《概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)》課堂教學(xué)方法的探索與實(shí)踐

李曉童，李云雷，范 申

(1.中國石油大學(xué)理學(xué)院，北京102249；2.張家口職業(yè)技術(shù)學(xué)院基礎(chǔ)部，河北張家口 075051)

《概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)》課程是高等院校工科及經(jīng)濟(jì)管理類各專業(yè)一門研究隨機(jī)現(xiàn)象及其規(guī)律的重要基礎(chǔ)課，是應(yīng)用性和實(shí)踐性較強(qiáng)的學(xué)科。由于研究隨機(jī)現(xiàn)象的思維方式與研究以往確定性問題的思維方式的不同，工科學(xué)生在學(xué)習(xí)《概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)》課程過程中有畏難情緒，感覺概念不好理解，遇到問題不知如何下手，理論方法難于掌握。通常學(xué)生在學(xué)完該課程后只是停留在簡單的做題和公式推導(dǎo)，不能靈活應(yīng)用。為了解決上述問題，我們?cè)凇陡怕收撆c數(shù)理統(tǒng)計(jì)》課程的教學(xué)實(shí)踐過程中，基于M .David Merrill博士提出的五個(gè)首要教育原理[1]，以概率統(tǒng)計(jì)課堂教學(xué)效果最大化為目標(biāo)，在培養(yǎng)學(xué)生的實(shí)踐創(chuàng)新能力上做了一些有益的探索和實(shí)踐。

一、將概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)史融入教學(xué)，激發(fā)學(xué)生的主動(dòng)學(xué)習(xí)興趣

興趣是最好的老師，因?yàn)橛信d趣，學(xué)生才能主動(dòng)地關(guān)注學(xué)習(xí)對(duì)象。沒有主動(dòng)地探求知識(shí)的欲望，就談不上學(xué)生創(chuàng)新能力的提高。我們?cè)诟怕式y(tǒng)計(jì)教學(xué)中穿插概率統(tǒng)計(jì)歷史人物的介紹，不僅增加課堂的趣味性，而且使學(xué)生對(duì)于相關(guān)概率統(tǒng)計(jì)知識(shí)有較深刻印象。例如在第一節(jié)課里通過介紹十七世紀(jì)的法國數(shù)學(xué)家費(fèi)爾馬與帕斯卡的簡單生平以及他們之間往來的七封通信解決了法國騎士梅勒提出的賭注分配問題，引入了概率論的起源，而把“賭注分配問題”到底是怎么回事作為懸疑留給了學(xué)生課下查閱。這樣激發(fā)學(xué)生的興趣的同時(shí)，也鍛煉了學(xué)生查閱參考文獻(xiàn)的能力。在講正態(tài)分布時(shí)，我們先提到偉大的數(shù)學(xué)家高斯，大多數(shù)同學(xué)知道高斯是數(shù)學(xué)王子。隨后給學(xué)生展示德國10馬克的紙幣，讓學(xué)生思考為什么在德國10馬克紙幣上印有高斯頭像，而且頭像旁邊還印有正態(tài)分布的密度函數(shù)的曲線，從而使得學(xué)生很容易接受這樣的事實(shí)：在高斯的一切科學(xué)貢獻(xiàn)中，對(duì)人類文明影響最大者，就是正態(tài)分布。從而讓學(xué)生深刻理解了正態(tài)分布的重要性。通過將柯爾莫哥洛夫的人物介紹引入概率的公理化定義，使得學(xué)生較深刻地理解了概率的公理化定義是概率論建立的基石。在講解大數(shù)定律時(shí)，通過介紹我國數(shù)學(xué)家許寶騄先生的生平，讓學(xué)生了解我國數(shù)學(xué)家在概率統(tǒng)計(jì)發(fā)展歷史上所做出的貢獻(xiàn)。從而激發(fā)學(xué)生對(duì)于隨機(jī)數(shù)學(xué)知識(shí)探求的渴望，成為今后深入學(xué)習(xí)現(xiàn)代隨機(jī)數(shù)學(xué)知識(shí)的源動(dòng)力。在一般概率統(tǒng)計(jì)教材上很少提及這些歷史人物的資料，但是學(xué)生在課上非常愿意且主動(dòng)去聆聽，從而激發(fā)學(xué)生主動(dòng)學(xué)習(xí)的興趣，并對(duì)所講內(nèi)容記憶深刻。

