柴生波 肖汝誠

(同濟(jì)大學(xué)橋梁工程系，上海200092)

多塔懸索橋方案在眾多跨海工程中多次被提出，然而真正付諸工程實(shí)踐的僅有中國的泰州長江公路大橋和馬鞍山長江公路大橋．究其原因，主要是多塔懸索橋的中塔缺少邊跨主纜的有效約束，導(dǎo)致中間跨在非平衡活載作用下有可能產(chǎn)生較大撓度［1-2］，雖可采用剛性橋塔以增加結(jié)構(gòu)整體剛度、減小變形［2-3］，但塔頂卻要承擔(dān)巨大的不平衡水平力［4-5］，這不但大大增加了下部結(jié)構(gòu)的造價(jià)，而且主纜在中塔的抗滑移安全性難以得到保障，這是制約多塔懸索橋發(fā)展的一個(gè)重要原因．

中塔的剛度是影響多塔懸索橋力學(xué)性能的關(guān)鍵因素，塔的縱橋向剛度由以下兩部分構(gòu)成:一是橋塔結(jié)構(gòu)本身的抗推剛度;二是主纜對(duì)橋塔的約束作用．采用剛度較大的橋塔的弊端顯而易見，另外一種途徑則是通過增大主纜對(duì)橋塔的約束作用來增大橋塔縱向剛度．

Osamu等［2］將主纜對(duì)橋塔的約束簡化為彈簧，通過研究主纜線形與主纜水平力的關(guān)系推導(dǎo)了彈簧的剛度系數(shù)．柴生波等［6］通過能量原理推導(dǎo)了主纜對(duì)橋塔的約束表達(dá)式，發(fā)現(xiàn)主纜對(duì)橋塔的約束作用取決于單位橋長恒載重量及主纜垂跨比，且受垂跨比影響較大．傳統(tǒng)懸索橋中，主纜垂跨比的取值一般在1/12～1/9之間，這也就決定了傳統(tǒng)的懸索橋體系對(duì)橋塔的約束作用是受限的，而新的纜索體系卻有可能改變這一現(xiàn)狀．

雙主纜懸索橋體系中主纜對(duì)橋塔的約束作用與傳統(tǒng)懸索橋有較大差異，柴生波等［7-8］對(duì)雙主纜懸索橋體系的順橋向及豎橋向力學(xué)特性進(jìn)行了初步研究，發(fā)現(xiàn)雙主纜體系對(duì)橋塔的約束作用比傳統(tǒng)體系大得多，但在研究主纜對(duì)于橋塔的順橋向約束時(shí)未考慮主纜的彈性伸長作用，因此無法得出雙主纜對(duì)于橋塔約束的表達(dá)式．文中將考慮主纜彈性伸長引起的主纜線形變化，推導(dǎo)雙主纜體系對(duì)橋塔的約束作用表達(dá)式，研究雙纜體系最大撓度的求解方法，并建立有限元模型進(jìn)行驗(yàn)證．

1 基本理論

多塔懸索橋的最不利工況為其中一跨滿布荷載，橋塔向加載跨一側(cè)移動(dòng)，此時(shí)加載跨撓度達(dá)到最大．對(duì)傳統(tǒng)懸索橋而言，橋塔發(fā)生順橋向位移時(shí)，非加載跨主纜線形改變，垂度減小，跨長增大，主纜水平力增大，從而起到對(duì)橋塔的約束作用．而雙纜體系懸索橋?qū)蛩募s束原理如下:由于上纜與下纜垂度不同，塔頂發(fā)生位移時(shí)，上纜與下纜垂度改變量不同，連結(jié)上纜與下纜之間的吊索彈性伸縮可忽略，上纜與下纜豎向變形量相等，因此荷載通過吊索在上纜與下纜間重新分配，上纜與下纜內(nèi)力隨之改變，上纜與下纜總的水平力之和隨之改變，從而起到對(duì)橋塔的約束作用．

分析雙主纜懸索橋時(shí)采用如下假定:

(1)上纜與下纜總體線形均為拋物線;

(2)連結(jié)上纜與下纜的吊索不可伸長，上纜與下纜的豎向位移相等;

