李小磊，梁軍軍

（山西大學 理論物理研究所，山西 太原 030006）

0 引言

隨著冷原子實驗的發(fā)展，人們已經(jīng)實現(xiàn)了利用激光囚禁費米子氣體來模擬凝聚態(tài)理論中的一些理論模型［1］，如Hubbard模型.由于光學晶格的結(jié)構(gòu)以及冷原子間相互作用的可調(diào)節(jié)性，使光學晶格中的費米子氣體非常適合用于研究強關(guān)聯(lián)系統(tǒng)的各種特性，這就使得在實驗上研究Hubbard模型的強關(guān)聯(lián)行為成為可能，進而成為研究高溫超導體的超導機理的簡單模型.由于形成庫伯對需要費米子之間有等效的吸引作用，因而人們對吸引作用的費米氣體超流做了大量的研究［2－4］，但是實際上粒子間的排斥相互作用也有可能產(chǎn)生等效的吸引相互作用［5］，近期人們對排斥相互作用的費米氣體做了大量的研究［6－7］.文獻［5］研究了處在外加簡諧磁場的光學晶格中超冷費米氣體的基態(tài)性質(zhì).在這樣的系統(tǒng)中外加勢場會使得粒子向勢阱中心匯聚，而粒子間的排斥作用又會使得粒子向勢阱兩邊分散，所以，當外加勢場足夠大時，費米子就會向勢阱的中心聚集，形成一種類似穹頂狀的密度分布，每個格點可能會有兩個原子占據(jù)，出現(xiàn)雙占據(jù)態(tài).但是隨著粒子間排斥相互作用的增加，粒子會向勢阱兩側(cè)運動，使得勢阱中心每個格點只占據(jù)著一個粒子，粒子密度的分布就會在勢阱中心變得非常平坦，出現(xiàn)了Mott絕緣態(tài).通過對束縛能的研究我們發(fā)現(xiàn)，當排斥相互作用大于一定值時，費米子間會有配對出現(xiàn)，并且在勢阱的中心部分有Mott絕緣態(tài)的出現(xiàn).該結(jié)論是在格點總數(shù)小于22的情況下得到的，這是因為該作者使用的是精確對角化方法，無法處理更大尺度的晶格.我們利用密度重整化群方法討論了相同的配對問題，發(fā)現(xiàn)對于大尺度晶格，上面的結(jié)論是不準確的.

在本文中，我們計算了晶格中粒子數(shù)小于半填充時密度的分布以及相互作用不同時的基態(tài)能量，并分析了兩個粒子間的束縛能.

1 理論模型

當存在外加勢場時囚禁于光學晶格中的一維費米氣體可以用如下的一維（Fermi－Hubbard Model）哈密頓量描述［8］：

我們設(shè)自旋向上費米子為n↑，自旋向下費米子數(shù)為n↓，總費米子數(shù)n＝n↑＋n↓，同時只限于討論費米子小于半占據(jù)的情況.我們利用密度重整化群方法來計算兩個費米子之間的束縛能Eb.如果Eb＜0，費米子之間會存在等效的吸引相互作用，這表明費米子之間形成庫伯配對，進而意味著費米超流的存在.

2 模擬結(jié)果與分析

利用下面的公式Eb來計算費米子間的束縛能［5］：

其中Eg（n↑，n↓）表示系統(tǒng)中自旋向上的粒子數(shù)為n↑、自旋向下的粒子數(shù)為n↓的基態(tài)能量.我們首先重復(fù)了文獻［5］的工作，利用密度重整化群方法計算了兩費米子間的束縛能Eb，粒子數(shù)密度分布n（i）.在費米子小于半填充情況下，束縛能Eb在排斥作用增大到一定值時會由正值變?yōu)樨撝?，同時在勢阱中心出現(xiàn)Mott絕緣態(tài)，而在勢阱兩邊是存在庫伯對的超流態(tài).我們發(fā)現(xiàn)利用密度重整化群方法與該文獻利用精確對角化方法得到的結(jié)果完全一致，這表明我們的方法是可靠的.

在不改變填充因子的情況下把格點總數(shù)增加為N＝70的情況，討論了自旋向上費米子數(shù)n↑＝25、自旋向下費米子數(shù)n↓＝25的密度分布以及束縛能Eb與排斥相互作用的關(guān)系，如圖1所示.

圖1 （a）費米子密度分布（b）和束縛能Eb隨著U／t的變化Fig.1 Variation of density（a）and binding energy Eb（b）with repulsive interaction

由圖1（a）可知，當排斥相互作用比較?。║／t＜5.5）時，諧振子勢阱起主導作用，把費米子擠向勢阱中心，雙占據(jù)態(tài)（n（i）＞1）主要存在于勢阱的中心；隨著排斥相互作用增強（U／t≥5.5），排斥作用起主導作用，費米子之間的排斥作用迫使勢阱中心每個格點只能有一個費米子.在勢阱中心n（i）＝1，雙占據(jù)態(tài)完全消失，出現(xiàn)Mott絕緣態(tài).在圖1（b）中，束縛能Eb在U／t≥5.5時為負值，表明系統(tǒng)在勢阱兩側(cè)存在超流態(tài)，而在勢阱中心存在Mott絕緣態(tài)，這正是文獻［5］的結(jié)論.與文獻［5］不同的是，當U／t＝4.5時，束縛能Eb也為負值，但從圖1（a）中可以看出系統(tǒng)并沒有出現(xiàn)Mott絕緣態(tài)，這在格點總數(shù)小于22的系統(tǒng)中是沒有的.由此我們可以說文獻［5］的結(jié)論實際上只對較小的晶格系統(tǒng)成立.

