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      《離散數(shù)學(xué)》中二元關(guān)系傳遞性的判定

      2020-05-11 05:54:15張振榮
      科教導(dǎo)刊·電子版 2020年2期
      關(guān)鍵詞:真值表傳遞性離散數(shù)學(xué)

      張振榮

      摘 要 《離散數(shù)學(xué)》中二元關(guān)系性質(zhì)中傳遞性的判定是教學(xué)難點(diǎn),本文列出傳遞性的真值表,利用真值表判斷傳遞性直觀有效,只有一種情形不滿足傳遞性,其余情形都滿足傳遞性。

      關(guān)鍵詞 《離散數(shù)學(xué)》 二元關(guān)系

      0引言

      在《離散數(shù)學(xué)中》,二元關(guān)系的性質(zhì)包括自反性、反自反性、對(duì)稱性、反對(duì)稱性和傳遞性。其中前四個(gè)性質(zhì)可以由定義和關(guān)系圖直觀地表達(dá),但是否滿足傳遞性僅從定義很難觀察出來。二元關(guān)系傳遞性的定義如下:

      如果從定義來看,只能發(fā)現(xiàn)一種情形是滿足傳遞性的,即如,,,是傳遞的,但是,怎么用定義來判斷是否滿足傳遞性呢?

      1利用真值表判斷傳遞性

      我們不妨用真值表來分析這個(gè)定義,列出真值表如下:

      真值表的第一種情形是我們熟悉的,從定義直接能判斷出來的。比如,為真,為真,為真,則滿足傳遞性。

      從真值表判斷,第二種情形真值為假,即不滿足傳遞性。比如,沒有出現(xiàn)有序?qū)?,則為真,為真,為假,由真值表知,這是不滿足傳遞性的。

      第三種情形和第五種情形看似不傳遞,但滿足傳遞性的定義。如,為真,為假,為真,由真值表知,這是滿足傳遞性的。再如,為假,為真,為真,滿足定義,是傳遞的。

      第四種、第六種、第七種情形都是包含一個(gè)有序?qū)Φ?,滿足傳遞性,以第四種情形為例,,為真,為假,為假,最后真值為真,故是傳遞的。

      第八種情形是空關(guān)系,雖然沒有有序?qū)?,但是真值為真,故滿足傳遞性。

      定義理解清楚后,是不是所有的二元關(guān)系都很容易判斷了呢?在二元關(guān)系中,包含很多組有序?qū)?,如果有一組有序?qū)Σ粷M足傳遞的定義,但其他組都滿足傳遞的定義,那這個(gè)二元關(guān)系仍然是不傳遞的,比如分三組有序?qū)紤]:(1)為真,為真,為真,則滿足傳遞性;(2)為真,為真,但為假,故不傳遞;(3)為真,為真,但為假,故不傳遞;因?yàn)椋?)(3)不傳遞,故不滿足傳遞性。

      如果定義中的有兩個(gè)或三個(gè)相等,那么它仍然符合傳遞性的定義。如,將有序?qū)Ψ譃槿M考慮:(1)有序?qū)?,?)有序?qū)?,?)有序?qū)ΓM都滿足傳遞性的定義,故是傳遞的。

      2總結(jié)

      綜上所述,根據(jù)傳遞性的定義判斷二元關(guān)系是否具有傳遞性容易出錯(cuò),而結(jié)合定義的真值表發(fā)現(xiàn),只要二元關(guān)系中包含第二種情形,則就不是傳遞的,其余情形都是傳遞的。

      參考文獻(xiàn)

      [1] 屈婉玲.離散數(shù)學(xué)(第3版)[M].北京:清華大學(xué)出版社,2014.

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