

性質1 在銷售商需求是線性函數(shù)時，制造商采取最小訂購量契約是在損害整個供應鏈收益的情況下，使自身的收益增加；相比于不采取最小訂購量契約，制造商收益的增加不會超過100%。這是因為制造商和銷售商之間是Stackelberg博弈關系，而制造商在博弈中處于主導地位，所以制造的獲益顯然是優(yōu)先的。

5．2 等彈性需求函數(shù)時的情形

對于等彈性需求函數(shù)q（p）＝ap－b（a＞0，b＞1），使b從1．025～1．5變化，變化步長為0．025；a從10．5～20變化，變化步長為0．5。圖4所示為等彈性需求函數(shù)下，采取最小訂購量契約前后制造商的收益。

從圖4可以看出，采取最小訂購量契約后，制造商的收益高于不采取最小訂購量契約時的收益。當a增加時，采取最小訂購量契約前后制造商的收益都是增加的。但是與線性需求函數(shù)不同，在不采取最小訂購量契約時，當銷售商的需求價格彈性系數(shù)b增加時，制造商的收益先增加后減少。這表明不采取最小訂購量契約時，隨著b的變化，銷售商的總訂購量存在著一個極大值（批發(fā)價格和制造商成本是固定的）。

顯然上式隨b的增加逐漸減少并趨向于（e－1）≈172%。

圖5所示為與不采取最小訂購量契約相比，采取最小訂購量契約后制造商實際的收益增加比例與本文給出的理論上界值。從圖5可以看出，本文給出的上界較好地反映了制造商收益變化的趨勢。在具體計算結果中，本文給出的上界比實際收益增加的比例平均高4．5%左右（最大高4．9%，最小高3．9%）。

圖6所示為等彈性需求函數(shù)下，采取最小訂購量契約前后整個供應鏈的收益情況。從圖6可以看出，采取最小訂購量契約后，整個供應鏈的收益低于不采取最小訂購量契約時的收益。

綜合上述分析，可以得到如下性質：

性質2 在銷售商需求是等彈性函數(shù)時，制造商采取最小訂購量契約是在損害整個供應鏈利益的情況下，使自身收益增加；與不采取最小訂購量契約相比，制造商收益增加的比例隨著銷售商的需求價格彈性系數(shù)b的增加而減少，并且隨著彈性系數(shù)b的增加，其上界最終不會超過172%，這也是由制造商在博弈中占主導地位所導致的。

6 結束語

本文以由一個制造商和多個銷售商組成的兩級供應鏈為背景，基于價格彈性需求，研究了在以制造商為主導者的Stackelberg博弈機制下，最小訂購量的設定方法及其對供應鏈造成的影響。主要工作概括如下：

（1）證明了在最小訂購量契約下，銷售商的訂購策略為一種分段函數(shù)的形式。

（2）提出了一種精確求解最優(yōu)最小訂購量、時間復雜度為O（N2）的算法。

（3）找到了與不采取最小訂購量契約相比，在最小訂購量契約下制造商收益變化的上界與整個供應鏈收益變化的下界。

（4）通過數(shù)值實驗證明，在以制造商為主導者的Stackelberg博弈機制下，制造商采取最小訂購量契約可以使自身收益增加，但是會使整個供應鏈收益減少。與不采取最小訂購量契約相比，在線性需求函數(shù)下，制造商收益增加的比例不會超過100%；在等彈性需求函數(shù)下，制造商收益增加的比例隨著彈性系數(shù)b的增加而減少，并且隨著彈性系數(shù)b的增加，其上界最終不會超過172%。

本文考慮需求函數(shù)是確定性的形式，今后可以進一步考慮不確定需求的形式。本文將制造商的批發(fā)價格看作是外生變量，還可以進一步考慮最小訂購量和批發(fā)價格同時為制造商決策變量時的供應鏈協(xié)調問題等。

［1］REED W J．The pareto，zipf and other power laws［J］．Economics Letters，2001，74（1）：15－19．

［2］HAMMOND J H，RAMAN A．Sport Obermeyer，Ltd．［EB／OL］．（2006－08－15）［2011－11－13］．http：／／www．log．wi．tum．de／fileadmin／w00bkn／www／GlobalSCS2012／VL＿6＿－＿08－05－2012＿－＿HBR＿Case．pdf．

