周亞華

著名的數(shù)學(xué)家波利亞認(rèn)為，中學(xué)教育根本的宗旨是教會(huì)年輕人思考，掌握數(shù)學(xué)意味著善于解題，不僅善于解一些標(biāo)準(zhǔn)的問(wèn)題，而且善于解一些要求獨(dú)立思考，思路合理，見(jiàn)解獨(dú)到和需要?jiǎng)?chuàng)造力的問(wèn)題。

初中數(shù)學(xué)教學(xué)的一線教師不難發(fā)現(xiàn)，在數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中成績(jī)中等學(xué)生在新授課時(shí)一般都能聽(tīng)懂老師上課內(nèi)容，對(duì)于一些標(biāo)準(zhǔn)問(wèn)題，也能模仿完成，但需要獨(dú)立完成的思考題他們則顯得困難重重，那么如何提高中等學(xué)生的數(shù)學(xué)解題能力呢？

一、重視數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)新知自主感悟，掌握數(shù)學(xué)思維的規(guī)律性

中等學(xué)生能聽(tīng)懂新知但不會(huì)解能力題，這主要是因?yàn)橹苯訌睦蠋熁驎?shū)本那兒被動(dòng)地不假思索地接受過(guò)來(lái)的知識(shí)，可能很快忘掉，難于成為自己的東西，更難形成解決問(wèn)題的方法。在新知學(xué)習(xí)中若能由學(xué)生自己去發(fā)現(xiàn)，理解就深刻，也容易掌握其中的規(guī)律、性質(zhì)和聯(lián)系。例如：上教版九年級(jí)課本“相似三角形”一章中的“平行線分線段成比例定理”即兩條直線被三條平行直線所截，截得的對(duì)應(yīng)線段成比例，對(duì)于定理的證明教材上給出“標(biāo)準(zhǔn)圖形”（見(jiàn)圖1）的證明，配套的例題也是“標(biāo)準(zhǔn)圖形”下的計(jì)算，而中等學(xué)生在練習(xí)中遇到如圖2時(shí)，直線l1、l2、l3分別交直線l4于點(diǎn)A、B、C，交直線l5于點(diǎn)D、E、F，且l1∥l2∥l3，已知AB=3，AC=5，DF=9，求DE、EF的長(zhǎng)。他們就束手無(wú)策，或試圖通過(guò)添輔助線轉(zhuǎn)化成“標(biāo)準(zhǔn)圖形”。為解決此問(wèn)題，在教學(xué)中可引導(dǎo)學(xué)生在證明定理的環(huán)節(jié)中，自主畫(huà)出兩條直線被三條平行直線所截時(shí)可能出現(xiàn)的除標(biāo)準(zhǔn)圖形外各種不同的位置，見(jiàn)圖3、圖4、圖5，自主感悟平行線分線段成比例定理與三角形一邊平行線性質(zhì)定理及推論的關(guān)系，從而提高解決問(wèn)題的能力。

“紙上得來(lái)終覺(jué)淺，絕知此事要躬行”，學(xué)生解題能力的形成，不僅僅是教師傳授，更是學(xué)生通過(guò)親自經(jīng)歷，自主動(dòng)手、動(dòng)腦，不斷總結(jié)歸納的結(jié)果，掌握數(shù)學(xué)思維的規(guī)律性。

二、重視數(shù)學(xué)解題過(guò)程中類比方法應(yīng)用，增強(qiáng)數(shù)學(xué)思維的發(fā)散性

學(xué)習(xí)難，學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)更難，許多人對(duì)數(shù)學(xué)望而生畏，大有談虎色變的趨勢(shì)，不少人有這樣的經(jīng)歷。一道題，自己總也想不出解法，而別人卻輕而易舉地給出了絕妙的解法，此時(shí)你最希望知道的是“你是怎樣想出這個(gè)解法？為什么我沒(méi)有想到呢？”

例如：2013年黃浦區(qū)中考模擬題第25題如圖6，在梯形ABCD中，AD=BC=10，tan∠ADC= ，E是AD腰上一點(diǎn)，且AE：ED=1：3。（1）當(dāng)AB：CD=1：3時(shí)，求梯形ABCD的面積；（2）當(dāng)∠ABE=∠BCE時(shí)，求BE線段的長(zhǎng)；（3）當(dāng)△BCE是直角三角形時(shí)，求邊AB的長(zhǎng)。

