孫彩賢 胡嘉卉

[摘要]常微分方程的平衡點及穩(wěn)定性在現(xiàn)實中的應(yīng)用非常廣泛，但是如何正確使用這個理論來解決實際問題是有一定難度的.本文主要探索的是穩(wěn)定性理論服務(wù)于軍事方面的應(yīng)用問題，通過具體實例的分析，展示穩(wěn)定性理論的實用性.

[關(guān)鍵詞]常微分方程 穩(wěn)定性理論 應(yīng)用數(shù)學(xué)模型

引言

在數(shù)學(xué)學(xué)科中，穩(wěn)定性理論是常微分方程中重要的組成部分，一個系統(tǒng)的干擾性因素總是不可避免的，因此穩(wěn)定性的研究有很重要的理論意義和實用價值，這也是穩(wěn)定性理論蓬勃發(fā)展的原因.平衡點的穩(wěn)定性特征一般由lyapunov理論確定，lyapunov（李雅普諾夫）是俄國的數(shù)學(xué)家和工程師，他建立了穩(wěn)定性的基礎(chǔ)理論，本文主要討論穩(wěn)定性在軍事方面的應(yīng)用.

一、穩(wěn)定性理論在軍事方面的應(yīng)用

兩個國家或國家集團之間由于相互不信任和各種矛盾的存在、發(fā)展而不斷增加自己的軍事力量，防御對方可能發(fā)動的戰(zhàn)爭.現(xiàn)在討論L. F. Richardson1939年提出的一個模型.

為了方便起見，用軍備表示軍事力量的總和，如兵力、裝備、軍事預(yù)算等.甲乙雙方在時刻t的軍備分別記作x（t）和y（t），假設(shè)它們的變化只取決于下面3個因素：

1.由于相互不信任及矛盾的發(fā)展，一方軍備越大，另一方軍備增加得越快；

2.由于各方本身經(jīng)濟實力的限制，任一方軍備越大，對軍備增長的制約作用越大；

3.由于相互敵視或領(lǐng)土爭端，每一方都存在著增加軍備的固有潛力.

進一步假定前兩個因素的影響是線性的，第3個因素的影響是常數(shù)，那么x（t）和y（t）的變化過程可用微分方程組

（1）

表示，其中的系數(shù)均大于或等于零.k，l是對方軍備刺激程度的度量；a，β是己方經(jīng)濟實力制約程度的度量；g，h是己方軍備競賽的固有潛力.

如果我們感興趣的是軍備競賽的結(jié)局由什么因素決定，而不關(guān)心競賽的過程，那么只需用微分方程穩(wěn)定性理論討論時間充分長以后x（t），y（t）的變化趨勢，即方程（1）的平衡點的穩(wěn)定情況.

令（1）式右端等于零，容易算出平衡點

為

（2）

方程（1）的系數(shù)矩陣為

于是按照判斷平衡點穩(wěn)定性的方法計算

（3）

（4）

由穩(wěn)定性準(zhǔn)則，當(dāng)

（5）

時，平衡點（x0，y0）是穩(wěn)定的； 反之，是不穩(wěn)定的.

這就是說，在（5）式的條件下，時間足夠長以后雙方的軍備將分別趨向一個有限值，軍備競賽是穩(wěn)定的.

模型的定性解釋

根據(jù)方程（1）和平衡點穩(wěn)定性的分析，可以解釋幾個簡單而又重要的現(xiàn)象.

1.條件（5）表明，當(dāng)雙方的經(jīng)濟制約程度βα大于雙方的軍備刺激程度kb時，軍備競賽才會趨向穩(wěn)定.反之，（x（t），y（t））將趨向無窮，競賽無限地進行下去，可能導(dǎo)致戰(zhàn)爭.

2.由（2）式，如果g=h=o，則x0=0，y0=0是方程（1）的平衡點，并且在條件（5）下它是穩(wěn)定的.于是如果在某個時候t0有x（t0）=y（t0）=0，x，y就永遠保持為零.這種情況可以解釋為雙方不存在任何敵視和爭端，通過裁軍可以達到持久和平.兩個友好的鄰國正是這樣.

3.如果g，h≠0即使由于某種原因（如裁軍協(xié)定）在某個時候雙方軍備大減，不妨設(shè)x（t0）=y（t0）=0，那么因為x`=g，y`=h也將使雙方重整軍備.這說明未經(jīng)和解的裁軍（即不消除敵視或領(lǐng)土爭端）是不會持久的.

4.如果由于某種原因（如戰(zhàn)敗或協(xié)議）在某個時候一方的軍備大減，不妨設(shè)x（t0）=0，那么因為x`=ky+g也將使該方重整軍備.這說明存在不信任（k≠0）或固有爭端（g≠0）的單方面裁軍也不會持久.

模型參數(shù)的估計

為了利用（5）式判斷軍備競賽是否會趨于穩(wěn)定，需要估計α，β，k，l的數(shù)值.，下面提出的一種方法.

1.k，l估計

設(shè)x（0）=0，當(dāng)t較小時，忽略g和-αx的作用，并近似地假定y=y1不變，由方程（1）得

x`=ky1（x→ky1t） （6）

如果當(dāng)t=τ時x=y1，則由（6）式得到

k-1=τ （7）

這說明k-1是甲方軍備從0到趕上乙方軍備y1所需的時間.

例如德國從1933年開始重整軍備，只用了約3年的時間就趕上了它的鄰國.假設(shè)它增加軍備的固有潛力g被制約效應(yīng)ax所抵消，那么可以認為德國的k-1

≈3年，即k≈0.3.

l可以類似地估計，或者合理地假定它與國家的經(jīng)濟實力成正比.這樣若乙國的經(jīng)濟實力是德國的2倍，則可以估計l≈0.6.

2.α，β的估計

設(shè)g=0，y=0，由方程（1）可得

x（t）=x（0）e-at

以t=a-1代人算出

這表示a-1是在乙方無軍備時甲方軍備減少到原來的1/e所需的時間.當(dāng)t=5時，a≈0.2.

二、結(jié)束語

本文主要研究了常微分方程的平衡點穩(wěn)定性問題，常微分方程的平衡點及穩(wěn)定性在實際生活中的應(yīng)用十分廣泛，通過本文的討論，加深了數(shù)學(xué)在實際中應(yīng)用的認識，對加強利用常微分方程的平衡點及穩(wěn)定性知識解決實際問題的能力有一定的參考和指導(dǎo)意義.

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（作者單位：河南工業(yè)大學(xué)理學(xué)院 河南鄭州）