張呈波，張曉旭，宋漢文

(1．同濟大學航空航天與力學學院，上海 200092;2．復旦大學力學與工程科學系，上海 200433)

一類具有非對稱特性的隔振裝置結(jié)構參數(shù)實驗辨識方法

張呈波1，張曉旭2，宋漢文1

(1．同濟大學航空航天與力學學院，上海 200092;2．復旦大學力學與工程科學系，上海 200433)

由于重力或裝配應力等偏置力的影響，隔振元件的工作狀態(tài)將會偏離原始平衡位置，進而產(chǎn)生具有非對稱特性的動力學行為，其具體表現(xiàn)為系統(tǒng)的動態(tài)響應存在剛性漂移現(xiàn)象，且該剛性漂移的大小與外激勵頻率、幅值均存在復雜的關系;其次，由于振動傳感器主要針對動態(tài)信號，對于零頻附近的低頻信號存在靈敏度低、測量誤差大的缺陷。因而，對于系統(tǒng)響應中存在的剛性漂移信號，實驗中往往無法準確測定，甚至可能丟失，這將給系統(tǒng)的動力學參數(shù)標定帶來非常大的影響。本文針對該問題，建立了此類隔振實驗裝置的非對稱動力學模型，并利用較為成熟的諧波平衡原理構造了一種簡單的迭代算法，使其在剛性漂移信息缺失的情況下，仍然能夠有效地辨識得到系統(tǒng)結(jié)構參數(shù)。通過數(shù)值仿真，驗證了該算法的有效性，并將其應用于一款具體的隔振元件動力學參數(shù)辨識工作中。其結(jié)果表明，由該算法辨識得到的結(jié)構參數(shù)與系統(tǒng)真實動力學特性具有較高的吻合度，對于其它具有類似特性的隔振元件的設計及應用具有一定的參考價值。

非線性系統(tǒng);參數(shù)辨識;諧波平衡;非對稱;剛性漂移

Abstract:When the vibration isolator stays in a biased situation induced by gravity，assembly stress etc．，there will be a complex dynamic phenomenon with unsymmetrical characteristic such as rigid drift of the systems's dynamic response．Besides，this kind of drift has intimate relationship with external exciting frequency and its amplitude．On the other hand，the vibration sensors mainly suit for the measurement of dynamic signals．Therefore，there will be some deficiencies like blunt sensitivity and low accuracy in the measurement of nearly constant and slowly varying signals．When these sensors are applied to the experiment of the unsymmetrical systems mentioned above，the rigid drift data will be measured inaccurately or even lost，which can cause great difficulty to the system's parameter identification．According to this problem，a simple iteration algorithm based on the principle of harmonic balance was constructed for the parameter identification of unsymmetrical dynamic systems so that the identification is still efficient in the case of the losing the rigid drift information．As a numerical simulation example，the algorithm has been successfully applied to the parameter identification of a real vibration isolator．The results show that the identified parameters have satisfying coincidence with the experimental ones．

Key words:nonlinear system;parameter identification;harmonic balance;unsymmetrical system;drift

非線性動力系統(tǒng)具有豐富的動力學行為。辨識非線性系統(tǒng)參數(shù)是研究其動力學現(xiàn)象的重要基礎?；趦?yōu)化策略的模糊算法被廣泛應用于非線性系統(tǒng)的參數(shù)辨識工作中，如:遺傳算法［1－2］、神經(jīng)網(wǎng)絡算法［3－6］等。這些算法僅需構造簡單的搜索模式，經(jīng)過有限次的迭代運算，辨識出系統(tǒng)中未知的參數(shù)。不過，這些方法也存在著抗噪能力一般、初值依賴性強的缺點。

基于諧波平衡原理的辨識方法也是參數(shù)辨識的有效方法，這種方法雖然理論推導復雜，但卻能夠直接得出用于參數(shù)辨識的線性代數(shù)方程，并且具有精度高、抗噪能力強的特點。在理論上，該方法發(fā)展出了穩(wěn)態(tài)響應的參數(shù)辨識算法［7－9］、極限環(huán)響應的參數(shù)辨識算法［10］及混沌響應的參數(shù)辨識算法［11－12］。在實驗中，如金屬橡膠［13］等非線性元件的參數(shù)辨識也是根據(jù)諧波平衡原理推導的。該方法的應用已比較成熟可靠。

