張曉敏, 吳澤忠

(成都信息工程學院 數(shù)學學院, 四川 成都 610225)

1 預備知識

在F-凸[1]和ρ-凸[2]的基礎上,V. Preda[3]提出(F,ρ)-凸的概念,并獲得一些結果,是F- 凸和ρ- 凸的擴展;Z. A. Liang等[4]提出(F,α,ρ,d)- 凸的概念,進一步擴展了(F,ρ)-凸;文獻[5]在(F,α,ρ,d)-凸的基礎上,提出了廣義(F,α,ρ,d)- 凸的概念.

在不同的凸性假設下,已得到一些成果[1,3,6-19],但是在微分概念基礎上的非線性規(guī)劃理論和算法不再適用于非光滑最優(yōu)化問題,對于非光滑最優(yōu)化問題也已得出一些結論[20-31]. 本文在非光滑(F,α,ρ,d)-凸函數(shù)的基礎上給出廣義非光滑(F,α,ρ,d)- 凸函數(shù)的定義,在這些弱化的凸性的假設下得出一類不可微多目標分式規(guī)劃問題的最優(yōu)性條件.

考慮多目標分式規(guī)劃問題(MFP)

其中,fi:Rn→R,gi:Rn→R,i=1,2,…,p,hj:Rn→R,j=1,2,…,m,都是局部Lipschitz函數(shù),并假設在Rn上,fi(x)≥0,gi(x)>0,i=1,2,…,p.稱S={x∈Rn|hj(x)≤0,j=1,2,…,m}為(MFP)的可行集.

本節(jié)中約定?x,y∈Rn,x>y?xi>yi,i=1,2,…,n;x≥y?xi≥yi,i=1,2,…,n[13].

定義3[30]如果f:Rn→R在x∈Rn上是局部Lipschitz函數(shù),則f在x∈Rn沿方向d∈Rn的廣義導數(shù),記為f0(x;d),定義為

定義4[30]設f:Rn→R是局部Lipschitz函數(shù),f在x∈Rn處的廣義Clarke梯度定義為?f(x),記?f(x)={ξ∈Rn:f0(x;d)≥ξTd,?d∈Rn}.

定義5[30-31]設f:Rn→R是Lipschitz的,d∈Rn,稱f在x∈Rn處正則,如果f在x∈Rn處是方向可微的,且f0(x;d)=f′(x;d).

定義6[3]稱函數(shù)F:Rn×Rn×Rn→R為次線性函數(shù),如果?x,x0∈X0有

F(x,x0;a1+a2)≤F(x,x0;a1)+

F(x,x0;a2), ?a1,a2∈Rn,

F(x,x0;αa)=αF(x,x0;a),

?α∈R,α≥0, ?a∈Rn.

特別地

F(x,x0;0)=F(x,x0;0a)=0×F(x,x0;a),

0∈R, 0∈Rn, ?a∈Rn.

定義7[29]設F:Rn×Rn×Rn→R是次線性函數(shù),函數(shù)f:Rn→R在x0∈Rn是局部Lipschitz的,α:Rn×Rn→R+{0},ρ∈R,d:Rn×Rn→R.稱函數(shù)f在x0是非光滑(F,α,ρ,d)-凸函數(shù),如果對?ξ∈?f(x0),對所有的x∈Rn有

f(x)-f(x0)≥F(x,x0;α(x,x0)ξ)+ρd2(x,x0).

如果函數(shù)f在Rn上每一點都是非光滑(F,α,ρ,d)-凸函數(shù),則稱f在Rn上是非光滑(F,α,ρ,d)-凸函數(shù).

定義8如果f(x)

定義9如果f(x)≤f(x0)?F(x,x0;α(x,x0)ξ)≤-ρd2(x,x0),則稱f在x0∈X是非光滑強(F,α,ρ,d)-偽凸函數(shù).

定義10如果f(x)≤f(x0)?F(x,x0;α(x,x0)ξ)<-ρd2(x,x0),則稱f在x0∈X是非光滑弱嚴格(F,α,ρ,d)-偽凸函數(shù).

2 最優(yōu)性條件

在點x0∈Rn定義集合J*={j∈J∣hj(x0=0)},J={1,2,…,m}.

約束規(guī)格在點x0,Ω0≠?.

引理1[30]設f1,f2:Rn→R在x處是Lipschitz的,如果f1(x)≥0,f2(x)>0,f1-f2在x處正則,則

證明由f-vge:=(f1-v1g1,…,fp-vpgp)在x0∈X是非光滑(F,α,ρ,d)-偽凸函數(shù)得

fi(x)-vigi(x)

又由τ>0,αi(x,x0)>0,

?

?

定理2設(x0,τ,λ)∈Rn×Rp×Rm滿足

λjhj(x0)=0,j=1,2,…,m,

(2)

τ>0,λ≥0,

(3)

對所有的i=1,2,…,p,fi(x)-vigi(x)≤fi(x0)-vigi(x0);

對其中某些k,fi(x)-vigi(x)

(5)

又h在x0∈X是非光滑(F,α″,ρ″,d″)-凸函數(shù),有

(6)

所以

(7)

(7)+(8)式得

即

那么x0是(MFP)的有效解.

證明只需改變定理2的證明中的關于函數(shù)h的部分.

由h在x0∈X是非光滑(F,α″,ρ″,d″)-偽凸函數(shù)(或非光滑弱嚴格(F,α″,ρ″,d″)-偽凸函數(shù)),及hj(x)≤0,hj(x0)=0得hj(x)≤hj(x0),故

即(6)式,余下證明與定理2相同.

(9)

如果fi、-gi(i=1,…,p)在x0是非光滑(F,α1i,ρ1i,d1i)-凸函數(shù),hj(j=1,…,m)在x0是非光滑強(F,α2j,ρ2j,d2j)-偽凸函數(shù),且

(11)

假設x0不是(MFP)的有效解,則存在(MFP)的有效解x使得

至少有一個不等式嚴格成立.

至少有一個不等式嚴格成立.

又τ>0,所以

由F的次線性性得

由hj(j=1,…,m)在x0是非光滑強(F,α2j,ρ2j,d2j)-偽凸函數(shù),及hj(x)≤0,hj(x0)=0,有hj(x)≤hj(x0),故

又λj≥0,α2j(x,x0)>0及F的次線性性可得

即

(12)+(13)式得

顯然與(10)式矛盾.

證明只需改變定理4證明中的關于函數(shù)h的部分.

由hj(j=1,…,m)在x0是非光滑弱嚴格(F,α2j,ρ2j,d2j)-偽凸函數(shù),及hj(x)≤0,hj(x0)=0,有hj(x)≤hj(x0),故

又λj≥0,α2j(x,x0)>0及F的次線性性可得

即得(13)式,其余部分的證明與定理4相同.

致謝成都信息工程學院引進人才項目(KYTZ201203)和成都信息工程學院中青年學術帶頭人科研基金(J201218)對本文給予了資助,謹致謝意.

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