巧借幾個(gè)“互變” 用活課后習(xí)題

丁玉成

課堂練習(xí)是小學(xué)課堂教學(xué)的重要組成部分，鞏固基礎(chǔ)知識(shí)，提高基本技能，發(fā)展數(shù)學(xué)思考力是課堂練習(xí)所承載的基本任務(wù)與功能。常態(tài)課練習(xí)利用率最高的是課后習(xí)題，如果教師在精心研讀習(xí)題、理解編者意圖情況下，挖掘習(xí)題資源，創(chuàng)造性地將某些習(xí)題進(jìn)行整合、補(bǔ)充、延伸、拓展，用足用好教材，就會(huì)增強(qiáng)課堂練習(xí)的實(shí)效功能。

本文試以人教版五年級(jí)圖形與幾何領(lǐng)域的測(cè)量?jī)?nèi)容為載體，通過(guò)幾種不同方式的互變對(duì)課后習(xí)題進(jìn)行變式利用，優(yōu)化習(xí)題利用效果。

一、“順”“逆”互變，凸顯計(jì)算本質(zhì)

新課標(biāo)在內(nèi)容標(biāo)準(zhǔn)中對(duì)圖形的面積、體積、表面積等計(jì)算方法都提出了“探索并掌握計(jì)算方法、解決簡(jiǎn)單實(shí)際問(wèn)題”的要求。在計(jì)算公式得出之前，教師應(yīng)注重過(guò)程性教學(xué)，引領(lǐng)學(xué)生經(jīng)歷公式的探索、得出過(guò)程。在應(yīng)用公式解決問(wèn)題時(shí)，不僅僅停留在順向的應(yīng)用公式計(jì)算中，可以“順逆”互變，偶爾適時(shí)回顧公式的由來(lái)與計(jì)算的本質(zhì)。

如右圖是數(shù)學(xué)教材（五年級(jí)上）長(zhǎng)方體、正方體體積計(jì)算一課的做一做，學(xué)生輕松完成了體積計(jì)算后，老師可讓學(xué)生回顧體積計(jì)算公式的由來(lái)：長(zhǎng)方體中的8cm、3cm、4cm分別表示什么？將長(zhǎng)、寬、高與體積單位擺放的橫排個(gè)數(shù)、豎排個(gè)數(shù)、層數(shù)相聯(lián)系，課件出示長(zhǎng)、寬、高三條棱上所擺的體積單位，讓學(xué)生聯(lián)想全部擺滿(mǎn)的樣子，之后電腦出示全部鋪滿(mǎn)畫(huà)面，最后分三步全部隱去：留下長(zhǎng)寬高上所擺的方塊→隱去方塊留下所擺個(gè)數(shù)的痕跡→只剩下長(zhǎng)方體框架。這樣的過(guò)程，既是對(duì)長(zhǎng)方體計(jì)算公式由來(lái)的回顧，又能使學(xué)生在今后求長(zhǎng)方體體積時(shí)不僅僅停留在對(duì)公式的簡(jiǎn)單應(yīng)用，也能在頭腦中反應(yīng)出體積單位擺放的形態(tài)。

又如右圖是“梯形面積計(jì)算”一課的練習(xí)（P90），先思考并討論在不知道上底下底各是多少的情況下，如何計(jì)算面積？突破學(xué)生對(duì)“梯形面積=（上底+下底）×高÷2”的機(jī)械認(rèn)識(shí)，明確梯形的上下底之和可以看作一個(gè)整體。此時(shí)可以再現(xiàn)梯形面積計(jì)算公式的由來(lái)，將兩個(gè)完全相同的梯形拼成一個(gè)平行四邊形，讓學(xué)生直觀體驗(yàn)上下底之和是一個(gè)整體的理由。之后對(duì)此題進(jìn)行改編，變順為逆：已知梯形的面積是3000平方米，如果只能量出其中一條底邊，你認(rèn)為應(yīng)該測(cè)量哪一條底邊？為什么？若這條底邊是15米，你能算出籬笆的總長(zhǎng)嗎？這樣變式，不直接給出高，促使學(xué)生思考“高”在梯形面積計(jì)算中是一個(gè)獨(dú)立的數(shù)據(jù)，在順勢(shì)，逆勢(shì)的遞進(jìn)訓(xùn)練中，進(jìn)一步完善學(xué)生思維和提高學(xué)生解決問(wèn)題的能力。

