陳燕平

(中鐵第四勘察設(shè)計(jì)院集團(tuán)有限公司，湖北 武漢 430063)

傳統(tǒng)的手工拉坡有很大的主觀性和局限性。對于長大鐵路線路縱斷面設(shè)計(jì)，為取得理想設(shè)計(jì)成果，即使經(jīng)驗(yàn)豐富的工程師，也需要耗費(fèi)大量的時(shí)間和精力。本文采用數(shù)學(xué)算法，依據(jù)地面線對縱斷面進(jìn)行自動設(shè)計(jì)?？捎玫姆椒ㄓ袛M合法，把地面線點(diǎn)看成零散的點(diǎn)，用最小二乘法擬合出這一系列點(diǎn)的函數(shù)［1－2］，還有小波算法［3］。目前小波變換大都用于信號去噪方面［4］，遺傳算法［5－7］以及 Douglas壓縮算法，此前，該算法多用于數(shù)據(jù)壓縮，本文將Douglas算法改進(jìn)后應(yīng)用于縱斷面自動設(shè)計(jì)中。

1 擬合法

1.1 原理與步驟

本文采用最小二乘法對地面線進(jìn)行擬合，擬合法生成縱斷面坡度線主要分以下4步進(jìn)行:

(1)根據(jù)最小二乘法原理，對地面線進(jìn)行擬合，生成總體的擬合曲線;

(2)求擬合曲線的三階導(dǎo)數(shù)，在三階導(dǎo)數(shù)為0處對擬合曲線進(jìn)行分段;

(3)逐段對擬合曲線進(jìn)行一元線性回歸，生成初步的設(shè)計(jì)數(shù)據(jù);

(4)根據(jù)最大坡度、最大坡長、最小坡度等規(guī)范參數(shù)的約束條件，對設(shè)計(jì)數(shù)據(jù)進(jìn)行修正。

1.2 最小二乘法

把地面線看成一系列離散的點(diǎn)，縱斷面自動設(shè)計(jì)的目的就是要采用數(shù)學(xué)方法將這組離散的點(diǎn)擬合成誤差盡可能小的光滑曲線。

當(dāng)擬合函數(shù)為多項(xiàng)式時(shí)，稱為多項(xiàng)式擬合，滿足上式最小值的稱為最小二乘法擬合多項(xiàng)式。

式(1)為 a0，a1，a2…an的多元函數(shù)，因此上述問題轉(zhuǎn)化為求 I=I(a0，a1，a2，…，an)的極值問題，由多元函數(shù)求極值必要條件，得:

上式是關(guān)于 a0，a1，a2，…，an的線性方程，用矩陣表示為:

上列矩陣是正規(guī)方程組。該矩陣是1個(gè)對稱正定矩陣，故存在唯一解，可以根據(jù)矩陣解出唯一解ak(k=0，1，…，n)，從而多項(xiàng)式各系數(shù)與多項(xiàng)式本身可求出。

1.3 擬合線分段

擬合曲線連續(xù)可導(dǎo)，由函數(shù)三階導(dǎo)數(shù)的特性，可知擬合曲線三階導(dǎo)數(shù)為0處的點(diǎn)即為曲線的拐點(diǎn)，拐點(diǎn)最能反映地面線點(diǎn)的趨勢，因此，變坡點(diǎn)也在此位置為宜。本文采用非線性方程實(shí)根的對分法求曲線三階導(dǎo)數(shù)為零的點(diǎn)，不斷地縮小搜尋區(qū)間范圍以求得拐點(diǎn)。具體實(shí)現(xiàn)如下。

從端點(diǎn)x0=a開始，以h為步長，逐步進(jìn)行搜索，f(xi)為xi處的三階導(dǎo)數(shù);