(3)主纜的變形主要由塔頂位移及主纜的彈性伸縮引起．

雙主纜懸索橋如圖1所示．

圖1 雙主纜懸索橋圖示Fig．1 Suspension bridge with double main cables

1．1 均布荷載下的主纜變形

主纜的跨長為L，垂度為f，垂跨比為n，主纜的彈性模量和截面積分別為E、A，在沿跨長的均布荷載下，由主纜彈性伸長引起的主纜垂度改變量為df，如圖2所示．

圖2 沿跨長均布荷載作用下主纜的彈性伸長Fig．2 Elastic elongation of main cable caused by uniform live load along full span

根據(jù)文獻(xiàn)［7］有

其中，

式(1)簡記為

則有

由式(4)即可得主纜在沿跨長的均布荷載作用下，由主纜的彈性伸長引起的垂跨比改變量dn．分析u(n)可知，主纜垂跨比越大，在沿跨長的均布荷載作用下，垂跨比改變越小．

1．2 塔頂位移引起的主纜變形

若塔頂發(fā)生一微小位移δL，引起的主纜垂度改變量為δf，如圖3所示，根據(jù)文獻(xiàn)［9］，塔頂位移與垂度改變的關(guān)系近似為

圖3 塔頂位移引起的主纜變形Fig．3 Deformation of main cable caused by displacement of tower top

1．3 雙纜縱向約束剛度推導(dǎo)

當(dāng)單跨承受滿布均布荷載時(shí)(如圖4所示)，假定塔頂發(fā)生朝向加載跨的位移δL，非加載跨主纜線形改變，上纜與下纜垂度分別為ft、fb，垂度改變量分別為δft、δfb(如圖5所示)．假定塔頂位移引起的上纜與下纜垂度改變分別為δft1、δfb1，主纜的彈性伸縮引起的上纜與下纜垂度改變分別為δft2、δfb2．

上纜與下纜豎向變形相等，則有

圖4 多塔體系的最不利加載工況Fig．4 Unfavourable load condition of multi-span suspension bridge

圖5 塔頂發(fā)生位移時(shí)的主纜變形Fig．5 Deformation of main cables when tower top moves

根據(jù)式(5)可得

對(duì)于上纜及下纜，分別有

式中，nt、nb分別為上纜與下纜垂跨比，Et、At、Eb、Ab分別為上纜與下纜的彈性模量與截面積，qt、qb分別為非加載跨上纜與下纜所承擔(dān)均布荷載的改變量，因?yàn)楹奢d在上纜與下纜間轉(zhuǎn)移，因此有

將式(8)、(9)、(11)、(12)代入式(7)可得

將式(13)代入式(14)可解得

式(15)給出了塔頂位移量與荷載轉(zhuǎn)移量之間的關(guān)系，將式(15)代入式(11)中得

又因?yàn)?δft= δft1+ δft2，由式(8)、(16)可得

式(15)和(17)分別給出了塔頂發(fā)生位移δL時(shí)，非加載跨恒載在下纜與上纜間的轉(zhuǎn)移量以及主纜垂度的變化量．

懸索橋主纜水平力H與均布荷載有如下關(guān)系:

因此塔頂發(fā)生位移后非加載跨雙主纜水平力增量為

Qt、Qb分別為成橋狀態(tài)時(shí)，上纜與下纜分配的均布荷載．由式(15)、(17)可知，qt、δft都是 δL 的函數(shù)，其余各參數(shù)均已知，所以在成橋狀態(tài)各參數(shù)均確定的情況下，水平力的增量δH是塔頂位移量δL的函數(shù)．

式(15)記為 qt=aδL，式(17)記為 δft=bδL，則式(19)可記為

雙主纜體系對(duì)橋塔的順橋向約束剛度可表示為KC= δH/δL=

其中，

由KC的表達(dá)式可以看出，KC是與塔頂位移有關(guān)的量，不能直接求出，求解時(shí)，可將δL取一個(gè)較小的數(shù)值，如 δL=0．01m，代入式(21)中求解．

1．4 加載跨的撓度

當(dāng)對(duì)多跨懸索橋中某跨施加沿跨長的均布荷載時(shí)，此加載跨的主纜彈性伸縮及橋塔位移均能引起加載跨主纜垂度的改變，由于吊索的伸縮量十分有限，可近似認(rèn)為主纜垂度改變量與加勁梁撓度相等．

主纜垂度變化由以下3部分構(gòu)成:第一部分為橋塔位移引起的主纜垂度改變;第二部分為恒載在加載跨上纜與下纜之間的轉(zhuǎn)移所引起的主纜垂度改變;第三部分為由均布活載引起的的主纜垂度改變．