本文以諧波平衡原理作為參數(shù)辨識的理論基礎，通過振動臺基礎激勵正弦掃描實驗，將其應用到某衛(wèi)星上精密儀器的隔振實驗模型的結(jié)構參數(shù)辨識中。

首先，由于被隔振物體重力、裝配應力等偏置力的影響，隔振元件平衡位置的偏移是不可避免的，這就造成了實驗系統(tǒng)的非對稱性，改變隔振元件動態(tài)下的剛度或阻尼。針對此事實，建立了非線性隔振實驗裝置的非對稱動力學模型。

其次，對于非線性系統(tǒng)，由于系統(tǒng)的非對稱性引起系統(tǒng)的靜平衡位置與動態(tài)平衡位置不再重疊，具體表現(xiàn)為系統(tǒng)位移響應出現(xiàn)剛性漂移，即其位移響應頻譜在零頻處具有隨激勵幅值和激勵頻率變化的非零幅值。而在實驗中，由于常用的位移傳感器不便于確定參考零點，測量范圍有限且精度偏低，既無法準確測得位移響應中存在的剛性漂移信息，也不能獲得高精度的系統(tǒng)響應數(shù)據(jù)。而加速度傳感器能測得高品質(zhì)的系統(tǒng)響應信號，但無法恢復位移響應中的剛性漂移信息。因此，本文在用加速度傳感器測得滿意的響應數(shù)據(jù)的前提下，運用諧波平衡原理構造一種簡單的迭代算法，使其在剛性漂移信息缺失的情況下，仍然能夠有效地辨識得到系統(tǒng)結(jié)構參數(shù)。通過數(shù)值仿真來驗證該算法的有效性，并將其應用于隔振實驗裝置的結(jié)構參數(shù)辨識。

1 理論基礎

1.1 非線性隔振器動力學建模

現(xiàn)有隔振器的建模大多是以冪級數(shù)多項式的形式逼近［13－16］，都能得到較好的辨識效果。本文在不考慮遲滯效應的前提下，以多項式非線性阻尼和多項式非線性剛度來逼近非線性隔振實驗系統(tǒng)。

如圖1所示，非線性隔振系統(tǒng)可假設為一個單自由度的具有非線性剛度及非線性阻尼支承特性的動力學系統(tǒng)。其簡化模型如圖2所示。

圖1 非線性隔振器示意圖Fig．1 Sketch of nonlinear isolator

圖2 非線性隔振器動力學模型Fig．2 The dynamic modal of nonlinear isolator

設質(zhì)量塊位移為x(t)，地基激勵為q(t)，且該系統(tǒng)的阻尼及剛度特性均為立方非線性模式，建立該系統(tǒng)動力學方程為:

式中，f為偏置力。令~x=x－q，則上式可簡化為:

考慮該系統(tǒng)受到重力及裝配應力的影響，則偏置力表現(xiàn)為一個常力，記為f=Fconst。此時，系統(tǒng)的靜平衡位置將發(fā)生偏移，新平衡位置X滿足方程:

從上式可以看出，偏置力引起了剛度項的變化。

進一步，考慮材料本構中可能存在的非對稱特性，

式(3)可進一步修正為:

至此，我們建立了具有非對稱形式的非線性隔振器的動力學模型。

1.2 辨識算法構造

根據(jù)諧波平衡原理，若采用單頻簡諧激勵，即:

其中qs(ω)、qe(ω)分別為對應于頻率ω的正弦及余弦項系數(shù)，則系統(tǒng)(3)在漸進穩(wěn)定的前提下具有周期形式的穩(wěn)態(tài)響應，其傅里葉展開為:

式中:

假設系統(tǒng)的質(zhì)量m已知，待辨識參數(shù)為Ch、Kh，h=1，2，3共六個參數(shù)?？紤]到系統(tǒng)響應中，主諧波占有較高的能量比例，且具有較高的信噪比，因此我們通過(8)式的主諧波形式建立未知參數(shù)的辨識方程。此時n=1，考慮不同的激勵頻率ωr，r=1，2，…，N，可構造出辨識方程:

式中:

由(8)式可寫出未知參數(shù)的辨識結(jié)果為:

2 數(shù)值算例

2.1 誤差分析

通過前文的理論分析，我們構造出了如式(10)所示的非線性參數(shù)的辨識算法。然而在真實實驗中，由于傳感器對定常及較低頻信號的測量存在較大誤差，甚至缺失，因此必須對該算法的有效性進行分析。記由實驗所測或還原得到的位移信號為(t)，對照式(6)，滿足:

因此，系數(shù)矩陣［G］中，位移平方、立方項的主諧波系數(shù)將會被修改。記真實系數(shù)分別為，實驗所得為，兩者具有如下關系:而其余系數(shù)不變。顯然，剛性漂移信息缺失時，辨識誤差全部由系數(shù)矩陣［G］的第5、6列引起。

基于上述分析，本節(jié)主要考察非對稱特性的強弱與動態(tài)平衡位置偏離程度之間的定量關系，以及剛性漂移信息的缺失對辨識精度的影響。

使用如式(4)所示的動力學模型，設置各參數(shù)為:m=2，C1=1．6，C2=－0．1，C3=－0．4，K1=8，K2=－0．6，K3=－4。采用定加速度步進激勵方式，加速度幅值(Acc)分別為0．4、0．5、0．6和0．7。該設定下，系統(tǒng)位移響應及加速度響應的主諧波幅頻曲線為:

考慮到位移響應中，主諧波響應占有主要成分，因此對于剛性漂移幅值的定量考察，我們也以主諧波響應幅值為參考。各激勵幅值、頻率下，剛性漂移幅值與主諧波響應的比例關系如下:

圖3 位移響應的主諧波幅頻曲線Fig．3 The main harmonic amplitude-frequency curve of displacement response

圖4 加速度響應的主諧波幅頻曲線Fig．4 The main harmonic amplitude-frequency curve of acceleration response

圖5 動平衡幅值相對主諧波響應的比率曲線Fig．5 The ratio of dynamic balance’s amplitude to main harmonic response

從圖5可以看出，激勵幅值越強、激勵頻率越接近系統(tǒng)固有頻率，則響應中的非對稱效應越明顯，剛性漂移偏離越厲害。因此可以推測，在剛性漂移信息缺失的情形下，為使非線性參數(shù)的辨識結(jié)果具有更高精度，實驗中應選取遠離固有頻率、小幅值激勵條件下的響應數(shù)據(jù)。

依照上述經(jīng)驗，我們定量考察動平衡信息缺失對辨識精度的影響。選取激勵幅值為0．4、激勵頻率為2．5～3．5 rad/s，此時剛性漂移幅值與主頻響應幅值的比例為0．01～0．005。各非線性參數(shù)的辨識結(jié)果如表1所示:

表1 非線性參數(shù)辨識結(jié)果Tab．1 The results of nonlinear parameters identification

由上表可以看出，盡管非對稱強度極弱，但剛性漂移信息缺失時，動力學系統(tǒng)中平方項系數(shù)的辨識結(jié)果卻有十分顯著的誤差。因此，我們必須對辨識算法(9)進行適當?shù)母倪M。

2.2 算法改進

首先，從表1可以看出，盡管平方項系數(shù)的辨識誤差很大，但系數(shù)正負性質(zhì)的判斷是正確的。其次，由圖5可見，在遠離共振頻率時，剛性漂移幅值與主諧波幅值的比率不明顯依賴于頻率及激勵幅值。因此，我們可以結(jié)合首次辨識的結(jié)果和主諧波幅值，構造迭代算法，使得動力學系統(tǒng)中平方項系數(shù)的辨識結(jié)果收斂至足夠的精度。具體迭代過程如下:

步驟1:記主諧波幅值為

式中:A為修正倍率。將其作為真實位移的近似恢復，用于第一次迭代參數(shù)辨識。

步驟2:將前一次辨識得到的結(jié)構參數(shù)代入(4)式進行數(shù)值計算，求得相應激勵頻率下的剛性漂移信息0(ω)，令，作為真實位移的近似恢復，用于進一步的迭代參數(shù)辨識。