再如下圖是數(shù)學(xué)教材（五年級(jí)上）組合圖形面積一課的練習(xí)（P94），兩題圖形形狀相同，只是給出的條件不同，都可以用不同的方法計(jì)算。如果兩道題都讓學(xué)生用自己喜歡的方法解決，一方面有重復(fù)感，另一方面花時(shí)較多，學(xué)生可能會(huì)因?yàn)檩^高的計(jì)算強(qiáng)度造成感官疲勞，引起厭煩情緒。所以適當(dāng)改變呈現(xiàn)方式往往能收到較好的效果。可以先讓學(xué)生獨(dú)立計(jì)算第2題，反饋后理解幾種算法的思路。之后出示改編后的第1題：出示ABC三種算法，每一種算法分別是怎么分割的？請(qǐng)你添加輔助線，并解釋解題思路。學(xué)生憑借做第2題所積累的經(jīng)驗(yàn)，變順向思維為逆向思維，從“算式”這個(gè)終點(diǎn)反射到“添加輔助線”的起點(diǎn)，改變了習(xí)題訓(xùn)練方式，凸顯解題思路，減輕計(jì)算負(fù)擔(dān)，在有限的時(shí)間里充分展示了學(xué)生思維的靈活性和多樣性，達(dá)到了預(yù)定效果。

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A.（45+60）×15÷2×2

B.45×30+15×15÷2×2

C.60×30-30×15÷2

對(duì)于練習(xí)中大量思維含量重復(fù)的計(jì)算題，教師可以在練習(xí)重點(diǎn)不變的情況下適當(dāng)處理，如改變具體數(shù)據(jù)、改變解答要求、改變呈現(xiàn)方式等。有的題則可以通過(guò)順逆互變，達(dá)到知其然也知其所以然的目的，提升學(xué)生的思維和解題能力。

二、“靜”“動(dòng)”互變，激活空間想象

教材上的習(xí)題都以靜態(tài)呈現(xiàn)，圖形與幾何塊知識(shí)很多需要空間想象，信息呈現(xiàn)方式的多樣化能助力學(xué)生的空間想象，加強(qiáng)在心理上操作、旋轉(zhuǎn)、翻轉(zhuǎn)等能力。把習(xí)題信息和解決過(guò)程中的思考以動(dòng)態(tài)方式演示，能激活學(xué)生的空間想象能力。

如數(shù)學(xué)教材（五年級(jí)下）（P37），長(zhǎng)方體表面積計(jì)算練習(xí)課中第9題，紅色油漆的面積比較難算，一般做法是上面三個(gè)正方形依次加上左右4個(gè)面。巧妙的做法可將左右面拼接，1號(hào)露出的左面和2號(hào)的左面可以拼成一個(gè)長(zhǎng)方形，1號(hào)露出的右面和3號(hào)右面也可以拼成一個(gè)長(zhǎng)方形，而這兩個(gè)長(zhǎng)方形剛好是1號(hào)的整個(gè)左右面，如果學(xué)生空間想象成功的話，紅色油漆面積就成了3個(gè)40×40的正方形和兩個(gè)40×65的長(zhǎng)方形面積總和。還有一種更巧妙的做法是將紅色油漆面看成是一張紙糊在上面，將紅色油漆表面剝離頒獎(jiǎng)臺(tái)，然后拉直，就成了一個(gè)“長(zhǎng)55+40+10+40+25+40+40=250厘米、寬40厘米”的長(zhǎng)方形，這個(gè)過(guò)程能想象到的學(xué)生就更少了。兩種巧妙算法教師如果配以實(shí)物演示或課件演示，將過(guò)程清楚地展示，對(duì)想象已經(jīng)成功的學(xué)生是一種回放式的驗(yàn)證，對(duì)未想象成功的學(xué)生是一次想象經(jīng)驗(yàn)的積累。

又如右圖是數(shù)學(xué)教材（五年級(jí)下）總復(fù)習(xí)中的一道題，計(jì)算盒子用了多少鐵皮時(shí)，學(xué)生喜歡用長(zhǎng)方形面積減去四個(gè)正方形面積來(lái)算，但解決容積問(wèn)題時(shí)必須進(jìn)行空間想象，將平面圖想象成長(zhǎng)方體無(wú)蓋容器，之后找到相應(yīng)的長(zhǎng)、寬、高進(jìn)行計(jì)算。這道題可以讓有困難的學(xué)生動(dòng)手操作，也可以課件演示折成長(zhǎng)方體的過(guò)程，讓學(xué)生觀察長(zhǎng)方體的長(zhǎng)寬高與原平面圖給出信息之間的關(guān)系。解決完這道題后，可以追加一道題：（再出示一個(gè)長(zhǎng)方形）一塊長(zhǎng)方形鐵皮，長(zhǎng)50cm、寬30cm，要將它做成一個(gè)深5cm的無(wú)蓋容器，做成后的容器表面積和容積各是多少？有了上題的經(jīng)驗(yàn)，學(xué)生就有了想象的經(jīng)驗(yàn)，比較兩題圖形的差別，不難發(fā)現(xiàn)容器的深度5cm就是該剪去正方形的邊長(zhǎng)。當(dāng)然，在學(xué)生想象、描述過(guò)后，動(dòng)態(tài)的演示必不可少。