對于每一個(gè)子區(qū)間［xi，xi+1］，其中xi+1=xi+h，若f(xi)=0，則xi為1個(gè)實(shí)根，且從xi+h/2開始再往后搜索;若f(xi+1)=0，則xi+1為1個(gè)實(shí)根，且從xi+1+h/2開始再往后搜索;若f(xi)f(xi+1)＞0，則說明當(dāng)前子區(qū)間內(nèi)無實(shí)根，從xi+1開始向后搜索;若f(xi)f(xi+1)＜0，則說明當(dāng)前子區(qū)間內(nèi)有實(shí)根，然后，反復(fù)將該子區(qū)間減半，直到找到1個(gè)實(shí)根或子區(qū)間長度小于限定值為止，該限定值可以預(yù)先人為給定。以上過程一直進(jìn)行，直到區(qū)間右端點(diǎn)為止。

1.4 分段線性回歸

分段完后，將每一段分隔開來，進(jìn)行一元線性回歸，得出這個(gè)區(qū)段內(nèi)擬合最好的設(shè)計(jì)坡度線。線性回歸的方法與前面的相同，是多項(xiàng)式擬合的簡化，變求多項(xiàng)式為求二項(xiàng)式，即給定n個(gè)地面線點(diǎn)(xi，yi)(i=0，1，…，n－1)，用直線 y=ax+b作回歸分析(其中a和b為回歸系數(shù))，通過計(jì)算可求出回歸系數(shù)。

1.5 設(shè)計(jì)數(shù)據(jù)修正

對于生成的初步縱斷面，需要根據(jù)鐵路縱斷面坡長、坡度、坡差等約束條件予以調(diào)整，使縱斷面坡度、坡長等各方面都符合《規(guī)范》的要求，并生成豎曲線與出圖。調(diào)整主要按縱斷面設(shè)計(jì)坡長必須大于最小坡長、設(shè)計(jì)坡度必須小于限制坡度，以及設(shè)計(jì)坡度差必須滿足規(guī)范等要求進(jìn)行。

2 Douglas壓縮算法

2.1 基本原理

Douglas－Peucker算法由Douglas和 Peucker于1973年提出，是目前公認(rèn)的線狀要素化簡經(jīng)典算法。主要應(yīng)用于信號［8］、軌跡［9］和森林研究［10］。算法基本原理是找出不規(guī)則曲線上最能代表曲線輪廓的點(diǎn)集。步驟如下:

(1)將曲線的首尾2 點(diǎn) (x0，y0)，(x6，y6)連成一條直線，如圖1所示。直線 (x0，y0)，(x6，y6)的表達(dá)式為Ax+By+C=0。其中:A=y6－y0;B=x0－x6;C=(y0－y6)x6－y0(x0－x6)。

(3)找出最大的Dmax與閾值D0比較，若D0＞Dmax，則刪除整條線的點(diǎn)，僅保留首尾，否則，保留Dmax，以Dmax為特征點(diǎn)，將整條曲線分成2段，重復(fù)步驟(1)和(2)，迭代操作，直至無點(diǎn)可舍去為止，即完成線的化簡，如圖1所示。

圖1 Douglas壓縮算法前后示意圖Fig.1 Pre－and post－ treatment performance of Douglas algorithm

2.2 設(shè)計(jì)步驟

對于已給定地面線點(diǎn)的鐵路縱斷面自動設(shè)計(jì)，相當(dāng)于對曲線進(jìn)行化簡，找出最能反映地勢起伏的特征點(diǎn)，道格拉斯算法尤其適合，但鐵路縱斷面的設(shè)計(jì)需要考慮諸多外界因素，即在道格拉斯算法的基礎(chǔ)上附加約束條件。本論文中Douglas的運(yùn)算流程分為3根主線。

第1條主線:根據(jù)參數(shù)表確定限制坡度MaxSlope、最小坡長MinLength以及最大坡度差MaxSlopeDif，這些分別構(gòu)成道格拉斯算法的閾值。

第2條主線:讀取鐵路方案數(shù)據(jù)庫的斷鏈線表，判斷是否有斷鏈存在，若存在斷鏈，則在地面上中減去相應(yīng)的斷鏈值，再代入運(yùn)算，在出圖的時(shí)候，再恢復(fù)斷鏈值進(jìn)行出圖。

