離散數(shù)學(xué)中命題公式與集合公式的教學(xué)與實(shí)踐

陳思寶

（安徽大學(xué) 計(jì)算機(jī)科學(xué)與技術(shù)學(xué)院，安徽 合肥 230601）

1 引言

離散數(shù)學(xué)［1］是一個(gè)非常有用的數(shù)學(xué)工具，它對(duì)計(jì)算機(jī)科學(xué)的發(fā)展起著重要作用。通過這門課程的學(xué)習(xí)，可以培養(yǎng)學(xué)生的抽象思維和邏輯推理的能力，并使他們掌握處理離散數(shù)據(jù)結(jié)構(gòu)所必需的描述工具和手段［2］。然而，離散數(shù)學(xué)課程具有概念多、內(nèi)容廣、難度深等特點(diǎn)，采用傳統(tǒng)的教學(xué)方式必然效果不佳，為此，筆者嘗試調(diào)動(dòng)學(xué)生的積極性，讓學(xué)生深入?yún)⑴c到離散數(shù)學(xué)的課程教學(xué)中去，進(jìn)行參與式教學(xué)和主動(dòng)式教學(xué)。

數(shù)理邏輯中命題公式的演算是離散數(shù)學(xué)的重要內(nèi)容之一，同時(shí)也是一個(gè)難點(diǎn)內(nèi)容，其重點(diǎn)在于命題公式的演算過程有著嚴(yán)謹(jǐn)?shù)倪壿嬐评恚?］［4］。通過命題公式的真值表可以引導(dǎo)學(xué)生發(fā)現(xiàn)命題公式的本質(zhì)，而冗長且繁瑣的命題公式真值表的計(jì)算過程又阻礙了學(xué)生快速理解命題公式所具有的特性。為此，筆者設(shè)計(jì)了一個(gè)任意輸入的命題公式的快速求真值表系統(tǒng)，以幫助學(xué)生繞開繁瑣的命題公式真值表的計(jì)算，直接從自動(dòng)求出的真值表上發(fā)現(xiàn)命題公式所具有的性質(zhì)。

命題公式的演算中證明命題公式之間的永真蘊(yùn)含關(guān)系是最為核心的內(nèi)容。筆者引導(dǎo)學(xué)生從不同角度分析存在永真蘊(yùn)含關(guān)系的命題公式所具有的特性，從而讓學(xué)生總結(jié)出命題公式永真蘊(yùn)含的多種證明方法。

針對(duì)于學(xué)生對(duì)集合公式的演算有一定的基礎(chǔ)，重點(diǎn)引導(dǎo)學(xué)生發(fā)現(xiàn)集合公式演算與命題公式演算中的一致性與對(duì)應(yīng)關(guān)系，并分析集合公式文氏圖中每一小區(qū)塊的特性，得出集合公式的主范式表示方法以及集合公式演算的一般方法。

2 嘗試新的教學(xué)模式

過去“填鴨式”的教學(xué)方式以教師的教為主，忽略了學(xué)生的學(xué)習(xí)積極性與主動(dòng)性，教學(xué)效果并不理想。為此，筆者嘗試充分調(diào)動(dòng)學(xué)生的積極性與主動(dòng)性，大膽嘗試新的教學(xué)模式，讓學(xué)生參與到教學(xué)中去，進(jìn)行參與式教學(xué)和主動(dòng)式教學(xué)［5］。這是對(duì)過去“填鴨式”的教學(xué)方式的徹底顛覆，具有教學(xué)改革里程碑的意義。

2.1 參與式教學(xué)

參與式教學(xué)就是指教師和學(xué)生們共同營造一種和諧、平等、民主、并且熱烈的教學(xué)氛圍，讓不同層次的學(xué)生都擁有參與和發(fā)展機(jī)會(huì)的一種有效的學(xué)習(xí)方式，是一種合作式或協(xié)作式的教學(xué)法。這種教學(xué)方法以學(xué)生為中心，充分運(yùn)用靈活多樣、直觀形象的教學(xué)手段，鼓勵(lì)學(xué)生積極參與教學(xué)過程，成為其中的積極成分，加強(qiáng)教師與學(xué)生之間的信息交流和反饋，使學(xué)生能深刻地領(lǐng)會(huì)和掌握所學(xué)的知識(shí)，并能將這種知識(shí)運(yùn)用到實(shí)踐中去。參與式教學(xué)根據(jù)學(xué)生的實(shí)際需要和愿望，以主體性為內(nèi)核，以自覺性、選擇性為特征。教學(xué)過程中，教師誠心誠意地把學(xué)生當(dāng)作學(xué)習(xí)的主人，使他們切實(shí)感受到成為學(xué)習(xí)主人的真正樂趣和與老師、同學(xué)們共同探求知識(shí)的幸福。

2.2 主動(dòng)式教學(xué)