對(duì)脫離動(dòng)態(tài)演示想象圖形的形狀、關(guān)系的空間想象力的培養(yǎng)是一個(gè)逐步的過(guò)程，教師在習(xí)題分析中若能關(guān)注對(duì)學(xué)生想象能力的培養(yǎng)，化“靜”為“動(dòng)”，學(xué)生的想象經(jīng)驗(yàn)會(huì)隨著時(shí)間和次數(shù)的積累越來(lái)越豐厚。endprint

三、“顯”“隱”互變，尋求圖形關(guān)聯(lián)

數(shù)學(xué)的學(xué)習(xí)強(qiáng)調(diào)知識(shí)間的相互聯(lián)系，有句話說(shuō)得好：知識(shí)不在于多而在于聯(lián)。學(xué)生所學(xué)的知識(shí)能互相聯(lián)系、相互貫通，這樣建立起來(lái)的知識(shí)結(jié)構(gòu)就更加牢固。在測(cè)量教學(xué)中，教師引導(dǎo)學(xué)生從具體、直觀、顯性的圖形計(jì)算中發(fā)現(xiàn)圖形與圖形之間隱性的關(guān)聯(lián)，或者把數(shù)學(xué)思想方法從具體教學(xué)內(nèi)容中抽象出來(lái)，將能培養(yǎng)學(xué)生用聯(lián)系的眼光看待事物的能力。

此題是數(shù)學(xué)

教材（五年級(jí)上）

“多邊形單元復(fù)

習(xí)”中的一道題，通過(guò)測(cè)量計(jì)算長(zhǎng)方形、平行四邊形、梯形和三角形的面積，復(fù)習(xí)鞏固各種圖形面積計(jì)算公式。復(fù)習(xí)鞏固階段，對(duì)習(xí)題的處理與設(shè)置，應(yīng)注重讓學(xué)生在解決一個(gè)具體問(wèn)題時(shí)，把所學(xué)的知識(shí)串聯(lián)起來(lái)，既起到復(fù)習(xí)鞏固的作用，又能讓學(xué)生獲得新的收獲。在高相等的條件下，通過(guò)比較面積，加深學(xué)生對(duì)圖形面積與底和高關(guān)系的認(rèn)識(shí)，進(jìn)一步加深對(duì)計(jì)算公式的理解。筆者認(rèn)為還可以繼續(xù)在此題上做文章，第三個(gè)梯形的上下底分別是1cm和1.6cm，讓學(xué)生思考，當(dāng)梯形上底變成1.6cm時(shí)，想想是什么圖形，再列式計(jì)算。反饋時(shí)會(huì)出現(xiàn)變成了長(zhǎng)方形和平行四邊形兩種情況，也會(huì)出現(xiàn)兩種列式法：1.6×2和（1.6+1.6）×2÷2，第一種列式是學(xué)生根據(jù)想象后的新圖形計(jì)算公式算的，第二種還是根據(jù)梯形面積計(jì)算公式算，比較分析兩種算法，從而發(fā)現(xiàn)平行四邊形面積可以用梯形面積公式來(lái)算。繼續(xù)思考當(dāng)梯形上底不斷變短最終為0時(shí)，成了什么圖形？列式計(jì)算面積，同樣出現(xiàn)兩種算法：1.6×2÷2和（0+1.6）×2÷2，此時(shí)，學(xué)生恍然大悟，在幾種不同平面圖形的不同面積計(jì)算方法的顯性表象背后，還藏著這么隱蔽的緊密聯(lián)系，梯形面積計(jì)算公式可以用來(lái)算長(zhǎng)方形、平行四邊形和三角形的面積。

又如數(shù)學(xué)教材（五年級(jí)下）”長(zhǎng)方體表面積計(jì)算“的練習(xí)中有一道選做題，此題看圖數(shù)相應(yīng)要求的正方體塊數(shù)，需要學(xué)生有較好的空間想象力，由于學(xué)生玩過(guò)魔方，此大正方體就是一個(gè)三階魔方，學(xué)生通過(guò)觀察，能數(shù)出正確個(gè)數(shù)，但思維層面沒(méi)有很好得到鍛煉。如果此時(shí)類(lèi)推到由64個(gè)小正方體和125個(gè)小正方體搭成的大正方體的涂色問(wèn)題，學(xué)生一定會(huì)懵了。我認(rèn)為在得到正確結(jié)果后，可以組織學(xué)生觀察三面涂色的小正方體的位置，由此聯(lián)想到與正方體的頂點(diǎn)位置有關(guān)，依次發(fā)現(xiàn)一面涂色的小正方體的位置與面有關(guān)，二面涂色的小正方體位置與棱有關(guān)。當(dāng)隱含的規(guī)律與顯性的小正方形個(gè)數(shù)聯(lián)系起來(lái)時(shí)，學(xué)生就能建立起模型。64個(gè)、125個(gè)小正方體搭成的大正方體的涂色問(wèn)題只需先考慮一層的涂色情況，再與面、棱、頂點(diǎn)的數(shù)量相結(jié)合，問(wèn)題的解決就變得有條有理了。