第3條主線:將地面線點(diǎn)代入道格拉斯計(jì)算，分別以MaxSlope，MinLenth以及MaxSlopeDif為規(guī)范中最大坡度、最小坡長和最大坡度代數(shù)差的閾。詳述為以下步驟:

(1)讀取全線地面線表，計(jì)算每相鄰2個(gè)地面線點(diǎn)之間的距離Length(i)與高差之比，比值記為Grad(i)。若Grad(i)＞MaxSlope，或Length(i)＜MinLength，則刪除點(diǎn)i，否則保留點(diǎn)i為變坡點(diǎn)。

(2)經(jīng)過1步驟后，得到變坡點(diǎn)的點(diǎn)集 SlopeList。

(3)比較各變坡點(diǎn)處坡度差與MaxSlopeDif，若坡度差大于MaxSlopeDif，，則調(diào)整該變坡點(diǎn)處坡度差直至小于MaxSlopeDif。

綜上所述，縱斷面自動設(shè)計(jì)邏輯圖如圖2所示。

圖2 Douglas壓縮算法邏輯圖Fig.2 Logical chart of Douglas algorithm

3 自動設(shè)計(jì)結(jié)果

將以上2種算法應(yīng)用于金溫鐵路的縱斷面設(shè)計(jì)中，壓縮法得出各變坡點(diǎn)數(shù)據(jù)如圖3所示。

縱斷面設(shè)計(jì)圖如圖4所示。

4 工程數(shù)量對比

以工程造價(jià)來評估自動設(shè)計(jì)算法的優(yōu)劣.造價(jià)綜合評估依據(jù)主要是線位長度、橋隧分布情況與土石方數(shù)量。鑒于土石方及土質(zhì)匹配情況復(fù)雜，本文只考慮了填挖方的數(shù)量，沒有考慮運(yùn)距。橋梁、隧道是按最大填、挖高度來確定，進(jìn)行自動設(shè)置。

圖5所示的“指標(biāo)”是綜合指標(biāo)，采用的是多條線路的經(jīng)驗(yàn)值或估算定額。擬合法和Douglas壓縮算法所得線路方案的工程造價(jià)分別如圖5和圖6所示。

對比圖5和圖6可以看出:采用壓縮算法的土石方量、橋梁長度均小于采用擬合法得出的數(shù)量，但采用擬合法自動設(shè)計(jì)的隧道長度略短，不同的縱斷面設(shè)計(jì)方法，工程造價(jià)差別達(dá)2億元。

圖3 坡度表(初步結(jié)果)Fig.3 The slope list of vertical section

圖4 縱斷面自動設(shè)計(jì)結(jié)果Fig.4 Result of railway vertical section automatic design

圖5 基于擬合法線路方案的工程造價(jià)Fig.5 Project cost with fitting process

圖6 基于Douglas壓縮算法線路方案的工程造價(jià)Fig.6 Project cost with Douglas algorithm

5 結(jié)論

本文研究了縱斷面自動設(shè)計(jì)的兩種算法，并綜合考慮了規(guī)范設(shè)計(jì)的需求，兩種算法都能初步實(shí)現(xiàn)縱斷面自動設(shè)計(jì)的目的。經(jīng)工程實(shí)例及其造價(jià)比較，2種方法各有利弊，具體表現(xiàn)在:

(1)擬合法對于山區(qū)地形，即地形變化快的地區(qū)，拉坡結(jié)果不很理想，因?yàn)榈孛娓叱套兓型蛔?，可能?dǎo)致擬合曲線不連續(xù)，建議這種地區(qū)采用Douglas算法進(jìn)行自動設(shè)計(jì)。

(2)多個(gè)實(shí)際線路比較結(jié)果可知，Douglas壓縮算法工程造價(jià)較低，但基于該算法的線路變坡點(diǎn)都在地面線上，不一定是最佳線路方案。

(3)本文旨在對鐵路線路縱斷面自動設(shè)計(jì)做理論上的初步探索研究，未考慮橋、隧、站等具體工程構(gòu)造物的影響。

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