參考答案見(jiàn)下：

解：（1）作AH⊥CD，垂足為H，

在Rt△ADH中，AD=10，tan∠D= ，

設(shè)AH=4k，DH=3k，則（4k）2+（3k）2=102，

解得k=2，所以AH=4k=8，DH=3k=6，

由等腰梯形ABCD知，CD=AB+12，又AB：CD=1：3，

得AB=6，CD=18，

所以梯形ABCD的面積為S= （AB+CD）·AH=96。

（2）延長(zhǎng)BE、CD交于點(diǎn)P，

∵AE：ED=1：3，AB∥CD，

∴BE：EP=1：3，令BE=x，則BP=4x，

∵AB∥CD，

∴∠ABE=∠P，又∠ABE=∠BCE，

∴∠BCE=∠P，又∠CBE=∠PBC，

∴△BCE∽△BPC，

∴ = ，

即x·4x=102，

解得x=5，即BE=5。

（3）設(shè)AB=a，則DP=3a，CP=12+4a，

當(dāng)∠CBE=900時(shí)，

在Rt△BCP中，BC=10，tan∠BCP=tan∠ADC= ，

所以BP=10× = ，

CP= = ，

=12+4a，解得a= 。

當(dāng)∠CEB=900時(shí)，

過(guò)E作底邊CD的垂線，在底邊AB、CD上的垂足分別為M、N，

易知△AME∽△DNE∽△AHD，

∴ME=2，MA= ，EN=6，DN= ，

= ，即 = ，

解得a=- ± （舍負(fù)），

又∵∠BCE<∠BCP<900，

所以當(dāng)△BCE是直角三角形時(shí)，AB= 或- + 。

本題第（3）題難度較高，學(xué)生練習(xí)后統(tǒng)計(jì)準(zhǔn)確解答的人數(shù)較少，那讓我們一起看一位優(yōu)秀學(xué)生的解答，他在討論∠CBE=900時(shí)，添的輔助線是過(guò)點(diǎn)E作EF⊥AB，CG⊥AB，形成三個(gè)直角三角形，其中兩個(gè)直角三角形△EBF∽△BCG相似，這樣討論∠CEB=900時(shí)，過(guò)E作AB的垂線，可證明同時(shí)垂直于CD，也形成三個(gè)直角三角形，其中兩個(gè)直角三角形相似，把需要分類的兩種不同情況很好地結(jié)合起來(lái)。

我們來(lái)聽(tīng)聽(tīng)他是如何交流的：“我們?cè)趯W(xué)習(xí)相似三角形時(shí)書(shū)上有三個(gè)直角三角形相似的基本圖形（見(jiàn)課本P36頁(yè)，作者注），練習(xí)冊(cè)也有類似的題目（見(jiàn)練習(xí)冊(cè)P12頁(yè)第3題，P14第3題，作者注），利用相似三角形對(duì)應(yīng)邊成比例能建立等量關(guān)系，我由此想到了解題方法?！鄙朴跉w納和聯(lián)想是他學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的法寶，也啟發(fā)當(dāng)我們直接求解困難時(shí)要考慮輔助方法，這就需要我們聯(lián)想，我們可以考慮能不能想出一個(gè)更容易著手的有關(guān)問(wèn)題？一個(gè)類比的問(wèn)題？在學(xué)習(xí)幾何新知時(shí)，重視基本圖形很重要，在不斷模仿解決問(wèn)題的步驟和方法，爭(zhēng)取達(dá)到靈活運(yùn)用和創(chuàng)造地解決問(wèn)題。

正如波利亞指出：解題的價(jià)值不是答案，而是弄清是“怎樣想到這個(gè)解法”“是什么促使你這樣想，這樣做”，這就是說(shuō)解題過(guò)程是一個(gè)思維過(guò)程，是一個(gè)把知識(shí)與問(wèn)題聯(lián)系起來(lái)思考、分析、探索的過(guò)程。endprint

