找規(guī)律巧解代數(shù)題

耿虎子

[摘要]本篇論文主要論述了有關(guān)分?jǐn)?shù)串求和計(jì)算的方法及我國古代經(jīng)典數(shù)學(xué)問題九宮圖的解法。通過列舉典型例題，把通常用的解法和自己的解法進(jìn)行比較，突出了新解法的優(yōu)點(diǎn)。但并非只停留在個(gè)別例題的求解上，而是在個(gè)別例題的基礎(chǔ)上進(jìn)一步總結(jié)出這類題的解法。挖掘問題的深度，使讀者觸類旁通，獲得一定裨益。

對(duì)于一些代數(shù)問題，數(shù)字的排列組合似有一定的規(guī)律可循，若真要做起來，急切之間，卻又無法下手。但并非羚羊掛角，無跡可求。若肯下功夫，仔細(xì)研究數(shù)與數(shù)之間的關(guān)系，定能找出數(shù)字的迷宮的金鑰匙，使問題迎刃而解，而樂亦在其中。請(qǐng)看下面的問題：

例1：計(jì)算：

（一）奧數(shù)解法：

分析：上中的分母都是兩個(gè)因數(shù)的積，每一項(xiàng)的第二個(gè)因數(shù)都是后一項(xiàng)的第一個(gè)因數(shù)。又因?yàn)椋?/p>

。所以，在拆項(xiàng)時(shí)需要分別乘以 以便使它們等于原式中的各個(gè)分?jǐn)?shù)

（二）自己的解法：

分析：上式中的各分母都是兩個(gè)連續(xù)奇數(shù)積，公差是2，因此，這個(gè)分?jǐn)?shù)串就可以拆項(xiàng)相消法求和。因?yàn)椋?/p>

這種方法是用分母中的兩個(gè)因數(shù)分別做分?jǐn)?shù)的分母，把分母中的第二個(gè)較大的因數(shù)拆成兩個(gè)連續(xù)整數(shù)。（如5拆成2和3，7拆成3和4，9拆成4和5，11拆成5和6等），分別做兩個(gè)分?jǐn)?shù)的分子，形成兩個(gè)分?jǐn)?shù)差，以便使它們分別等于原式中的各個(gè)分?jǐn)?shù)，從而通過相消使計(jì)算簡便。

例2：把自然數(shù)1，2，3，4，5，6，7，8，9分別填入右圖的方格內(nèi)，使每一橫行，每一豎行，每一斜行的三個(gè)數(shù)的和都相等。

（一）奧數(shù)解法：

這是古代有名的九宮圖問題，先計(jì)算它們的和是多少？（1+2+3+4+5+6+7+8+9=45）再給和處以3。即（1+2+3+4+5+6+7+8+9）÷3=15，這樣就可以把和胃15的各種可能列舉出來：

8，3，4；1，5，9；6，7，8；8，1，6；3，5，7；4，9，2；8，5，2；4，5，6。觀察到只有5在四個(gè)組里都有，其他字碼每個(gè)都用三次，所以把5天災(zāi)中央方格內(nèi)，經(jīng)過估算填入右圖所示：

（二）自己的解法：

分析：這類題目在小學(xué)、初中教材里都有一定的訓(xùn)練題，雖然難度較大，但做起來里面含有一定的規(guī)律和技巧。這類題目要先把這九個(gè)連續(xù)整數(shù)按從小到大排列：1，2，3，4，5，6，7，8，9，然后依次為第一，第二，第三，第四，第五，第六，第七，第八，第九并按照下面左圖的方格里的提示填成右圖。

觀察上面方格里的數(shù)，容易看出中央格內(nèi)的5是這幾個(gè)數(shù)中間的一個(gè)，并且斜行里的4，5，6這三個(gè)數(shù)是連續(xù)整數(shù)，其他各數(shù)的排列也容易識(shí)記它們的特點(diǎn)。并且此法不僅限于連續(xù)整數(shù)、連續(xù)偶數(shù)、連續(xù)奇數(shù)也適用此法。同時(shí)在此填法的基礎(chǔ)上，把第一橫行和第三橫行的數(shù)對(duì)應(yīng)調(diào)換，也可以把第一豎行和第三豎行的三個(gè)數(shù)對(duì)應(yīng)調(diào)換。舉例如下：

（作者單位：陜西省商洛市商州區(qū)中學(xué)西校區(qū)）