義務(wù)教育《數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)》（2011年版）已于2011年12月28日頒布了，修訂后的小學(xué)數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)在理念、目標(biāo)等方面都做了改進(jìn)，在課程內(nèi)容部分提出了十個數(shù)學(xué)課程與教學(xué)應(yīng)當(dāng)注重發(fā)展的核心概念，和原來的六個核心概念相比，幾何直觀是新增的幾個核心概念之一。既然以往課標(biāo)已經(jīng)意識到幾何直觀的作用，那么新版《數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)》為什么還要突出和強(qiáng)調(diào)幾何直觀？這個問題值得我們深思與探討。

新版課標(biāo)指出：“借助幾何直觀可以把復(fù)雜的數(shù)學(xué)問題變得簡明、形象，有助于探索解決問題的思路，預(yù)測結(jié)果?！睆恼n標(biāo)的描述可以看出，幾何直觀應(yīng)該成為學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的好拐杖，借助它可以幫助學(xué)生直觀理解數(shù)學(xué)。幾何直觀的拐杖作用體現(xiàn)在以下幾個方面。

一、 借助幾何直觀幫學(xué)生理解數(shù)學(xué)概念和規(guī)律

數(shù)學(xué)概念和規(guī)律的抽象性與小學(xué)生以具體形象思維為主的現(xiàn)實產(chǎn)生了矛盾，要想有效地解決這一矛盾，就必須在某些具體對象或內(nèi)容與數(shù)學(xué)概念和規(guī)律之間架設(shè)一座橋梁，幾何直觀正是解決這一矛盾的手段。

例如：關(guān)于圓的認(rèn)識的教學(xué)，有經(jīng)驗的教師會用慢節(jié)奏甚至是稍帶夸張的動作來清楚地演示畫圓的方法，先刻意讓學(xué)生觀察老師旋緊圓規(guī)的夾緊螺母，再將一腳固定在定好的圓心上，畫一小段不連續(xù)的弧，提問：“這些點(diǎn)有什么相同之處？螺母旋緊，一腳固定是為了什么？這樣的點(diǎn)還有嗎？”當(dāng)學(xué)生肯定在各個方向上還有許多這樣的點(diǎn)以后，教師再畫出完整的圓，并告訴學(xué)生，這樣的曲線就叫圓。幾何直觀使得學(xué)生在較短時間內(nèi)形成了正確的、清晰的關(guān)于圓的概念。

例如：乘法交換律的幾何直觀

這樣的幾何排列能幫助學(xué)生理解乘法交換律。

再比如用幾何直觀表示恒等式是非常有效的，恒等式（a+b）2=a2+2ab+b2的直觀演示：

（a+b）2=a·a+a·b+a·b+b·b=a22ab+b2

這樣的演示讓學(xué)生很容易就記住了這個公式。

二、 借助幾何直觀幫學(xué)生激發(fā)問題意識

新版課標(biāo)將原來總目標(biāo)中的“解決問題”改成“問題解決”，更加重視學(xué)生的問題意識，而發(fā)現(xiàn)問題和提出問題是學(xué)生數(shù)學(xué)問題意識的具體體現(xiàn)。在教學(xué)過程中，教師借助幾何直觀可以幫助學(xué)生發(fā)現(xiàn)問題和提出問題。

例如：平行四邊形的面積教學(xué)

教師出示教具：一個長方形框架，它的長是8厘米，寬是5厘米。提問：“它所圍成的長方形面積是多少？你是怎樣想的？”

教師演示：捏住這個長方形的一組對角，向外拉，提問：“同學(xué)們看看，長方形變成了什么圖形？”

教師提問：“觀察變化過程，你能發(fā)現(xiàn)什么？你能提出哪些問題？”

例如：鄭毓信所著《數(shù)學(xué)思維與小學(xué)數(shù)學(xué)》中有這樣一道題：試就下圖所示的情景提出3個數(shù)學(xué)問題，要求一個較為容易，一個較難，另一個則難度適中。