主動(dòng)式教學(xué)是在教師對(duì)全程教學(xué)內(nèi)容框架熟練把握與掌控的前提下，給予學(xué)生主動(dòng)參與教學(xué)的機(jī)會(huì)。具體而言，主動(dòng)式教學(xué)模式下的教學(xué)任務(wù)是通過團(tuán)隊(duì)分工協(xié)作，搜集分析整理材料，編寫授課文檔和制作教學(xué)課件，參與課堂授課、自由問答和討論來完成。主動(dòng)式教學(xué)模式把獲取知識(shí)本身的思考過程還給學(xué)生，而不是不經(jīng)過思考直接從老師的口中得到現(xiàn)成的答案；給予學(xué)生大膽發(fā)表不同的見解提供平臺(tái)和環(huán)境，鍛煉學(xué)生的學(xué)習(xí)能力、表達(dá)能力，組織協(xié)調(diào)能力、現(xiàn)場應(yīng)變能力等，激發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣，培養(yǎng)學(xué)生的創(chuàng)新能力，在提高學(xué)生的綜合素質(zhì)的同時(shí)，可以讓學(xué)生對(duì)所學(xué)的知識(shí)理解得更加深刻，并掌握得更加牢固。

3 命題公式自動(dòng)求解真值表

命題公式的演算是數(shù)理邏輯中最為重要的內(nèi)容，也是離散數(shù)學(xué)課程中最初就需要掌握的關(guān)鍵知識(shí)。命題演算中命題公式的歸納定義為：

（1）單個(gè)命題變?cè)?、命題常元（永真T、永假F）是命題公式；

（2）如果A是命題公式，那么?A是命題公式；

（3）如果A和B是命題公式，那么（A∧B）、（A∨B）、（A→B）和（A?B）都是命題公式；

（4）當(dāng)且僅當(dāng)能夠有限次地應(yīng)用（1）、（2）、（3）所得到的包含命題變?cè)?、?lián)結(jié)詞和括號(hào)的字符串是命題公式。

命題公式演算的基礎(chǔ)實(shí)際上就是命題公式的真值表。當(dāng)命題公式給定，其真值表也唯一確定，該命題公式的所有性質(zhì)完全可以從其真值表上得到。為了便于學(xué)生們對(duì)命題公式真值表的理解，并熟悉由真值表判斷命題公式所具有的特性，筆者設(shè)計(jì)出了自動(dòng)求解任意命題公式真值表的小系統(tǒng)。圖1和圖2分別顯示了命題公式的輸入窗口和真值表的輸出界面。學(xué)生們借助該系統(tǒng)，可以驗(yàn)證自己筆算的命題公式真值表是否完全正確，并可以借助自動(dòng)生成的真值表，省去了大量的計(jì)算工作，可以快速地判斷所輸入的命題公式所具有的性質(zhì)。

圖1 命題公式輸入界面

圖2 命題公式真值表輸出界面

4 命題公式永真蘊(yùn)含的多種證明方法

命題公式的演算中最為核心的內(nèi)容就是證明命題公式之間的永真蘊(yùn)含。命題公式A永真蘊(yùn)含命題公式B（A?B）定義為：它們用蘊(yùn)含詞連接成的復(fù)合命題“A→B”為永真式。為了讓學(xué)生們深刻理解命題公式之間的永真蘊(yùn)含關(guān)系，筆者引導(dǎo)學(xué)生們從多種不同角度分析存在永真蘊(yùn)含關(guān)系的命題公式之間所具有的特性，從而得出命題公式永真蘊(yùn)含關(guān)系的多種證明方法。例如：

（1）真值表法：直接根據(jù)永真蘊(yùn)含的定義，計(jì)算復(fù)合命題“A→B”的真值表，看其真值在每種真值指派下是否全部為1；

（2）“左真推右真”法：根據(jù)蘊(yùn)含詞的特性，若蘊(yùn)含詞左邊為假，則蘊(yùn)含詞為真，無需證明。因此，如果能夠證明當(dāng)蘊(yùn)含詞左邊為真時(shí)，能夠推出蘊(yùn)含詞的右邊也為真，則可得出整個(gè)蘊(yùn)含詞為永真式；

（3）“右假推左假”法：根據(jù)蘊(yùn)含詞的特性，若蘊(yùn)含詞右邊為真，則蘊(yùn)含詞為真，無需證明。因此，如果能夠證明當(dāng)蘊(yùn)含詞右邊為假時(shí)，能夠推出蘊(yùn)含詞的左邊也為假，則可得出整個(gè)蘊(yùn)含詞為永真式；

（4）對(duì)偶原理：根據(jù)對(duì)偶原理：命題公式A和B的永真蘊(yùn)含（A?B）等價(jià)于它們的對(duì)偶公式A＊和B＊的反方向永真蘊(yùn)含（B＊?A＊）。因此，如果能夠證明B＊?A＊，則根據(jù)對(duì)偶原理直接得到A?B；

（5）主析取范式法：由于每個(gè)命題公式都唯一地等價(jià)于某個(gè)特定的主析取范式，而主析取范式由若干個(gè)極小項(xiàng)的析取式組成，每一個(gè)極小項(xiàng)在真值表的唯一一行真值是1，其它行都為0，因此，若命題公式A和B的主析取范式中極小項(xiàng)的下標(biāo)集合idx（A）和idx（B）存在被包含關(guān)系idx（A）?idx（B），則即可得證復(fù)合命題“A→B”的真值表恒為1，即有A?B。