二、 挖掘日常生活中的概率統(tǒng)計(jì)實(shí)例，激發(fā)學(xué)生探索新知識(shí)的興趣

當(dāng)新知識(shí)與學(xué)習(xí)者的生活世界融為一體時(shí)，才能夠促進(jìn)學(xué)習(xí)[1]。概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)課程作為一門研究隨機(jī)現(xiàn)象及其規(guī)律的入門課程，學(xué)生感覺概念抽象難理解，挖掘并講解概率統(tǒng)計(jì)在實(shí)際生活中的應(yīng)用實(shí)例，結(jié)合所講內(nèi)容，讓學(xué)生切實(shí)體會(huì)到學(xué)習(xí)該課程的實(shí)用性，從而激發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣。比如以古典概率中“分球入盒”的概率模型，引入“生日問題”[3]，使得學(xué)生體會(huì)到生活中感覺的結(jié)果和實(shí)際上真的結(jié)果有時(shí)是完全不一樣的。又如生活中常用“抓鬮”來決定某件事情的結(jié)果。通過簡單概率模型的分析讓學(xué)生頓悟抓取結(jié)果為什么與抓取的先后順序無關(guān)。當(dāng)講了Bayes公式，通過舉例“病人看病愿意找有經(jīng)驗(yàn)大夫看病”就是利用了Bayes統(tǒng)計(jì)的思想，將先驗(yàn)信息加入到統(tǒng)計(jì)推斷過程中。當(dāng)講到非參數(shù)的獨(dú)立性檢驗(yàn)時(shí)，很容易讓學(xué)生通過數(shù)據(jù)分析給出“吸煙與患支氣管炎是否有關(guān)”的合理解答，進(jìn)一步提出問題，如“研究生錄取過程中對(duì)女生是否有歧視”的實(shí)例，進(jìn)一步引出三維列鏈表的獨(dú)立性問題，誘發(fā)學(xué)生對(duì)于新知識(shí)的探求興趣。在講到估計(jì)量的穩(wěn)健性性質(zhì)時(shí)，列舉一些現(xiàn)實(shí)生活中的應(yīng)用實(shí)例，如為什么在歌手大獎(jiǎng)賽給歌手打分時(shí)要去掉一個(gè)或兩個(gè)最高分，去掉一個(gè)或兩個(gè)最低分，將剩下的評(píng)分的平均作為歌手的最后得分？以及體操比賽裁判給選手打分規(guī)則也是考慮到估計(jì)量的穩(wěn)健性而建立的。通過挖掘講解日常生活中概率統(tǒng)計(jì)應(yīng)用實(shí)例，學(xué)生很容易深入淺出地理解課程的相應(yīng)知識(shí)點(diǎn)，進(jìn)而對(duì)相關(guān)知識(shí)理解具體化，對(duì)概率統(tǒng)計(jì)的應(yīng)用性和實(shí)踐性有切實(shí)的感受，進(jìn)而喜歡上該課程，也潛移默化激發(fā)和培養(yǎng)了學(xué)生的應(yīng)用和實(shí)踐能力。

三、注重概率統(tǒng)計(jì)實(shí)際背景，發(fā)現(xiàn)知識(shí)的內(nèi)在聯(lián)系，培養(yǎng)學(xué)生解決問題的能力