我覺得絕大多數(shù)學(xué)生會很自然地提出這樣一個問題：后面的圖形應(yīng)該是什么樣子呢？要解決這個問題也很簡單，就按照前面的規(guī)律畫出后面的圖形，前面三個圖分別是邊長為3個圈、4個圈、5個圈的正方形，后面的圖形就應(yīng)該是邊長是6個圈的正方形了。

也可能提出這樣的問題：如何計算第三個圖形外面的空心圈個數(shù)？學(xué)生或許會提出不同的解決策略，如下圖所示：

通過這種方式，學(xué)生發(fā)自內(nèi)心的好奇心得到了極大的鼓勵，順便還能提出其他的一些問題：下一個圖形外面的空心圈有多少個？外面空心圈的個數(shù)與正方形每邊空心圈之間有怎樣的關(guān)系？或者可以反過來思考，如果一共有76個空心圈，那么正方形的每個邊上應(yīng)有幾個圈？這個問題還可以進(jìn)一步引申，把正方形改成其他規(guī)則多邊形，討論有關(guān)周長和圈的問題。 通過引申題和提出不同的問題，學(xué)生既是解決問題的人又是提出問題的人。

如果學(xué)生能用幾何直觀去思考分析問題，遇到類似的問題能借助于類比、聯(lián)想，那么就一定能激發(fā)學(xué)生的問題意識，從而提高他們發(fā)現(xiàn)問題和提出問題的能力。有興趣的老師不妨用這些問題考考你的學(xué)生，看看他們發(fā)現(xiàn)問題和提出問題的能力怎樣。

三、 借助幾何直觀幫學(xué)生尋找數(shù)學(xué)規(guī)律成立的原因

新課程指出“推理能力的發(fā)展該貫穿于整個數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)過程中”，推理一般包括合情推理和演繹推理。雖然小學(xué)階段對學(xué)生推理的要求不是很高，但教師可以借助幾何直觀要求他們用適合自己的方式，直觀、清楚和正確地表達(dá)一些規(guī)律成立的原因。

例如：用20塊方磚（邊長為10cm正方形）拼擺出不同的長方形圖形，要求必須用上所有的磚，數(shù)出并記錄每一種長方形的面積和周長，然后找一找并描述你發(fā)現(xiàn)的規(guī)律，并說說這些規(guī)律為什么成立。

學(xué)生們得到上面的表格后發(fā)現(xiàn)了如下規(guī)律： “瘦長”的長方形周長最大，“胖”長方形的周長最小。理由：學(xué)生在移動這些方磚時，看到瘦長的長方形變胖后原來的一些邊就藏到里面了，這樣周長就變小了。

四、 借助幾何直觀幫學(xué)生培養(yǎng)觀察能力和空間觀念

新版課標(biāo)指出：空間觀念的培養(yǎng)除了根據(jù)物體特征抽象出幾何圖形，還要能根據(jù)幾何圖形想象出所描述的實際物體等。通過幾何直觀可以幫助學(xué)生培養(yǎng)觀察能力和空間觀念，這種作用在教材中觀察物體這一內(nèi)容上體現(xiàn)得淋漓盡致，在這里不多描述。其實，教師在平時的教學(xué)過程中就應(yīng)該有意識地通過幾何直觀幫助學(xué)生培養(yǎng)觀察能力和空間觀念。

例如：可以根據(jù)骰子上點(diǎn)的排列形態(tài)而不是數(shù)數(shù)來決定點(diǎn)數(shù)。

還可以通過下列具體操作幫助學(xué)生形成空間推理概念：把一張正長方形的紙對折以后剪去右下角，再展開后是什么形狀呢？如果剪去左上角呢？剪去右上角呢？

讓學(xué)生來想象、預(yù)測和檢驗他們的操作結(jié)果，通過這些幾何直觀活動可以幫助學(xué)生形成空間概念和空間推理的概念。

五、 借助幾何直觀幫學(xué)生理解數(shù)學(xué)建模思想和方法

數(shù)學(xué)建模過程是運(yùn)用數(shù)學(xué)手段分析解決實際問題的過程。幾何直觀因其鮮明的生動性能夠激發(fā)我們的形象思維，所以可用來幫助學(xué)生從具體情境中抽象出數(shù)學(xué)問題，建立解決問題的模型。

