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      運(yùn)用“變異理論”引導(dǎo)學(xué)生全面理解圓柱和圓錐的關(guān)系

      2013-12-29 00:00:00張國(guó)紅
      中國(guó)教師 2013年20期

      針對(duì)“圓柱和圓錐”這一內(nèi)容,通常的教學(xué)順序是:首先通過(guò)圖形的旋轉(zhuǎn)引入表象的圓柱和圓錐,然后借助正方體、長(zhǎng)方體的表面積和體積的計(jì)算公式,推導(dǎo)出圓柱的表面積和體積的計(jì)算公式,最后利用圓柱的體積是圓錐體積的3倍這一關(guān)系,推導(dǎo)出圓錐的體積公式。

      從教學(xué)結(jié)果來(lái)看,有兩點(diǎn)值得注意:一是學(xué)生對(duì)圓柱和圓錐的特征、圓柱和圓錐體積的計(jì)算方法以及圓柱表面積的計(jì)算方法掌握較好;二是學(xué)生對(duì)圓柱和圓錐體積之間的關(guān)系掌握并不理想(只記得等底等高時(shí),圓柱的體積是圓錐體積的3倍,圓錐的體積是圓柱體積的1/3;而當(dāng)圓柱與圓錐等體等底或等體等高時(shí)往往學(xué)生不清楚“誰(shuí)占誰(shuí)的1/3”)。針對(duì)第二點(diǎn),我一直在尋求可行的、有效的教學(xué)方法,力求突破難點(diǎn),達(dá)到良好的教學(xué)效果。

      在接觸了“變異理論”之后,我嘗試站在嶄新的角度,重新進(jìn)行教學(xué)設(shè)計(jì)?!白儺惱碚摗币恢睆?qiáng)調(diào)知識(shí)的關(guān)鍵屬性,因此,針對(duì)學(xué)生困惑的關(guān)鍵點(diǎn),我決定從倍、比、份三個(gè)角度全面、有序地講解圓柱和圓錐的關(guān)系,并據(jù)此安排了“圓柱與圓錐”這一內(nèi)容的專(zhuān)題訓(xùn)練課。

      根據(jù)“變異理論”,教師需要通過(guò)展現(xiàn)不同維度的“變”,以呈現(xiàn)“不變”的關(guān)鍵屬性,從而讓學(xué)生全面、深刻地理解事物的關(guān)鍵屬性,并將事物的關(guān)鍵屬性融合到認(rèn)知結(jié)構(gòu)中,最終促進(jìn)未來(lái)的學(xué)習(xí)和遷移。針對(duì)“圓柱和圓錐”這一內(nèi)容,學(xué)生需要把握的關(guān)鍵點(diǎn)是:判斷圓柱和圓錐的關(guān)系,必須同時(shí)考慮高、底面積(或底面半徑)和體積這三個(gè)變量中的兩個(gè)。為了幫助學(xué)生理解這一關(guān)鍵點(diǎn),我設(shè)計(jì)了四個(gè)教學(xué)環(huán)節(jié)。

      一、強(qiáng)化等底等高的圓柱和圓錐的體積關(guān)系

      在第一個(gè)教學(xué)環(huán)節(jié),我通過(guò)例題引導(dǎo)學(xué)生運(yùn)用已學(xué)知識(shí)。然后,借助線段圖,展示“份”“倍”和“比”三者的關(guān)系,以引導(dǎo)學(xué)生用不同的方式表述圓柱和圓錐的比例關(guān)系。

      師:在等底等高時(shí),你們能用線段圖表示圓柱和圓錐的體積關(guān)系嗎?(板書(shū):等底等高)

      師:觀察線段圖,在等底等高時(shí),圓錐的體積對(duì)應(yīng)的是幾份?圓柱的體積對(duì)應(yīng)的是幾份?圓柱和圓錐的體積之和對(duì)應(yīng)的是幾份?圓柱和圓錐的體積之差對(duì)應(yīng)的是幾份?(板書(shū):份)

      生:在等底等高時(shí),圓錐的體積對(duì)應(yīng)的是1份;圓柱的體積對(duì)應(yīng)的是3份;圓柱和圓錐的體積之和對(duì)應(yīng)的是4份;圓柱和圓錐的體積之差對(duì)應(yīng)的是2份。(如圖1所示)

      師:在等底等高時(shí),你是否能從“倍”的角度,完整有序地表述圓柱和圓錐的體積關(guān)系?(板書(shū):倍)

      生:在等底等高時(shí),圓錐的體積是圓柱體積的1/3,圓柱的體積是圓錐體積的3倍;圓柱和圓錐的體積之和是圓錐體積的4倍,是圓柱體積的4/3;圓柱和圓錐的體積之差是圓錐體積的2倍,是圓柱體積的2/3。

      師:在等底等高時(shí),你是否能從“比”的角度,完整有序地表述圓柱和圓錐的體積關(guān)系?(板書(shū):比)

      生:在等底等高時(shí),圓錐和圓柱的體積比是1:3;圓柱和圓錐的體積比是3:1;圓柱和圓錐的體積之和與圓錐體積的比是4:1,與圓柱體積的比是4:3;圓柱和圓錐的體積之差與圓錐體積的比是2:1,與圓柱體積的比是2:3。

      二、逆向思考等體等底時(shí),圓柱和圓錐的高的關(guān)系

      在第二個(gè)教學(xué)環(huán)節(jié),我通過(guò)一組精心設(shè)計(jì)的計(jì)算題,引出等體等底的條件下,圓錐的高是圓柱高的3倍的事實(shí),然后通過(guò)用手指畫(huà)、觀察投影片、畫(huà)線段圖和語(yǔ)言表述等方法,使學(xué)生對(duì)圓柱與圓錐的高的關(guān)系有更加感性的認(rèn)識(shí)。

      師:我們學(xué)習(xí)數(shù)學(xué),思維不僅要有序,更要可逆。這里有兩道逆向應(yīng)用圓柱和圓錐體積公式的題目,誰(shuí)會(huì)解?