數(shù)理統(tǒng)計(jì)部分中抽樣分布的介紹是統(tǒng)計(jì)推斷的基礎(chǔ)。通過概率論部分的學(xué)習(xí)，學(xué)生對(duì)正態(tài)分布的密度函數(shù)及其密度曲線的形狀和特點(diǎn)已經(jīng)非常熟悉，為了引入t-分布，我們會(huì)簡單介紹英國統(tǒng)計(jì)學(xué)家哥塞特發(fā)現(xiàn)t-分布的過程[3]。通過介紹哥塞特發(fā)現(xiàn)并提出該分布的整個(gè)研究過程，既可以激發(fā)學(xué)生主動(dòng)探求知識(shí)的興趣，同時(shí)也可以讓學(xué)生沿著發(fā)現(xiàn)過程的線索推測t-分布的特點(diǎn)，嘗試找出它與標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布的微小差別。使學(xué)生在有趣的意境中理解和掌握t-分布的密度函數(shù)形狀和特點(diǎn)以及與標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布的微小差異，理解t-分布在小樣本理論發(fā)展中的重要地位。通過背景知識(shí)的介紹，使學(xué)生由被動(dòng)接受知識(shí)到主動(dòng)探求知識(shí)的答案。正如首要教學(xué)原理提到的，當(dāng)激活已有知識(shí)并將它作為新知識(shí)的基礎(chǔ)時(shí)，才能夠促進(jìn)學(xué)習(xí)[1]，從而達(dá)到好的教學(xué)效果，使學(xué)生體會(huì)到科學(xué)發(fā)現(xiàn)的過程是與我們對(duì)生活細(xì)微的觀察實(shí)踐分不開的。

四、將案例分析融入教學(xué)，營造實(shí)踐探索氛圍，培養(yǎng)學(xué)生的實(shí)踐創(chuàng)新能力

當(dāng)學(xué)習(xí)者介入解決實(shí)際問題時(shí)，才能夠促進(jìn)學(xué)習(xí)[1]。概率統(tǒng)計(jì)課程是應(yīng)用和實(shí)踐性較強(qiáng)的課程。為了在平時(shí)的教學(xué)過程中培養(yǎng)學(xué)生的應(yīng)用意識(shí)，就要努力給學(xué)生營造實(shí)踐氛圍，從而培養(yǎng)學(xué)生的創(chuàng)新實(shí)踐能力。例如在講授了全概率公式以后，作為應(yīng)用給出“敏感問題調(diào)查”的案例，例如如何估計(jì)“學(xué)生中考試作弊的比率”？敏感問題的調(diào)查是社會(huì)調(diào)查的一類，如一群人中參加賭博的比率，吸毒人的比例，經(jīng)營者中偷稅漏稅的比率。對(duì)敏感問題的調(diào)查方案，關(guān)鍵是要使被調(diào)查者愿意做出真實(shí)回答又能保守個(gè)人秘密。一旦調(diào)查方案設(shè)計(jì)有誤，被調(diào)查者就會(huì)拒絕配合，所得到的調(diào)查數(shù)據(jù)就失去真實(shí)性[3]。在這個(gè)案例中給出了心理學(xué)和統(tǒng)計(jì)學(xué)家給出的一個(gè)調(diào)查方案，以這個(gè)調(diào)查方案通過對(duì)于敏感問題調(diào)查問卷設(shè)計(jì)方案的案例分析過程，可以讓學(xué)生體會(huì)到全概率公式的應(yīng)用，鞏固學(xué)生對(duì)全概率公式的理解和掌握，更重要的是將所學(xué)的知識(shí)應(yīng)用到解決實(shí)際問題中去，促進(jìn)了學(xué)生的學(xué)習(xí)[1]，在應(yīng)用的過程中鍛煉和培養(yǎng)了學(xué)生的創(chuàng)新意識(shí)和實(shí)踐能力。又例如在講均勻分布時(shí)，離不開“蒲豐投針”這個(gè)經(jīng)典案例，給出這個(gè)案例的分析結(jié)果本身不是最重要的，而通過案例的分析過程引出介紹現(xiàn)代統(tǒng)計(jì)中重要的Monte Carlo 方法，將新知識(shí)展現(xiàn)在學(xué)生的面前，從而促進(jìn)了學(xué)生的學(xué)習(xí)；然后將關(guān)于Monte Carlo的理論及其應(yīng)用的進(jìn)一步探求留給學(xué)生作為開放性的實(shí)踐課題，例如如何用Monte Carlo方法計(jì)算定積分？如何建立和設(shè)計(jì)概率統(tǒng)計(jì)模型，利用Monte Carlo方法求出感興趣的未知參數(shù)？使得學(xué)有余力且對(duì)這個(gè)問題有好奇心的同學(xué)通過課外查閱相關(guān)資料，完成關(guān)于Monte Carlo 方法應(yīng)用的小論文。這樣不僅引導(dǎo)學(xué)生主動(dòng)探索新知識(shí)的能力，也為學(xué)有余力的同學(xué)提供了展示自己的空間。當(dāng)講到區(qū)間估計(jì)問題時(shí)，還可以通過Monte Carlo隨機(jī)模擬方法 給出置信區(qū)間的統(tǒng)計(jì)模擬過程。所以概率統(tǒng)計(jì)教學(xué)中穿插統(tǒng)計(jì)案例的分析，對(duì)于提高學(xué)生主動(dòng)學(xué)習(xí)的興趣具有重要的作用。