教師在教學(xué)中深度挖掘隱性因素，使顯性知識(shí)與隱性知識(shí)巧妙、緊密聯(lián)系，將隱性知識(shí)顯性化，真正為學(xué)生所領(lǐng)悟，這對(duì)于圖形教學(xué)中培養(yǎng)學(xué)生的各方面能力是很有幫助的。

四、“一”“類(lèi)”互變，思維適度延展

很多練習(xí)題，本質(zhì)上存在著相關(guān)性、相似性，卻不易被學(xué)生察覺(jué)，如果在練習(xí)中教師是個(gè)有心人，就會(huì)將一系列相關(guān)的類(lèi)型進(jìn)行對(duì)比整合，拓寬學(xué)生的解題思路，這樣就能達(dá)到“練一題，帶一串”的教學(xué)效果，實(shí)現(xiàn)思維的延展。

比如應(yīng)用“等底等高的平行四邊形面積相等、等底等高的三角形面積相等、等底等高的三角形的面積是平行四邊形面積的一半”的知識(shí)能解決很多難易不同的題，教材在平行四邊形和三角形面積計(jì)算教學(xué)后的練習(xí)中都有安排此類(lèi)問(wèn)題。在教學(xué)中教師就要注意整合、類(lèi)比、拓展。右圖兩題是“三角形面積計(jì)算”后的練習(xí)，通過(guò)第6題的練習(xí)，學(xué)生除了知道等底等高的三角形面積相等外，還要知道兩個(gè)相同面積的三角形去掉公共部分，剩余面積相等，即上面兩個(gè)小三角形面積相等。第7題除了連接三角形三條邊的中點(diǎn)，形成的4個(gè)三角形面積相等，還可以將三角形任一邊平均分成4段，把各分點(diǎn)與對(duì)應(yīng)頂點(diǎn)連接成4個(gè)面積相等的三角形。這樣分的理由就是四個(gè)三角形等底等高。第9題雖是選做題，但學(xué)生若是能聯(lián)想到用等底等高的知識(shí)來(lái)解決，這道題便很簡(jiǎn)單了。

教材中的題還算簡(jiǎn)單，教師可以適當(dāng)補(bǔ)充同類(lèi)題，看似復(fù)雜，卻可以應(yīng)用“等底等高”知識(shí)來(lái)解決，讓學(xué)生的解題思維更開(kāi)闊。

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如上圖兩題都是求陰影部分的面積（單位：cm），第1題學(xué)生想到最多的是通過(guò)直角三角形求出梯形的高，再用梯形面積減去三角形面積得到陰影部分面積。教師應(yīng)引導(dǎo)學(xué)生添加輔助線，用“等底等高”的知識(shí)說(shuō)明兩個(gè)陰影三角形可以轉(zhuǎn)化成一個(gè)三角形（如圖），只要直接求一個(gè)底是4cm、高是2.4cm的三角形面積。第2題的陰影部分看似很難，找不到相關(guān)信息，也能通過(guò)“等底等高”的知識(shí)發(fā)現(xiàn)平行四邊形和長(zhǎng)方形面積相等，而去掉一個(gè)公共三角形后，剩余部分面積相等，求陰影部分的面積就轉(zhuǎn)化為求“上下底是2、8，高為12”的梯形面積。

再如右圖，已知三角形

ABC的面積為64平方厘米，

是平行四邊形DEFC面積的

2倍，求陰影部分面積。陰影部分是個(gè)三角形，與平行四邊形等底等高，面積存在2倍關(guān)系，因此陰影部分的面積就是三角形面積的四分之一。

深刻挖掘練習(xí)題的相關(guān)功能，由一組題延伸出一連串相似性問(wèn)題，使學(xué)生在對(duì)比分析的基礎(chǔ)上形成靈活解決問(wèn)題的技能，使看似無(wú)法解決的問(wèn)題輕松得到解決，達(dá)到解一題通一類(lèi)的目的。

以上例舉的只是數(shù)學(xué)教材（五年級(jí)上下冊(cè)）圖形與幾何領(lǐng)域測(cè)量?jī)?nèi)容中的一部分習(xí)題的變式利用，圖形與幾何內(nèi)容還包括圖形的認(rèn)識(shí)、圖形的運(yùn)動(dòng)、圖形與位置等，由于教學(xué)內(nèi)容各異，變式訓(xùn)練的途徑和方法也遠(yuǎn)不止以上例舉的四種，我們可以結(jié)合習(xí)題的特征和學(xué)生的認(rèn)知情況，在學(xué)生的“最近發(fā)展區(qū)”從不同的角度加以變式處理，以發(fā)展學(xué)生的空間觀念為關(guān)注點(diǎn)，最大限度地發(fā)掘習(xí)題的訓(xùn)練價(jià)值，相信通過(guò)我們有意識(shí)地培養(yǎng)，學(xué)生的空間觀念能得到更有效發(fā)展，實(shí)現(xiàn)從計(jì)算幾何走向觀念幾何的轉(zhuǎn)變。