例如雞兔同籠問題：今有雉兔同籠，上有三十五頭，下有九十四足。問雉、兔各幾何？

學(xué)生可以用最直觀、最簡單的畫圖法，即：先畫35個圓圈，用它們來表示頭，在一些圓圈下面畫2條小豎線來表示雞，在另一些圓圈下面畫4條小豎線用來表示兔。首先要使數(shù)得的豎線剛好是94，然后數(shù)一下雞的只數(shù)和兔的只數(shù)。當(dāng)然學(xué)生畫小豎線時可以采取這樣的策略：第一種策略是先在35個圓圈下面全畫2條小豎線（假設(shè)全是雞），這樣一共有70只腳，但實際是94只，所以還要畫24只腳，這樣在原來的基礎(chǔ)上，有12只雞要變成兔子，答案就出來了。第二種策略是先在35個圓圈下面全畫4條小豎線（假設(shè)全是兔），這樣一共有140只腳，但實際是94只，所以還要去掉46只腳，這樣在原來的基礎(chǔ)上，有23只兔子要變成雞，答案也就出來了。

教師引導(dǎo)學(xué)生思考這樣的問題：

（1）上面的畫圖法使解決“雞兔同籠”問題簡單了嗎？

（2）你能根據(jù)上面的思路想出一個更簡單的方法嗎？

借助幾何直觀用假設(shè)法解決“雞兔同籠”問題的模型很容易就建立起來了，它比教師直接講授假設(shè)法要更加自然和易懂。

再例如：五個同學(xué)，每人都要和其他的人通一次電話，一共要通多少次電話？

學(xué)生可能先畫5個點(diǎn)來表示五個同學(xué)，要表示兩個人通話就在他們之間用一條線連接。一共要通多少次電話，就是求一共有多少條線。如何計算線的條數(shù)呢？

數(shù)學(xué)模型一：考慮第一個同學(xué)要與其余四個同學(xué)通話，就從第一個同學(xué)引4條線段連接其余四個同學(xué)。接下來考慮第二個同學(xué)，因為他已經(jīng)與第一個同學(xué)通過話了，所以他只與剩下的三人通話，這樣畫3條線段。再考慮第三個學(xué)生，要畫2條線段。第四個學(xué)生則畫1條線段。到第五個學(xué)生已經(jīng)不需要再畫了，因為他已經(jīng)與其他同學(xué)都通過話了。這樣一共要通話的次數(shù)就是：4+3+2+1=10。即使題目中“五個同學(xué)”改成“十個同學(xué)”，學(xué)生也已經(jīng)知道用“9+8+7+6+5+4+3+2+1”這種模式來解決問題了，并且理解為什么要這么算。

數(shù)學(xué)模型二：考慮第一個同學(xué)與所有四個同學(xué)通話一共有四條線段，考慮第二個同學(xué)與所有四個同學(xué)通話也四條線段，第三個同學(xué)、第四個同學(xué)、第五個同學(xué)與其余四個同學(xué)通話都是四條線段，所以一共有5×4條，但第一個同學(xué)與第二個同學(xué)通話一次，現(xiàn)在算了兩次，所以要除以2，其余每兩個同學(xué)的通話都算了兩次，都要除以2，一共要通電話的總次數(shù)就是。如果題目中“五個同學(xué)”改成“十個同學(xué)”，那么學(xué)生就會用來計算，于是結(jié)果就出來了。

總之，教師要借助幾何直觀幫助學(xué)生直觀理解數(shù)學(xué)，學(xué)生要借助幾何直觀把復(fù)雜問題簡單化、形象化，讓幾何直觀成為學(xué)生學(xué)習(xí)的好助手，讓幾何直觀伴隨學(xué)生一生的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)。