      [展示例題:一個(gè)圓錐體積是36立方分米,底面積是9平方分米,它的高是( )分米;一個(gè)圓柱體積是36立方分米,底面積是9平方分米,它的高是( )分米。]

      師:在等底等高時(shí),圓柱和圓錐的體積關(guān)系,明明是圓柱大,圓錐小,可是從兩道例題看,為什么圓錐高,圓柱矮呢?請(qǐng)比較這兩道例題的已知條件和計(jì)算結(jié)果,你發(fā)現(xiàn)了什么?為什么會(huì)出現(xiàn)這樣的結(jié)果?

      生:在等體等底時(shí),圓錐的高是圓柱高的3倍。

      師:用手指在桌上畫(huà)一畫(huà),這樣的圓柱和圓錐擺在一起會(huì)是什么樣子?誰(shuí)能形容一下?(如圖2所示)

      接下來(lái),與第一個(gè)環(huán)節(jié)一樣,我借助線段圖,展示“份”“倍”和“比”三者之間的關(guān)系,以引導(dǎo)學(xué)生用不同的方式表述圓柱和圓錐的高的關(guān)系。

      三、自主思考等體等高時(shí),圓柱和圓錐的底面積的關(guān)系

      在第三個(gè)教學(xué)環(huán)節(jié),學(xué)生運(yùn)用前兩個(gè)教學(xué)環(huán)節(jié)的學(xué)習(xí)過(guò)程和方法自主學(xué)習(xí)。我先提問(wèn),后總結(jié)。

      師:我們已經(jīng)研究了等底等高時(shí),圓柱和圓錐的體積關(guān)系;等體等底時(shí),圓柱和圓錐的高的關(guān)系;接下來(lái),我們研究等體等高時(shí),圓錐和圓柱的底面積關(guān)系。你會(huì)用線段圖表示它們之間的關(guān)系嗎?

      師(總結(jié)):通過(guò)觀察線段,我們發(fā)現(xiàn)無(wú)論是等底等高還是等體等底、等體等高的圓柱與圓錐之間都是一份和三份的關(guān)系。所不同的是:等底等高時(shí),圓柱的體積是3份,圓錐的體積是一份;體積相等,高和底只有一樣不相等時(shí),圓錐是3份,圓柱是一份。

      四、運(yùn)用圓柱和圓錐的關(guān)系解決問(wèn)題

      在第四個(gè)教學(xué)環(huán)節(jié),我精心設(shè)計(jì)了一組練習(xí)題。

      填空題:

      一個(gè)圓柱和一個(gè)與它等底等高的圓錐的體積之和是24立方米,圓柱的體積是( )立方米,圓錐的體積是( )立方米。

      選擇題:

      有一個(gè)圓柱容器和幾個(gè)圓錐容器(如圖3所示),將圓柱內(nèi)的水倒入( )圓錐內(nèi),正好倒?jié)M。

      應(yīng)用題:

      給舞臺(tái)設(shè)計(jì)一個(gè)背景(如圖4所示),請(qǐng)你算一下這個(gè)背景的體積(單位:米;只列式,不計(jì)算)。有幾種不同的算法?

      上述練習(xí)題旨在培養(yǎng)學(xué)生靈活應(yīng)用所學(xué)知識(shí)解決實(shí)際問(wèn)題的能力。在設(shè)計(jì)練習(xí)題時(shí),我試圖創(chuàng)設(shè)一定的問(wèn)題情境,使學(xué)生將剛剛學(xué)習(xí)的有關(guān)圓柱和圓錐的關(guān)鍵屬性融合在一起,并觀察學(xué)生在既定的問(wèn)題情境中能否綜合應(yīng)用所學(xué)知識(shí)解決相關(guān)問(wèn)題。

      通過(guò)教學(xué)“圓柱和圓錐”這一內(nèi)容,我對(duì)“變異理論”有了更深的理解。它是對(duì)遷移理論的繼承和超越,它要求學(xué)生清晰地辨識(shí)概念與概念之間的區(qū)別,把學(xué)會(huì)的知識(shí)和解題技能正確地遷移并應(yīng)用到各種不同的情境中。當(dāng)學(xué)生對(duì)當(dāng)前所學(xué)內(nèi)容具備一定的知識(shí)基礎(chǔ)后,教師應(yīng)將當(dāng)前所學(xué)內(nèi)容與過(guò)往的教學(xué)內(nèi)容相聯(lián)系,或?qū)?dāng)前所學(xué)內(nèi)容應(yīng)用到實(shí)際的生活情境中,讓學(xué)生解決具有一定“思維挑戰(zhàn)性”的綜合問(wèn)題。這樣,既完善學(xué)生的知識(shí)結(jié)構(gòu),又增強(qiáng)學(xué)生學(xué)習(xí)知識(shí)的能力和解決問(wèn)題的能力。

      (作者單位:北京市海淀區(qū)育鷹小學(xué))

      (責(zé)任編輯:梁金)

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