三、重視數(shù)學(xué)解題通法的歸納，提升數(shù)學(xué)思維的集中性

在初中教學(xué)中我們還發(fā)現(xiàn)差不多類型的題目，成績(jī)中等的學(xué)生往往是會(huì)解這一題，但另一題就不會(huì)了，而思維靈活的學(xué)生會(huì)舉一反三解一類題。這就需要我們?cè)诮虒W(xué)中重視解題中的通法，在學(xué)法指導(dǎo)時(shí)除幫助學(xué)生解決手頭的問(wèn)題，更要培養(yǎng)學(xué)生將來(lái)能夠獨(dú)立解題的能力。例如：在數(shù)學(xué)學(xué)科教學(xué)基本要求P109～P111例題3，已知：如圖7，在梯形ABCD中，AD∥BC，點(diǎn)E是邊CD的中點(diǎn)，點(diǎn)F在邊BC上，EF∥AB。求證：BF= （AD+BC）。

這道例題的作用是復(fù)習(xí)梯形中常用添輔助線的方法。從結(jié)論出發(fā)考慮學(xué)生很容易想到取AB的中點(diǎn)M，聯(lián)結(jié)EM，利用梯形的中位線證明，本題應(yīng)考慮從特殊到一般，重視通法，證明一條線段等于另兩條線段的和，通法是作一條長(zhǎng)度等于AD+BC的線段，于是考慮把AD平移到BC相接的位置，可通過(guò)聯(lián)結(jié)AE并延長(zhǎng)交BC的延長(zhǎng)線于G。

再看本題后的一道“想一想”問(wèn)題：已知：如圖8，在梯形ABCD中，AD∥BC，點(diǎn)E是邊CD的一點(diǎn)，且DE：EC=1：2，點(diǎn)F在邊BC上，EF∥AB，問(wèn)BF與AD、BC之間的數(shù)量關(guān)系是什么？如何證明？此時(shí)E不是中點(diǎn)了，但我們有思考線段和差之間的通法，學(xué)生能得出多種證明方法，如類比例題證法，還是聯(lián)結(jié)AE并延長(zhǎng)交BC的延長(zhǎng)線于G，易證CG=2AD，而FG=2BF，變換易得出BF= （2AD+BC）。另可延長(zhǎng)FE、AD交于點(diǎn)M，易證BF=AM，DM= CF，變換也易得出BF= （2AD+BC）。也可以過(guò)D作DG∥AB，把AD移到BC上，與BG相等，易證FG= CF，變換易得出結(jié)論。

本題還可以拓展：在梯形ABCD中，AD∥BC，點(diǎn)E是邊CD的一點(diǎn)，且DE：EC=1：m，點(diǎn)F在邊BC上，EF∥AB，問(wèn)BF與AD、BC之間的數(shù)量關(guān)系是什么？如何證明？對(duì)同一問(wèn)題不斷拓展，這樣能更好訓(xùn)練思維，要提高中等學(xué)生的思維靈活性，思考問(wèn)題的方法很重要。

“授人以魚(yú)，不如授人以漁”，數(shù)學(xué)的學(xué)習(xí)是學(xué)生自己體驗(yàn)、探索、實(shí)踐的過(guò)程，讓學(xué)生自己去“做”數(shù)學(xué)，“想”數(shù)學(xué)，認(rèn)真體會(huì)數(shù)學(xué)的思想與方法。

四、重視學(xué)生解題后自主反思，挖掘數(shù)學(xué)思維的深刻性

數(shù)學(xué)是一門(mén)以嚴(yán)密性為主要特征的學(xué)科，要求在解題過(guò)程中對(duì)推理論證、計(jì)算等語(yǔ)言表達(dá)嚴(yán)密、邏輯性強(qiáng)。而中等學(xué)生往往在解題中出現(xiàn)表達(dá)不完整，忽略試題中的限制條件。因此在數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中讓學(xué)生學(xué)會(huì)反思解題過(guò)程。