（責(zé)任編輯：李雪虹）endprint

三、“顯”“隱”互變，尋求圖形關(guān)聯(lián)

數(shù)學(xué)的學(xué)習(xí)強(qiáng)調(diào)知識(shí)間的相互聯(lián)系，有句話說(shuō)得好：知識(shí)不在于多而在于聯(lián)。學(xué)生所學(xué)的知識(shí)能互相聯(lián)系、相互貫通，這樣建立起來(lái)的知識(shí)結(jié)構(gòu)就更加牢固。在測(cè)量教學(xué)中，教師引導(dǎo)學(xué)生從具體、直觀、顯性的圖形計(jì)算中發(fā)現(xiàn)圖形與圖形之間隱性的關(guān)聯(lián)，或者把數(shù)學(xué)思想方法從具體教學(xué)內(nèi)容中抽象出來(lái)，將能培養(yǎng)學(xué)生用聯(lián)系的眼光看待事物的能力。

此題是數(shù)學(xué)

教材（五年級(jí)上）

“多邊形單元復(fù)

習(xí)”中的一道題，通過(guò)測(cè)量計(jì)算長(zhǎng)方形、平行四邊形、梯形和三角形的面積，復(fù)習(xí)鞏固各種圖形面積計(jì)算公式。復(fù)習(xí)鞏固階段，對(duì)習(xí)題的處理與設(shè)置，應(yīng)注重讓學(xué)生在解決一個(gè)具體問(wèn)題時(shí)，把所學(xué)的知識(shí)串聯(lián)起來(lái)，既起到復(fù)習(xí)鞏固的作用，又能讓學(xué)生獲得新的收獲。在高相等的條件下，通過(guò)比較面積，加深學(xué)生對(duì)圖形面積與底和高關(guān)系的認(rèn)識(shí)，進(jìn)一步加深對(duì)計(jì)算公式的理解。筆者認(rèn)為還可以繼續(xù)在此題上做文章，第三個(gè)梯形的上下底分別是1cm和1.6cm，讓學(xué)生思考，當(dāng)梯形上底變成1.6cm時(shí)，想想是什么圖形，再列式計(jì)算。反饋時(shí)會(huì)出現(xiàn)變成了長(zhǎng)方形和平行四邊形兩種情況，也會(huì)出現(xiàn)兩種列式法：1.6×2和（1.6+1.6）×2÷2，第一種列式是學(xué)生根據(jù)想象后的新圖形計(jì)算公式算的，第二種還是根據(jù)梯形面積計(jì)算公式算，比較分析兩種算法，從而發(fā)現(xiàn)平行四邊形面積可以用梯形面積公式來(lái)算。繼續(xù)思考當(dāng)梯形上底不斷變短最終為0時(shí)，成了什么圖形？列式計(jì)算面積，同樣出現(xiàn)兩種算法：1.6×2÷2和（0+1.6）×2÷2，此時(shí)，學(xué)生恍然大悟，在幾種不同平面圖形的不同面積計(jì)算方法的顯性表象背后，還藏著這么隱蔽的緊密聯(lián)系，梯形面積計(jì)算公式可以用來(lái)算長(zhǎng)方形、平行四邊形和三角形的面積。

又如數(shù)學(xué)教材（五年級(jí)下）”長(zhǎng)方體表面積計(jì)算“的練習(xí)中有一道選做題，此題看圖數(shù)相應(yīng)要求的正方體塊數(shù)，需要學(xué)生有較好的空間想象力，由于學(xué)生玩過(guò)魔方，此大正方體就是一個(gè)三階魔方，學(xué)生通過(guò)觀察，能數(shù)出正確個(gè)數(shù)，但思維層面沒(méi)有很好得到鍛煉。如果此時(shí)類(lèi)推到由64個(gè)小正方體和125個(gè)小正方體搭成的大正方體的涂色問(wèn)題，學(xué)生一定會(huì)懵了。我認(rèn)為在得到正確結(jié)果后，可以組織學(xué)生觀察三面涂色的小正方體的位置，由此聯(lián)想到與正方體的頂點(diǎn)位置有關(guān)，依次發(fā)現(xiàn)一面涂色的小正方體的位置與面有關(guān)，二面涂色的小正方體位置與棱有關(guān)。當(dāng)隱含的規(guī)律與顯性的小正方形個(gè)數(shù)聯(lián)系起來(lái)時(shí)，學(xué)生就能建立起模型。64個(gè)、125個(gè)小正方體搭成的大正方體的涂色問(wèn)題只需先考慮一層的涂色情況，再與面、棱、頂點(diǎn)的數(shù)量相結(jié)合，問(wèn)題的解決就變得有條有理了。