五、將概率統(tǒng)計(jì)隨機(jī)實(shí)驗(yàn)有機(jī)融入課堂，激發(fā)學(xué)生形象思維，提高學(xué)生實(shí)踐創(chuàng)新能力

有針對(duì)性地應(yīng)用多媒體課件，使教材中的抽象理論形象化。特別是我們結(jié)合教學(xué)內(nèi)容引入一些概率統(tǒng)計(jì)隨機(jī)試驗(yàn)，既激發(fā)學(xué)生的形象思維，又提高了學(xué)生的實(shí)踐創(chuàng)新能力。例如為了說清楚頻率的穩(wěn)定性，我們通過引入計(jì)算機(jī)模擬拋硬幣的實(shí)驗(yàn)，觀察實(shí)驗(yàn)的次數(shù)與正面出現(xiàn)的頻率的關(guān)系。從而使學(xué)生很直觀地理解頻率穩(wěn)定到一個(gè)客觀的值，這個(gè)值就是拋硬幣正面出現(xiàn)的概率[2]。又例如課堂上，我們也引入了蒲豐投針實(shí)驗(yàn)、泊松分布逼近二項(xiàng)分布隨機(jī)實(shí)驗(yàn)。通過動(dòng)態(tài)演示，還可以引導(dǎo)學(xué)生了解如何實(shí)現(xiàn)隨機(jī)實(shí)驗(yàn)的演示，鼓勵(lì)學(xué)生自己制作其他隨機(jī)演示軟件，從而促進(jìn)學(xué)生創(chuàng)新實(shí)踐能力的發(fā)展。又例如統(tǒng)計(jì)中的數(shù)據(jù)圖形描述的方法，如箱線圖、莖葉圖、直方圖等，引入常用統(tǒng)計(jì)軟件如SAS，R進(jìn)行的圖形演示，并簡單介紹統(tǒng)計(jì)軟件的使用初步，誘發(fā)學(xué)生對(duì)于統(tǒng)計(jì)軟件使用的興趣，為今后學(xué)生學(xué)習(xí)功能強(qiáng)大的SAS，R統(tǒng)計(jì)軟件做了鋪墊。從而為學(xué)生創(chuàng)新實(shí)踐統(tǒng)計(jì)軟件的成功應(yīng)用提供可能。當(dāng)新知識(shí)展現(xiàn)給學(xué)習(xí)者時(shí)，才能促進(jìn)學(xué)習(xí)[1]。

[1]盛群力，馬蘭.首要教學(xué)原理新認(rèn)識(shí)[J].遠(yuǎn)程教育雜志，2005,(4)：16-20.

[2]吳群英.《概率統(tǒng)計(jì)》課程中采用興趣與啟發(fā)式教學(xué)[J].廣西高教研究,2001,(3)：74-75.

[3]茆詩松,等.概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)教程[M].高等教育出版社，2004.44,273-274.