例如：已知：x= ，y= ，試用含x的代數(shù)式表示y。

部分學(xué)生的初步解題過(guò)程如下：由x= ，

去分母整理得（x+1）k=1-x，

兩邊同除以（x+1），可得k= 。

由y= ，

去分母整理得（3-2y）k=2-3y，

兩邊同除以（3-2y），

可得k= 。

從而可知 = ，

去分母整理得（5x+1）k=5x-1，

兩邊同除以（5x+1），

可得y= 。

引導(dǎo)學(xué)生反思解題過(guò)程，提出了四個(gè)問(wèn)題，

（1）（x+1）k=1-x，為什么兩邊可以同除以（x+1）得k= ？

（2）（3-2y）k=2-3y，為什么兩邊同除以（3-2y）得k= ？

（3）（5x+1）k=5x-1，為什么兩邊可以同除以（5x+1）得y= ？

（4）最后式子y= 中是否有限制條件？

學(xué)生自主反思后發(fā)現(xiàn)問(wèn)題：

（1）當(dāng)x+1=0時(shí)，出現(xiàn)0·k=2，此等式不可能成立。所以x≠1。

（2）當(dāng)3-2y=0時(shí)，出現(xiàn)0·k=- ，此等式不可能成立。所以3-2y≠0。

（3）由條件y= 可知3-2k≠0，所以k≠ ，

而當(dāng)k= 時(shí)，x=- ，所以5x+1≠0。

（4）最后結(jié)y= 論中應(yīng)有限制條件x≠-1。

提高了學(xué)生解題的反思能力，其本質(zhì)是提高了他們的自主學(xué)習(xí)能力，使數(shù)學(xué)成為有趣的事情，這從優(yōu)秀學(xué)生的話語(yǔ)中我們不難發(fā)現(xiàn)，“這道題我驗(yàn)算過(guò)肯定正確！”“太高興了！我發(fā)現(xiàn)了一種更簡(jiǎn)便的方法！”當(dāng)數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)有了興趣，相信數(shù)學(xué)的解題會(huì)成為思維的體操，成為一種樂(lè)趣。

綜上所述，中等水平的學(xué)生雖然對(duì)標(biāo)準(zhǔn)、基礎(chǔ)題能解，但對(duì)思考題、綜合問(wèn)題卻難于入手，通過(guò)多方面的努力，從數(shù)學(xué)思維出發(fā)，在規(guī)律性、發(fā)散性、集中性、深刻性上做足文章，中等水平學(xué)生的數(shù)學(xué)解題能力的上升空間仍然是很大的。

（作者單位：上海市羅星中學(xué)）endprint

三、重視數(shù)學(xué)解題通法的歸納，提升數(shù)學(xué)思維的集中性

在初中教學(xué)中我們還發(fā)現(xiàn)差不多類型的題目，成績(jī)中等的學(xué)生往往是會(huì)解這一題，但另一題就不會(huì)了，而思維靈活的學(xué)生會(huì)舉一反三解一類題。這就需要我們?cè)诮虒W(xué)中重視解題中的通法，在學(xué)法指導(dǎo)時(shí)除幫助學(xué)生解決手頭的問(wèn)題，更要培養(yǎng)學(xué)生將來(lái)能夠獨(dú)立解題的能力。例如：在數(shù)學(xué)學(xué)科教學(xué)基本要求P109～P111例題3，已知：如圖7，在梯形ABCD中，AD∥BC，點(diǎn)E是邊CD的中點(diǎn)，點(diǎn)F在邊BC上，EF∥AB。求證：BF= （AD+BC）。

這道例題的作用是復(fù)習(xí)梯形中常用添輔助線的方法。從結(jié)論出發(fā)考慮學(xué)生很容易想到取AB的中點(diǎn)M，聯(lián)結(jié)EM，利用梯形的中位線證明，本題應(yīng)考慮從特殊到一般，重視通法，證明一條線段等于另兩條線段的和，通法是作一條長(zhǎng)度等于AD+BC的線段，于是考慮把AD平移到BC相接的位置，可通過(guò)聯(lián)結(jié)AE并延長(zhǎng)交BC的延長(zhǎng)線于G。

再看本題后的一道“想一想”問(wèn)題：已知：如圖8，在梯形ABCD中，AD∥BC，點(diǎn)E是邊CD的一點(diǎn)，且DE：EC=1：2，點(diǎn)F在邊BC上，EF∥AB，問(wèn)BF與AD、BC之間的數(shù)量關(guān)系是什么？如何證明？此時(shí)E不是中點(diǎn)了，但我們有思考線段和差之間的通法，學(xué)生能得出多種證明方法，如類比例題證法，還是聯(lián)結(jié)AE并延長(zhǎng)交BC的延長(zhǎng)線于G，易證CG=2AD，而FG=2BF，變換易得出BF= （2AD+BC）。另可延長(zhǎng)FE、AD交于點(diǎn)M，易證BF=AM，DM= CF，變換也易得出BF= （2AD+BC）。也可以過(guò)D作DG∥AB，把AD移到BC上，與BG相等，易證FG= CF，變換易得出結(jié)論。