教師在教學(xué)中深度挖掘隱性因素，使顯性知識(shí)與隱性知識(shí)巧妙、緊密聯(lián)系，將隱性知識(shí)顯性化，真正為學(xué)生所領(lǐng)悟，這對(duì)于圖形教學(xué)中培養(yǎng)學(xué)生的各方面能力是很有幫助的。

四、“一”“類(lèi)”互變，思維適度延展

很多練習(xí)題，本質(zhì)上存在著相關(guān)性、相似性，卻不易被學(xué)生察覺(jué)，如果在練習(xí)中教師是個(gè)有心人，就會(huì)將一系列相關(guān)的類(lèi)型進(jìn)行對(duì)比整合，拓寬學(xué)生的解題思路，這樣就能達(dá)到“練一題，帶一串”的教學(xué)效果，實(shí)現(xiàn)思維的延展。

比如應(yīng)用“等底等高的平行四邊形面積相等、等底等高的三角形面積相等、等底等高的三角形的面積是平行四邊形面積的一半”的知識(shí)能解決很多難易不同的題，教材在平行四邊形和三角形面積計(jì)算教學(xué)后的練習(xí)中都有安排此類(lèi)問(wèn)題。在教學(xué)中教師就要注意整合、類(lèi)比、拓展。右圖兩題是“三角形面積計(jì)算”后的練習(xí)，通過(guò)第6題的練習(xí)，學(xué)生除了知道等底等高的三角形面積相等外，還要知道兩個(gè)相同面積的三角形去掉公共部分，剩余面積相等，即上面兩個(gè)小三角形面積相等。第7題除了連接三角形三條邊的中點(diǎn)，形成的4個(gè)三角形面積相等，還可以將三角形任一邊平均分成4段，把各分點(diǎn)與對(duì)應(yīng)頂點(diǎn)連接成4個(gè)面積相等的三角形。這樣分的理由就是四個(gè)三角形等底等高。第9題雖是選做題，但學(xué)生若是能聯(lián)想到用等底等高的知識(shí)來(lái)解決，這道題便很簡(jiǎn)單了。

教材中的題還算簡(jiǎn)單，教師可以適當(dāng)補(bǔ)充同類(lèi)題，看似復(fù)雜，卻可以應(yīng)用“等底等高”知識(shí)來(lái)解決，讓學(xué)生的解題思維更開(kāi)闊。

■

如上圖兩題都是求陰影部分的面積（單位：cm），第1題學(xué)生想到最多的是通過(guò)直角三角形求出梯形的高，再用梯形面積減去三角形面積得到陰影部分面積。教師應(yīng)引導(dǎo)學(xué)生添加輔助線，用“等底等高”的知識(shí)說(shuō)明兩個(gè)陰影三角形可以轉(zhuǎn)化成一個(gè)三角形（如圖），只要直接求一個(gè)底是4cm、高是2.4cm的三角形面積。第2題的陰影部分看似很難，找不到相關(guān)信息，也能通過(guò)“等底等高”的知識(shí)發(fā)現(xiàn)平行四邊形和長(zhǎng)方形面積相等，而去掉一個(gè)公共三角形后，剩余部分面積相等，求陰影部分的面積就轉(zhuǎn)化為求“上下底是2、8，高為12”的梯形面積。

再如右圖，已知三角形

ABC的面積為64平方厘米，

是平行四邊形DEFC面積的

2倍，求陰影部分面積。陰影部分是個(gè)三角形，與平行四邊形等底等高，面積存在2倍關(guān)系，因此陰影部分的面積就是三角形面積的四分之一。

深刻挖掘練習(xí)題的相關(guān)功能，由一組題延伸出一連串相似性問(wèn)題，使學(xué)生在對(duì)比分析的基礎(chǔ)上形成靈活解決問(wèn)題的技能，使看似無(wú)法解決的問(wèn)題輕松得到解決，達(dá)到解一題通一類(lèi)的目的。

以上例舉的只是數(shù)學(xué)教材（五年級(jí)上下冊(cè)）圖形與幾何領(lǐng)域測(cè)量?jī)?nèi)容中的一部分習(xí)題的變式利用，圖形與幾何內(nèi)容還包括圖形的認(rèn)識(shí)、圖形的運(yùn)動(dòng)、圖形與位置等，由于教學(xué)內(nèi)容各異，變式訓(xùn)練的途徑和方法也遠(yuǎn)不止以上例舉的四種，我們可以結(jié)合習(xí)題的特征和學(xué)生的認(rèn)知情況，在學(xué)生的“最近發(fā)展區(qū)”從不同的角度加以變式處理，以發(fā)展學(xué)生的空間觀念為關(guān)注點(diǎn)，最大限度地發(fā)掘習(xí)題的訓(xùn)練價(jià)值，相信通過(guò)我們有意識(shí)地培養(yǎng)，學(xué)生的空間觀念能得到更有效發(fā)展，實(shí)現(xiàn)從計(jì)算幾何走向觀念幾何的轉(zhuǎn)變。