在研究非加載跨時(shí)，由橋塔位移及恒載轉(zhuǎn)移造成的主纜垂度改變量已經(jīng)由式(17)求得，由于加載跨主纜下?lián)?，而非加載跨為上撓，僅需改變式(17)符號(hào)即可，即

聯(lián)合式(23)、(25)可得

下面研究由均布活載引起的主纜撓度，由于上纜與下纜的豎向位移相等，因此活載在上纜與下纜之間的分配比例取決于上纜與下纜的剛度，此問題在本系列文章(Ⅰ)［7］中已經(jīng)進(jìn)行了研究，有

式中，qtl、qbl分別為均布荷載在上纜與下纜上的分配量．均布荷載引起的主纜垂度改變由式(4)可得

均布荷載引起的上纜垂度改變量為δf3，則由式(28)可得

由式(26)、(29)可得

式(30)即為加載跨撓度的求解公式，式中b由式(23)求得．由式(30)可以看出，欲求加載跨的撓度，需先求得均布荷載在上纜的分配量qt及塔頂位移 δL．

2 雙纜縱橋向約束模型驗(yàn)證

使用MIDAS建立三塔兩跨雙纜體系模型，采用程序自帶建模助手根據(jù)上纜及下纜承擔(dān)的恒載分別生成上纜及下纜的線形，然后用吊桿連結(jié)上纜與下纜，并與加勁梁相連．分別用梁單元和桁架單元模擬加勁梁和主纜、吊桿．考慮到活載與恒載相比較小，且活載下主纜線形改變較小，因此程序計(jì)算時(shí)采用線性分析．下主纜線形改變跨度為1000m+1000m，上纜垂度為50m(垂跨比1/20)，下纜垂度為125 m(垂跨比1/8)．上纜與下纜采用相同截面，主纜及吊桿彈性模量為200GPa，單根主纜截面0．204m2，吊桿截面為3．34×10-3m2，單位橋長重量約為267 kN/m(含主纜及吊桿)，恒載狀態(tài)下，令上纜承擔(dān)恒載的36%，下纜承擔(dān)64%．約束邊塔塔頂處各向自由度，中塔頂縱橋向無約束，如圖6所示．仍采用圖4所示加載模式，為了與未考慮主纜彈性伸長的計(jì)算結(jié)果作對(duì)比，本模型參數(shù)與文獻(xiàn)［8］中模型參數(shù)相同．

圖6 雙主纜體系圖示(單位:m)Fig．6 Alignment of bridge with double main cables(Unit:m)

2．1 橋塔位移

各參數(shù)如下:L=1000 m，E=200 GPa，A=2×0．204=0．408m2，ft=50m，fb=125m，nt=50/1000=0．05，nb=125/1000=0．125，每延米橋長重 W=267kN/m，Qt=0．36 ×267=96120N/m，Qb=0．64 ×267=170880N/m．將各參數(shù)代入式(22)、(23)中，可得 a=16304N/m2，b=-1．838，代入式(21)中，得

將 L、ft、fb代入上式，并取 δL=0．01 m，可得KC=35818kN/m．

對(duì)一跨進(jìn)行施加均布荷載時(shí)，根據(jù)式(24)可得u(nt)=0．105，u(nb)=0．593，上纜與下纜截面相同，且上纜與下纜豎向位移相等，根據(jù)式(4)，u(nt)、u(nb)反映了均布荷載在上纜與下纜之間的分配比例，當(dāng)施加均布荷載q時(shí)，上纜分配量為qtl=qu(nt)/［u(nt)+u(nb)］，下纜分配量為 qbl=qu(nb)/［u(nt)+u(nb)］．

仍用圖4所示的加載方式對(duì)模型進(jìn)行加載．均布荷載值 q取為 10 ～60kN/m．qtl=0．15q，qbl=0．85q．

加載跨主纜內(nèi)力增量近似為

將 q取值(10、20、30、40、50、60 kN/m)代入上式，得到加載跨內(nèi)力增量分別為12250、24500、36750、49000、61250、73500kN．塔頂位移量為 δL=，則塔頂位移分別為0．171、0．342、0．513、0．684、0．855、1．026m．