本題還可以拓展：在梯形ABCD中，AD∥BC，點(diǎn)E是邊CD的一點(diǎn)，且DE：EC=1：m，點(diǎn)F在邊BC上，EF∥AB，問(wèn)BF與AD、BC之間的數(shù)量關(guān)系是什么？如何證明？對(duì)同一問(wèn)題不斷拓展，這樣能更好訓(xùn)練思維，要提高中等學(xué)生的思維靈活性，思考問(wèn)題的方法很重要。

“授人以魚(yú)，不如授人以漁”，數(shù)學(xué)的學(xué)習(xí)是學(xué)生自己體驗(yàn)、探索、實(shí)踐的過(guò)程，讓學(xué)生自己去“做”數(shù)學(xué)，“想”數(shù)學(xué)，認(rèn)真體會(huì)數(shù)學(xué)的思想與方法。

四、重視學(xué)生解題后自主反思，挖掘數(shù)學(xué)思維的深刻性

數(shù)學(xué)是一門(mén)以嚴(yán)密性為主要特征的學(xué)科，要求在解題過(guò)程中對(duì)推理論證、計(jì)算等語(yǔ)言表達(dá)嚴(yán)密、邏輯性強(qiáng)。而中等學(xué)生往往在解題中出現(xiàn)表達(dá)不完整，忽略試題中的限制條件。因此在數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中讓學(xué)生學(xué)會(huì)反思解題過(guò)程。

例如：已知：x= ，y= ，試用含x的代數(shù)式表示y。

部分學(xué)生的初步解題過(guò)程如下：由x= ，

去分母整理得（x+1）k=1-x，

兩邊同除以（x+1），可得k= 。

由y= ，

去分母整理得（3-2y）k=2-3y，

兩邊同除以（3-2y），

可得k= 。

從而可知 = ，

去分母整理得（5x+1）k=5x-1，

兩邊同除以（5x+1），

可得y= 。

引導(dǎo)學(xué)生反思解題過(guò)程，提出了四個(gè)問(wèn)題，

（1）（x+1）k=1-x，為什么兩邊可以同除以（x+1）得k= ？

（2）（3-2y）k=2-3y，為什么兩邊同除以（3-2y）得k= ？

（3）（5x+1）k=5x-1，為什么兩邊可以同除以（5x+1）得y= ？

（4）最后式子y= 中是否有限制條件？

學(xué)生自主反思后發(fā)現(xiàn)問(wèn)題：

（1）當(dāng)x+1=0時(shí)，出現(xiàn)0·k=2，此等式不可能成立。所以x≠1。

（2）當(dāng)3-2y=0時(shí)，出現(xiàn)0·k=- ，此等式不可能成立。所以3-2y≠0。

（3）由條件y= 可知3-2k≠0，所以k≠ ，

而當(dāng)k= 時(shí)，x=- ，所以5x+1≠0。

（4）最后結(jié)y= 論中應(yīng)有限制條件x≠-1。

提高了學(xué)生解題的反思能力，其本質(zhì)是提高了他們的自主學(xué)習(xí)能力，使數(shù)學(xué)成為有趣的事情，這從優(yōu)秀學(xué)生的話語(yǔ)中我們不難發(fā)現(xiàn)，“這道題我驗(yàn)算過(guò)肯定正確！”“太高興了！我發(fā)現(xiàn)了一種更簡(jiǎn)便的方法！”當(dāng)數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)有了興趣，相信數(shù)學(xué)的解題會(huì)成為思維的體操，成為一種樂(lè)趣。

綜上所述，中等水平的學(xué)生雖然對(duì)標(biāo)準(zhǔn)、基礎(chǔ)題能解，但對(duì)思考題、綜合問(wèn)題卻難于入手，通過(guò)多方面的努力，從數(shù)學(xué)思維出發(fā)，在規(guī)律性、發(fā)散性、集中性、深刻性上做足文章，中等水平學(xué)生的數(shù)學(xué)解題能力的上升空間仍然是很大的。