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三、“顯”“隱”互變，尋求圖形關(guān)聯(lián)

數(shù)學(xué)的學(xué)習(xí)強(qiáng)調(diào)知識(shí)間的相互聯(lián)系，有句話說(shuō)得好：知識(shí)不在于多而在于聯(lián)。學(xué)生所學(xué)的知識(shí)能互相聯(lián)系、相互貫通，這樣建立起來(lái)的知識(shí)結(jié)構(gòu)就更加牢固。在測(cè)量教學(xué)中，教師引導(dǎo)學(xué)生從具體、直觀、顯性的圖形計(jì)算中發(fā)現(xiàn)圖形與圖形之間隱性的關(guān)聯(lián)，或者把數(shù)學(xué)思想方法從具體教學(xué)內(nèi)容中抽象出來(lái)，將能培養(yǎng)學(xué)生用聯(lián)系的眼光看待事物的能力。

此題是數(shù)學(xué)

教材（五年級(jí)上）

“多邊形單元復(fù)

習(xí)”中的一道題，通過(guò)測(cè)量計(jì)算長(zhǎng)方形、平行四邊形、梯形和三角形的面積，復(fù)習(xí)鞏固各種圖形面積計(jì)算公式。復(fù)習(xí)鞏固階段，對(duì)習(xí)題的處理與設(shè)置，應(yīng)注重讓學(xué)生在解決一個(gè)具體問(wèn)題時(shí)，把所學(xué)的知識(shí)串聯(lián)起來(lái)，既起到復(fù)習(xí)鞏固的作用，又能讓學(xué)生獲得新的收獲。在高相等的條件下，通過(guò)比較面積，加深學(xué)生對(duì)圖形面積與底和高關(guān)系的認(rèn)識(shí)，進(jìn)一步加深對(duì)計(jì)算公式的理解。筆者認(rèn)為還可以繼續(xù)在此題上做文章，第三個(gè)梯形的上下底分別是1cm和1.6cm，讓學(xué)生思考，當(dāng)梯形上底變成1.6cm時(shí)，想想是什么圖形，再列式計(jì)算。反饋時(shí)會(huì)出現(xiàn)變成了長(zhǎng)方形和平行四邊形兩種情況，也會(huì)出現(xiàn)兩種列式法：1.6×2和（1.6+1.6）×2÷2，第一種列式是學(xué)生根據(jù)想象后的新圖形計(jì)算公式算的，第二種還是根據(jù)梯形面積計(jì)算公式算，比較分析兩種算法，從而發(fā)現(xiàn)平行四邊形面積可以用梯形面積公式來(lái)算。繼續(xù)思考當(dāng)梯形上底不斷變短最終為0時(shí)，成了什么圖形？列式計(jì)算面積，同樣出現(xiàn)兩種算法：1.6×2÷2和（0+1.6）×2÷2，此時(shí)，學(xué)生恍然大悟，在幾種不同平面圖形的不同面積計(jì)算方法的顯性表象背后，還藏著這么隱蔽的緊密聯(lián)系，梯形面積計(jì)算公式可以用來(lái)算長(zhǎng)方形、平行四邊形和三角形的面積。

又如數(shù)學(xué)教材（五年級(jí)下）”長(zhǎng)方體表面積計(jì)算“的練習(xí)中有一道選做題，此題看圖數(shù)相應(yīng)要求的正方體塊數(shù)，需要學(xué)生有較好的空間想象力，由于學(xué)生玩過(guò)魔方，此大正方體就是一個(gè)三階魔方，學(xué)生通過(guò)觀察，能數(shù)出正確個(gè)數(shù)，但思維層面沒(méi)有很好得到鍛煉。如果此時(shí)類(lèi)推到由64個(gè)小正方體和125個(gè)小正方體搭成的大正方體的涂色問(wèn)題，學(xué)生一定會(huì)懵了。我認(rèn)為在得到正確結(jié)果后，可以組織學(xué)生觀察三面涂色的小正方體的位置，由此聯(lián)想到與正方體的頂點(diǎn)位置有關(guān)，依次發(fā)現(xiàn)一面涂色的小正方體的位置與面有關(guān)，二面涂色的小正方體位置與棱有關(guān)。當(dāng)隱含的規(guī)律與顯性的小正方形個(gè)數(shù)聯(lián)系起來(lái)時(shí)，學(xué)生就能建立起模型。64個(gè)、125個(gè)小正方體搭成的大正方體的涂色問(wèn)題只需先考慮一層的涂色情況，再與面、棱、頂點(diǎn)的數(shù)量相結(jié)合，問(wèn)題的解決就變得有條有理了。