［3］Kodak．Kodak motion picture products price catalog［EB／OL］．［2009－01－02］．http：／／motion．kodak．com／motion／uploadedFiles／QA＿MotionPictureCatalog＿March9＿2009．pdf．

［4］FISHER M，RAMAN A．Reducing the cost of demand uncertainty through accurate response to early sales［J］．Operations Research，1996，44（1）：87－99．

［5］ROBB D J，SILVER E A．Inventory management with periodic ordering and minimum order quantities［J］．Journal of Operational Research Society，1998，49（10）：1085－1094．

［6］PORRAS E，DEKKER R．An efficient optimal solution method for the joint replenishment problem with minimum order quantities［J］．European Journal of Operational Research，2006，174（3）：1595－1615．

［7］ZHAO Y，KATEHAKIS M N．On the structure of optimal ordering policies for stochastic inventory systems with minimum order quantity［J］．Probability in the Engineering and Informational Sciences，2006，20（2）：257－270．

［8］ZHOU B，ZHAO Y，KATEHAKIS M N．Effective control policies for stochastic inventory systems with a minimum order quantity and linear costs［J］．International Journal of Production Economics，2007，106（2）：523－531．

［9］BASSOK Y，ANUPINDI R．Analysis of supply contracts with total minimum commitment［J］．IIE Transactions，1997，29（5）：373－381．

［10］CHEN F Y，KRASS D．Analysis of supply contracts with minimum total order quantity commitments and non－stationary demands［J］．European Journal of Operational Research，2001，131（2）：309－323．

［11］KIESMULLER G P，DE KOK A G，DABIA S．Single item inventory control under periodic review and a minimum order quantity［J］．International Journal of Production Economics，2011，133（1）：280－285．

［12］OKHRIN I，RICHTER K．An O（T3）algorithm for the capacitated lot sizing problem with minimum order quantities［J］．European Journal of Operational Research，2011，211（3）：507－514．

［13］HUA Guowei，LI Jian，TIAN Xin，et al．Optimal order strategy with free shipping option ［J］．Systems Engineering—Theory ＆ Practice，2010，30（3）：506－512（in Chinese）．［華國偉，李 健，田 歆，等．帶有免費送貨選擇的最優(yōu)訂貨策略［J］．系統(tǒng)工程理論與實踐，2010，30（3）：506－512．］

［14］XU Qi．Jointly contract of buy back and pricing flexible for supply chain coordination under price changing on demand［J］．Forecasting，2012，30（3）：25－29（in Chinese）．［徐 琪．價格相關需求下基于回購與價格彈性聯(lián)合契約的供應鏈協(xié)調［J］．預測，2012，30（3）：25－29．］

［15］LIAO Li，WU Yaohua，SUN Guohua．Contract coordination for a two－stage supply chain with random yield［J］．Computer Integrated Manufacturing Systems，2010，16（8）：1733－1741（in Chinese）．［廖 莉，吳耀華，孫國華．隨機產量下的二級供應鏈契約協(xié)調［J］．計算機集成制造系統(tǒng)，2010，16（8）：1733－1741．］

［16］QI Ershi，YANG Daojian，LIU Liang．Supply chain two－part tariff based on strategic customer behavior［J］．Computer In－tegrated Manufacturing Systems，2010，16（4）：828－833（in Chinese）．［齊二石，楊道箭，劉 亮．基于顧客戰(zhàn)略行為的供應鏈兩部定價契約［J］．計算機集成制造系統(tǒng)，2010，16（4）：828－833．］

［17］HUANG Yajun．Microeconomics［M］．Beijing：Higher Education Press，2005（in Chinese）．［黃亞鈞．微觀經(jīng)濟學［M］．北京：高等教育出版社，2005．］

［18］OZELKAN E C，CAKANYILDIRIM M．Reverse bullwhip effect in pricing［J］．European Journal of Operational Research，2007，192（1）：302－312．

［19］LAU A H L，LAU H S．Effects of a demand curve's shape on the optimal solutions of a multi－echelon inventory／pricing model［J］．European Journal of Operational Research，2003，147（3）：530－548．