由式(21)求得的KC來求解塔頂位移，并將其作為塔頂位移的理論值與有限元模型的計(jì)算結(jié)果進(jìn)行對(duì)比，見圖7．

圖7 中塔塔頂位移Fig．7 Displacement of the mid tower top

2．2 主纜內(nèi)力變化

非加載跨主纜內(nèi)力變化可通過荷載在上纜與下纜之間的轉(zhuǎn)移量由式(15)求解．

若忽略主纜垂度的變化，則主纜內(nèi)力改變量如下:

上纜內(nèi)力增量為

下纜內(nèi)力減小量為

荷載轉(zhuǎn)移量qt的求解表達(dá)式中含δL，此處仍使用前面求得的δL理論值求解qt，分別將δL的不同取值(0．171、0．342、0．513、0．684、0．855、1．026 m)，代入式(15)中，可得到荷載轉(zhuǎn)移量分別為2．794、5．588、8．382、11．176、13．970、16．765kN．

將荷載轉(zhuǎn)移量代入式(32)、(33)，可求得上纜與下纜水平力的改變量 δHt、δHb．恒載狀態(tài)下，上纜承擔(dān)恒載的36%，下纜承擔(dān)64%，W=267kN/m，可求得上纜、下纜水平力理論值分別為:Ht=240．3 kN，Hb=170．88kN．

與文獻(xiàn)［8］中未考慮主纜彈性伸長時(shí)的結(jié)果相比，圖8(a)、8(b)所示文中理論值與模型計(jì)算之間的誤差大大減?。?/p>

圖8 非加載跨上、下纜水平力Fig．8 Horizontal force of top and bottom cables in unloaded span

此時(shí)的誤差主要來源于主纜垂度，塔頂發(fā)生位移后，主纜垂度相應(yīng)發(fā)生微小的改變，而在計(jì)算主纜內(nèi)力改變時(shí)，忽略了主纜垂度的變化．

2．3 加載跨撓度

Et、At已知，在求解橋塔位移時(shí)已求得u(nt)=0．105，qtl=0．15q，b=-1．838，加載跨施加均布荷載 q，q 取值為10、20、30、40、50、60kN/m 時(shí)，δL 的理論值已求得，將各參數(shù)分別代入式(30)可得，加載跨撓度分別為 0．489、0．979、1．468、1．957、2．447、2．936m，如圖9 所示．

圖9 加載跨跨中撓度Fig．9 Middle span deflection of the loaded span

從圖9可以看出，文中的理論值與模型計(jì)算值之間非常接近，由此證明了文中求解加載跨撓度方法的可行性．文中采用的模型為兩跨，若橋跨數(shù)量多于兩跨，則中間橋跨的撓度會(huì)受到兩側(cè)橋跨的影響，在求解橋塔位移時(shí)會(huì)更加復(fù)雜，橋跨較多情況下加勁梁最大撓度的求解方法仍需進(jìn)一步研究．

2．4 結(jié)果分析

采用有限元模型對(duì)橋塔位移、主纜內(nèi)力及加載跨加勁梁撓度進(jìn)行了計(jì)算，結(jié)果與文中理論值非常接近，由此可以看出，在考慮了主纜彈性伸長后，運(yùn)用上纜與下纜在豎向變形協(xié)調(diào)的條件下推導(dǎo)的雙纜體系對(duì)橋塔的約束作用式(21)、荷載在上纜與下纜之間轉(zhuǎn)移量的關(guān)系式(15)、加載跨撓度的計(jì)算式(30)均有較高精度．

在對(duì)橋塔位移及非加載跨主纜內(nèi)力的求解中，文中理論值與模型計(jì)算值之間存在微小差異，這主要是因?yàn)?，加載跨主纜內(nèi)力增量及非加載主纜內(nèi)力變化均是由變形之前的主纜線形計(jì)算得出，而加載后主纜線形發(fā)生了改變，因此理論值與模型值之間存在著一定的誤差．

從計(jì)算結(jié)果可看出，雙纜體系在其中一跨受到均布荷載時(shí)，其塔頂位移量與撓跨比都較小，均布荷載為40 kN/m時(shí)，加載跨撓度約為2 m，撓跨比為1/500，由此可見雙纜體系結(jié)構(gòu)的整體剛度較高．