教師在教學(xué)中深度挖掘隱性因素，使顯性知識(shí)與隱性知識(shí)巧妙、緊密聯(lián)系，將隱性知識(shí)顯性化，真正為學(xué)生所領(lǐng)悟，這對(duì)于圖形教學(xué)中培養(yǎng)學(xué)生的各方面能力是很有幫助的。

四、“一”“類(lèi)”互變，思維適度延展

很多練習(xí)題，本質(zhì)上存在著相關(guān)性、相似性，卻不易被學(xué)生察覺(jué)，如果在練習(xí)中教師是個(gè)有心人，就會(huì)將一系列相關(guān)的類(lèi)型進(jìn)行對(duì)比整合，拓寬學(xué)生的解題思路，這樣就能達(dá)到“練一題，帶一串”的教學(xué)效果，實(shí)現(xiàn)思維的延展。

比如應(yīng)用“等底等高的平行四邊形面積相等、等底等高的三角形面積相等、等底等高的三角形的面積是平行四邊形面積的一半”的知識(shí)能解決很多難易不同的題，教材在平行四邊形和三角形面積計(jì)算教學(xué)后的練習(xí)中都有安排此類(lèi)問(wèn)題。在教學(xué)中教師就要注意整合、類(lèi)比、拓展。右圖兩題是“三角形面積計(jì)算”后的練習(xí)，通過(guò)第6題的練習(xí)，學(xué)生除了知道等底等高的三角形面積相等外，還要知道兩個(gè)相同面積的三角形去掉公共部分，剩余面積相等，即上面兩個(gè)小三角形面積相等。第7題除了連接三角形三條邊的中點(diǎn)，形成的4個(gè)三角形面積相等，還可以將三角形任一邊平均分成4段，把各分點(diǎn)與對(duì)應(yīng)頂點(diǎn)連接成4個(gè)面積相等的三角形。這樣分的理由就是四個(gè)三角形等底等高。第9題雖是選做題，但學(xué)生若是能聯(lián)想到用等底等高的知識(shí)來(lái)解決，這道題便很簡(jiǎn)單了。

教材中的題還算簡(jiǎn)單，教師可以適當(dāng)補(bǔ)充同類(lèi)題，看似復(fù)雜，卻可以應(yīng)用“等底等高”知識(shí)來(lái)解決，讓學(xué)生的解題思維更開(kāi)闊。

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如上圖兩題都是求陰影部分的面積（單位：cm），第1題學(xué)生想到最多的是通過(guò)直角三角形求出梯形的高，再用梯形面積減去三角形面積得到陰影部分面積。教師應(yīng)引導(dǎo)學(xué)生添加輔助線，用“等底等高”的知識(shí)說(shuō)明兩個(gè)陰影三角形可以轉(zhuǎn)化成一個(gè)三角形（如圖），只要直接求一個(gè)底是4cm、高是2.4cm的三角形面積。第2題的陰影部分看似很難，找不到相關(guān)信息，也能通過(guò)“等底等高”的知識(shí)發(fā)現(xiàn)平行四邊形和長(zhǎng)方形面積相等，而去掉一個(gè)公共三角形后，剩余部分面積相等，求陰影部分的面積就轉(zhuǎn)化為求“上下底是2、8，高為12”的梯形面積。

再如右圖，已知三角形

ABC的面積為64平方厘米，

是平行四邊形DEFC面積的

2倍，求陰影部分面積。陰影部分是個(gè)三角形，與平行四邊形等底等高，面積存在2倍關(guān)系，因此陰影部分的面積就是三角形面積的四分之一。

深刻挖掘練習(xí)題的相關(guān)功能，由一組題延伸出一連串相似性問(wèn)題，使學(xué)生在對(duì)比分析的基礎(chǔ)上形成靈活解決問(wèn)題的技能，使看似無(wú)法解決的問(wèn)題輕松得到解決，達(dá)到解一題通一類(lèi)的目的。

以上例舉的只是數(shù)學(xué)教材（五年級(jí)上下冊(cè)）圖形與幾何領(lǐng)域測(cè)量?jī)?nèi)容中的一部分習(xí)題的變式利用，圖形與幾何內(nèi)容還包括圖形的認(rèn)識(shí)、圖形的運(yùn)動(dòng)、圖形與位置等，由于教學(xué)內(nèi)容各異，變式訓(xùn)練的途徑和方法也遠(yuǎn)不止以上例舉的四種，我們可以結(jié)合習(xí)題的特征和學(xué)生的認(rèn)知情況，在學(xué)生的“最近發(fā)展區(qū)”從不同的角度加以變式處理，以發(fā)展學(xué)生的空間觀念為關(guān)注點(diǎn)，最大限度地發(fā)掘習(xí)題的訓(xùn)練價(jià)值，相信通過(guò)我們有意識(shí)地培養(yǎng)，學(xué)生的空間觀念能得到更有效發(fā)展，實(shí)現(xiàn)從計(jì)算幾何走向觀念幾何的轉(zhuǎn)變。

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