步驟3:重復步驟2，直至辨識結(jié)果收斂到足夠的精度。

按照上述迭代步驟，令修正倍率A為0．01，對表1所得結(jié)果進行迭代計算。迭代辨識結(jié)果如下:

表2 迭代辨識結(jié)果Tab．2 Identified results

由上表可以看出，該迭代算法具有較快的收斂速度，其不足之處在于平方項系數(shù)C2，K2辨識結(jié)果的相容性稍有欠缺，即不能完全收斂至預設值。對比表1還可看出，迭代算法可使辨識精度大幅提高，其辨識最大相對誤差已從534．45%降至12．8%，基本滿足實驗辨識的要求。

3 實驗分析

通過數(shù)值分析，本文已經(jīng)驗證了基于諧波平衡原理的非線性參數(shù)辨識算法的可靠性。因此，我們將該辨識算法應用于非線性隔振裝置非線性參數(shù)的實驗辨識，其實驗裝置如圖。

圖6 隔振器實驗裝置Fig．6 Experimental device of isolator

該隔振系統(tǒng)被隔振件的質(zhì)量為m=1．86 kg。實驗裝置通過基座固定在垂直振動臺上，采取步進恒加速度正弦激勵的方式，加速度幅值為0．4 g，采樣頻率1 024 Hz，穩(wěn)態(tài)響應采樣時長80 s，采集基座及被隔振件的穩(wěn)態(tài)加速度響應。

通過傅里葉變換可得該系統(tǒng)加速度響應的主諧波幅頻曲線，如下圖。

圖7 實測加速度響應幅頻曲線Fig．7 Experimental amplitude-frequency curve of acceleration response

按照數(shù)值算例的經(jīng)驗，經(jīng)過40次迭代運算，得到各參數(shù)辨識結(jié)果為:

為更形象地對比辨識結(jié)果，將上表所得參數(shù)代入方程(4)進行數(shù)值仿真，所得位移響應主諧波頻響與實測位移頻響的對比圖如下。

根據(jù)辨識得到的結(jié)構參數(shù)，可得隔振器的載荷－位移曲線。

圖8 位移幅頻曲線對比Fig．8 Comparison of displacement’s amplitude-frequency curve

圖9 隔振器載荷－位移曲線Fig．9 Force-displacement curve of the isolator

至此，本文基本完成了非線性隔振裝置各結(jié)構參數(shù)的辨識工作。通過圖8可以驗證，本文辨識所得的各結(jié)構參數(shù)具有較高的精度。從圖9可以看出該實驗裝置具有的非對稱特性。

4 結(jié)論

本文針對一類特定的非線性隔振實驗裝置，考慮偏置力(如重力等)對實驗系統(tǒng)的作用，建立了其非對稱動力學模型，使得模型更加準確的描述了系統(tǒng)真實的動態(tài)特性。

利用諧波平衡原理，構造了系統(tǒng)動力學參數(shù)的迭代辨識算法，并通過數(shù)值仿真，驗證了辨識方法的有效性。解決了由于位移響應的剛性漂移信息的不準確或缺失對辨識精度的不良影響。

通過辨識所得到的結(jié)果與實驗結(jié)果的對比，可以看出，此辨識算法對于具有非對稱性特性的非線性實驗系統(tǒng)的參數(shù)辨識，有較高的辨識精度，也證明了本文針對非對稱性所建立的模型的合理性。并為此類隔振實驗裝置的結(jié)構參數(shù)辨識提供參考。

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Experimental identification method for the nonlinear vibration isolator with unsymmetrical dynamic characteristics

ZHANG Cheng-bo1，ZHANG Xiao-xu2，SONG Han-wen1
(1．School of Aerospace Engineering and Applied Mechanics，Tongji University，Shanghai 200092，China;2．Department of Mechanics and Engineering Science，F(xiàn)udan University，Shanghai 200433，China)

O322;TB123

A

國家自然科學基金(11032009)

2011－11－10修改稿收到日期:2012－01－05

張呈波男，碩士，1987年生

宋漢文男，博士，教授，1962年11月生