由式(21)可以看出，雙纜體系對(duì)于橋塔的約束剛度受到恒載在上纜與下纜之間的分配比例、主纜的截面參數(shù)(彈性模量、面積)、上纜與下纜的垂度、跨長的影響，因此與傳統(tǒng)懸索橋體系主纜的約束有顯著差異．

3 結(jié)論

文中研究了雙纜體系對(duì)橋塔的順橋向約束剛度，給出了求解雙纜對(duì)橋塔約束剛度、荷載在上纜與下纜間的轉(zhuǎn)移量以及加勁梁撓度的解析式，并與有限元結(jié)果進(jìn)行對(duì)比，證明了公式的準(zhǔn)確性．研究發(fā)現(xiàn)雙纜體系對(duì)橋塔的約束作用原理與傳統(tǒng)懸索橋體系明顯不同，受到的影響因素較多，主纜截面參數(shù)、恒載在上纜與下纜的分配比例、主纜的垂跨比及跨長等均能影響雙纜的縱橋向約束剛度．與傳統(tǒng)懸索橋體系相比，雙纜體系能夠提供強(qiáng)大的順橋向約束，在對(duì)其中一跨施加均布荷載時(shí)，加勁梁撓跨比較小，雙纜體系結(jié)構(gòu)剛度較大．研究還發(fā)現(xiàn)，加載跨加勁梁撓度可以分為3部分求解:荷載轉(zhuǎn)移引起的主纜撓度、塔頂位移引起的主纜撓度以及均布活荷載引起的主纜撓度，文中給出了相應(yīng)的求解公式．

［1］Gimsing N J．Cable supported bridges［M］．2nd ed．Chichester:John Wiley，1997:183-185．

［2］Osamu Yoshida，Motoi Okuda，Takeo Moriya．Structural characteristics and applicability of four-span suspension bridge［J］．Journal of Bridge Engineering，ASCE，2004，(9/10):453-463．

［3］Fukuda T．Analysis of multispan suspension bridges［J］．J Struct Div，1976(6):63-86．

［4］王忠彬，萬田保．泰州長江公路大橋三塔兩跨懸索橋結(jié)構(gòu)行為特征［J］．橋梁建設(shè)，2008，2:38-40，59．Wang Zhong-bin，Wan Tian-bao．Characteristics of structural behavior of three-tower and two-span suspension bridge of Taizhou Changjiang River highway bridge ［J］．Bridge Construction，2008，2:38-40，59．

［5］Ryszard A Daniel，F(xiàn)rank J van Dooren，Rob H de Meijer．Comparison of a single and double main span suspension bridge for the western scheldt crossing［C］∥34th International Symposium on Bridge and Structural Engineering．Venice:IABSE，2010:9-16．

［6］柴生波，肖汝誠，張學(xué)義，等．多跨懸索橋中塔縱向剛度研究［J］．中國公路學(xué)報(bào)2012，25(2):67-71．Chai Sheng-bo，Xiao Ru-cheng，Zhang Xue-yi，et al．Study of longitudinal stiffness of middle pylon in multi-span suspension bridge［J］．China Journal of Highway and Transport，2012，25(2):67-71．

［7］柴生波，肖汝誠，孫斌．雙纜懸索橋體系的力學(xué)特性(Ⅰ)［J］．華南理工大學(xué)學(xué)報(bào):自然科學(xué)版，2011，39(12):159-164．ChaiSheng-bo，Xiao Ru-cheng，Sun Bin．Mechanical properties of double-cable suspension bridge system(Ⅰ)［J］．Journal of South China University of Technology:Natural Science Edition，2011，39(12):159-164．

［8］柴生波，肖汝誠，孫斌．雙纜懸索橋體系的力學(xué)特性(Ⅱ)［J］．華南理工大學(xué)學(xué)報(bào):自然科學(xué)版，2012，40(2):23-28．ChaiSheng-bo，Xiao Ru-cheng，Sun Bin．Mechanical properties of double-cable suspension bridge system(Ⅱ)［J］．Journal of South China University of Technology:Natural Science Edition，2012，40(2):23-28．

［9］柴生波，肖汝誠，孫斌．懸索橋主纜變形特性［J］．同濟(jì)大學(xué)學(xué)報(bào):自然科學(xué)版，2012，40(10):1452-1457．ChaiSheng-bo，XiaoRu-cheng，Sun Bin．Deformation characteristics of main cable in suspension bridge caused by live load［J］．Journal of Tongji University:Natural Science，2012，40(10):1452-1457．