通過測試我們發(fā)現(xiàn)，當格點總數(shù)N小于22時，只有在勢阱的中心出現(xiàn)Mott絕緣相時，束縛能Eb才會出現(xiàn)負值，這與采用精確對角化的方法得到的結(jié)果是一致的.一旦格點總數(shù)增大，即使在勢阱的中心沒有出現(xiàn)Mott絕緣相，束縛能Eb也會出現(xiàn)負值.

為了進一步說明束縛能取正負的區(qū)別，我們討論了當系統(tǒng)增加兩個費米子后，粒子數(shù)密度的變化，如圖2（P206）所示.當排斥相互作用比較?。║／t＝2.5）時，由圖2（a）可知增加的兩個費米子使得勢阱中心雙占據(jù)態(tài)出現(xiàn)的次數(shù)變多，所以束縛能Eb為正值.圖2（c）描繪了排斥相互作用比較大（U／t＝5.5）時，費米子密度的變化情況，增加的兩個費米子為了使粒子間的排斥作用變小只是出現(xiàn)在了Mott絕緣態(tài)的兩側(cè)，所以只有在勢阱的邊緣出現(xiàn)了粒子數(shù)密度的波動，所以粒子間的束縛能Eb才會變成負值.這與文獻［5］的結(jié)論一致，但是在圖2（b）中，系統(tǒng)沒有很強的排斥相互作用，勢阱中心也沒有出現(xiàn)Mott絕緣態(tài)，但是增加的兩個費米子也沒有使勢阱中心雙占據(jù)態(tài)增多，反而使勢阱邊緣出現(xiàn)了粒子數(shù)密度的波動，這也使得粒子間的束縛能Eb變成了負值.

圖2 當粒子數(shù)小于半填充時，在不同的排斥相互作用影響下，系統(tǒng)增加兩個費米子前后的密度分布Fig.2 Density profile before and after adding two atoms below the half-filling with different repulsiveinteraction

同時，我們還分析了填充因子與文獻［5］不同時費米子的密度分布以及束縛能Eb與排斥相互作用的關(guān)系.我們發(fā)現(xiàn)，當改變填充因子時（N＝50，n↑＝20，n↓＝20），依然能夠得到與上文相同的結(jié)論.

保持格點總數(shù)和填充因子不變，改變外加磁場，由圖3（a）可知，當外加磁場非常小時（V／t＝1.0），無論粒子間的排斥相互作用如何變化，結(jié)合能Eb都為正值.隨著外加磁場的增加（V／t＝4.0，V／t＝6.0），只有當排斥相互作用大于某一值時（U／t＝3.0，U／t＝4.0），費米子間的結(jié)合能才會出現(xiàn)負值.繼續(xù)增大外加磁場，由圖3（b）可知，對于V／t＝8.0，曲線有1個孤立的極小值，而對于V／t＝9.0，孤立的極小值點有2個，這些極小值點均為負值，表明在該處也存在庫伯對.可以看出，在出現(xiàn)Mott絕緣態(tài)之前Eb出現(xiàn)負值的次數(shù)隨著外勢的增大逐漸變多，并且震蕩也變得更加激烈.經(jīng)過測試，當填充因子發(fā)生變化時，依然能夠得到同樣的結(jié)論.

圖3 外加勢場不同時束縛能Eb隨排斥相互作用U／t的變化Fig.3 Variation of binding energy Ebwith repulsive interaction at different trap potential

由此可知，不僅僅是外加勢場和粒子間的相互作用會對粒子間的庫伯配對與超流產(chǎn)生影響，同時格點總數(shù)的增加也會使得粒子間的束縛能發(fā)生新奇的變化.它們?nèi)咧g的關(guān)系對系統(tǒng)超流性質(zhì)的影響是一個非常值得研究的問題.

3 結(jié)論

我們利用密度重整化群的方法研究了在粒子數(shù)小于半填充的情況下囚禁于光學晶格中的超冷費米氣體的超流特性.外加磁場會使費米子向勢阱中心集中，而排斥作用則會使費米子在光學晶格中均勻分布.我們發(fā)現(xiàn)不同的格點總數(shù)對光學晶格中費米子氣體的超流有很大影響.在格點總數(shù)小于22情況下，只有在系統(tǒng)存在Mott絕緣態(tài)時，粒子間才會出現(xiàn)庫伯對，從而表明超流的存在.但是隨著格點總數(shù)的增加，即使在系統(tǒng)中不存在Mott絕緣態(tài)，粒子間也會出現(xiàn)庫伯對.因此在格點總數(shù)大于22時，當排斥作用滿足某一個特定值時，不論是否存在Mott絕緣態(tài)，系統(tǒng)中都可能會有超流態(tài)的存在.

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