“巧去根號(hào)”求解不定積分

王會(huì)平

[摘要]本文通過(guò)一題多解舉例說(shuō)明如何 “巧去根號(hào)”求解不定積分。

[關(guān)鍵字]不定積分 去根號(hào) 三角代換 變量代換

在求解被積函數(shù)表達(dá)式中含有根號(hào)的不定積分時(shí)，通常想辦法去根號(hào)。一般去根號(hào)的方法有湊微分法、三角代換法、到代換法、取最小公倍數(shù)法，例如被積函數(shù)中同時(shí)出現(xiàn) ，通常取 ，如果被積函數(shù)中只出現(xiàn)一個(gè)根號(hào)，例如 便可去掉根號(hào)。但是，對(duì)于求解不定積分時(shí)經(jīng)常碰到的一類例題，除了可以用上述方法“去根號(hào)”求解外，還有一種特殊的簡(jiǎn)便的“去根號(hào)”方法卻不容易令人想到，例如下面的例題：

例 求解不定積分

解法1 注意到這里 因此，令

【注意】只要屬于此類型的不定積分，計(jì)算時(shí)均可采用上述方法，該方法簡(jiǎn)潔，能夠快速計(jì)算出結(jié)果。另外，本題還可用湊微分法，三角代換法，根號(hào)整體變量代換法“去根號(hào)”求解。

解法2 （湊微分法）

解法3 （三角代換法）

本題還可以令 進(jìn)行變量代換求解，但是對(duì)于本題而言計(jì)算有些麻煩，可以讓學(xué)生動(dòng)手去試試，讓其與比較上述方法進(jìn)行比較，此題選擇什么方法“去根號(hào)”求解更簡(jiǎn)單方便。此題更適合選擇上述三種方法。

在計(jì)算帶根號(hào)的不定積分時(shí)，首先考慮“去根號(hào)”，如何簡(jiǎn)單、快速地“去根號(hào)”求解出不定積分，是不定積分教學(xué)的重點(diǎn)和難點(diǎn)。在教學(xué)中，教師可著重選擇幾道典型例題，通過(guò)一題多解的形式比較“去根號(hào)”法的適宜性，這樣有利于發(fā)散學(xué)生思維，能夠讓學(xué)生領(lǐng)悟到不同的題目應(yīng)怎樣選擇適宜的“去根號(hào)”方法，從而使得學(xué)生能夠熟練計(jì)算各種類型的不定積分，為學(xué)習(xí)后續(xù)知識(shí)奠定堅(jiān)實(shí)的基礎(chǔ)。

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（作得單位：昆山花橋商務(wù)城中專 江蘇昆山）