5 集合公式的主范式

其實(shí)，學(xué)生們對(duì)集合的概念非常熟悉，在離散數(shù)學(xué)課程教學(xué)中，不應(yīng)停留在學(xué)生們已經(jīng)掌握的集合概念上。學(xué)生們已經(jīng)知道集合是指若干個(gè)具有某種共同屬性的元素組成的整體，筆者在引導(dǎo)學(xué)生們回顧集合概念的同時(shí)，重點(diǎn)闡明集合將全總個(gè)體域一分為二，一部分元素在集合內(nèi)部，而其余元素都在集合外部。并引導(dǎo)學(xué)生們發(fā)現(xiàn)集合公式的各種運(yùn)算（補(bǔ)、交、并、被包含于、相等）與各種命題連接詞（否定、合取、析取、蘊(yùn)含、等值）之間性質(zhì)上面的相似性。

在學(xué)生們理解了集合公式的五種運(yùn)算與五種命題連接詞的對(duì)應(yīng)關(guān)系后，引導(dǎo)學(xué)生們可以利用命題公式的演算方法進(jìn)行集合公式的演算。例如：證明集合公式A和B的被包含關(guān)系（A?B）可以借鑒前面的命題公式的永真蘊(yùn)含的證明方法。

在講解集合公式的文氏圖表示方法時(shí)，由于學(xué)生們已經(jīng)比較熟悉文氏圖了，因此重點(diǎn)闡述文氏圖中每一小塊的含義。事實(shí)上，文氏圖中每一個(gè)集合所表示的圓將已有的所有區(qū)塊一分為二，n個(gè)集合的文氏圖中共有2n個(gè)小塊區(qū)域，每一小塊區(qū)域?qū)?yīng)著所有集合（或集合的補(bǔ)）的某一種交。因此，筆者在教學(xué)的時(shí)候，引導(dǎo)學(xué)生們把文氏圖的小塊區(qū)域同命題公式的極小項(xiàng)聯(lián)系起來，每個(gè)小區(qū)塊對(duì)應(yīng)著集合公式的某一個(gè)“極小項(xiàng)”，任何一個(gè)集合公式都可唯一地等于若干個(gè)這種“極小項(xiàng)”的并，即集合公式的主范式。由此可以借助集合公式的主范式來進(jìn)行集合公式的演算。例如：證明復(fù)雜的兩個(gè)集合公式A和B相等可以轉(zhuǎn)化為求A和B的主范式是否相同。證明復(fù)雜的兩個(gè)集合公式A和B的被包含關(guān)系（A?B）可以轉(zhuǎn)化為求解A和B主范式中“極小項(xiàng)”的下標(biāo)集合idx（A）和idx（B）是否存在被包含關(guān)系idx（A）?idx（B）。

6 結(jié)語

筆者通過嘗試新的參與式與主動(dòng)式教學(xué)模式，讓學(xué)生積極地參與到離散數(shù)學(xué)的教學(xué)中。通過自動(dòng)求解命題公式真值表系統(tǒng)讓學(xué)生可以避開繁瑣的計(jì)算，快速地發(fā)現(xiàn)命題公式所具有的特性。引導(dǎo)學(xué)生從多個(gè)不同角度發(fā)現(xiàn)存在永真蘊(yùn)含關(guān)系的命題公式之間的特性，并總結(jié)出命題公式永真蘊(yùn)含的多種證明方法。引導(dǎo)學(xué)生發(fā)現(xiàn)集合公式演算與命題公式演算中的一致性與對(duì)應(yīng)關(guān)系，并得出集合公式的主范式與一般求解方法。在離散數(shù)學(xué)的教學(xué)中，引入多種教學(xué)方式與自動(dòng)求解真值表系統(tǒng)等輔助教學(xué)工具，激發(fā)了學(xué)生的興趣，凝聚了學(xué)生的注意力，學(xué)生可以從中獲得具體生動(dòng)的印象，使學(xué)生更易于理解和掌握其中的理論知識(shí)和方法，極大地提高了教學(xué)效率。

［1］方世昌.離散數(shù)學(xué)［M］.西安：西安電子科技大學(xué)出版社，2009.

［2］顧華.離散數(shù)學(xué)課程中研究性教學(xué)的探索與實(shí)踐［J］.高教論壇，2012（7）：25－28.

［3］趙佳，劉吉強(qiáng).離散數(shù)學(xué)中的數(shù)理邏輯與集合論教學(xué)［J］.計(jì)算機(jī)教育，2012（3）：91－93.

［4］楊海蓉.大學(xué)數(shù)學(xué)課程中等價(jià)關(guān)系的教與學(xué)［J］.合肥師范學(xué)院學(xué)報(bào)，2011，29（3）：18－21.

［5］徐德智，施榮華，彭軍.基于主動(dòng)學(xué)習(xí)的“離散數(shù)學(xué)”課堂教學(xué)［J］.計(jì)算機(jī)教育，2012（6）：51－53.