（作者單位：上海市羅星中學(xué)）endprint

三、重視數(shù)學(xué)解題通法的歸納，提升數(shù)學(xué)思維的集中性

在初中教學(xué)中我們還發(fā)現(xiàn)差不多類型的題目，成績(jī)中等的學(xué)生往往是會(huì)解這一題，但另一題就不會(huì)了，而思維靈活的學(xué)生會(huì)舉一反三解一類題。這就需要我們?cè)诮虒W(xué)中重視解題中的通法，在學(xué)法指導(dǎo)時(shí)除幫助學(xué)生解決手頭的問(wèn)題，更要培養(yǎng)學(xué)生將來(lái)能夠獨(dú)立解題的能力。例如：在數(shù)學(xué)學(xué)科教學(xué)基本要求P109～P111例題3，已知：如圖7，在梯形ABCD中，AD∥BC，點(diǎn)E是邊CD的中點(diǎn)，點(diǎn)F在邊BC上，EF∥AB。求證：BF= （AD+BC）。

這道例題的作用是復(fù)習(xí)梯形中常用添輔助線的方法。從結(jié)論出發(fā)考慮學(xué)生很容易想到取AB的中點(diǎn)M，聯(lián)結(jié)EM，利用梯形的中位線證明，本題應(yīng)考慮從特殊到一般，重視通法，證明一條線段等于另兩條線段的和，通法是作一條長(zhǎng)度等于AD+BC的線段，于是考慮把AD平移到BC相接的位置，可通過(guò)聯(lián)結(jié)AE并延長(zhǎng)交BC的延長(zhǎng)線于G。

再看本題后的一道“想一想”問(wèn)題：已知：如圖8，在梯形ABCD中，AD∥BC，點(diǎn)E是邊CD的一點(diǎn)，且DE：EC=1：2，點(diǎn)F在邊BC上，EF∥AB，問(wèn)BF與AD、BC之間的數(shù)量關(guān)系是什么？如何證明？此時(shí)E不是中點(diǎn)了，但我們有思考線段和差之間的通法，學(xué)生能得出多種證明方法，如類比例題證法，還是聯(lián)結(jié)AE并延長(zhǎng)交BC的延長(zhǎng)線于G，易證CG=2AD，而FG=2BF，變換易得出BF= （2AD+BC）。另可延長(zhǎng)FE、AD交于點(diǎn)M，易證BF=AM，DM= CF，變換也易得出BF= （2AD+BC）。也可以過(guò)D作DG∥AB，把AD移到BC上，與BG相等，易證FG= CF，變換易得出結(jié)論。

本題還可以拓展：在梯形ABCD中，AD∥BC，點(diǎn)E是邊CD的一點(diǎn)，且DE：EC=1：m，點(diǎn)F在邊BC上，EF∥AB，問(wèn)BF與AD、BC之間的數(shù)量關(guān)系是什么？如何證明？對(duì)同一問(wèn)題不斷拓展，這樣能更好訓(xùn)練思維，要提高中等學(xué)生的思維靈活性，思考問(wèn)題的方法很重要。

“授人以魚(yú)，不如授人以漁”，數(shù)學(xué)的學(xué)習(xí)是學(xué)生自己體驗(yàn)、探索、實(shí)踐的過(guò)程，讓學(xué)生自己去“做”數(shù)學(xué)，“想”數(shù)學(xué)，認(rèn)真體會(huì)數(shù)學(xué)的思想與方法。

四、重視學(xué)生解題后自主反思，挖掘數(shù)學(xué)思維的深刻性

數(shù)學(xué)是一門(mén)以嚴(yán)密性為主要特征的學(xué)科，要求在解題過(guò)程中對(duì)推理論證、計(jì)算等語(yǔ)言表達(dá)嚴(yán)密、邏輯性強(qiáng)。而中等學(xué)生往往在解題中出現(xiàn)表達(dá)不完整，忽略試題中的限制條件。因此在數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中讓學(xué)生學(xué)會(huì)反思解題過(guò)程。

例如：已知：x= ，y= ，試用含x的代數(shù)式表示y。

部分學(xué)生的初步解題過(guò)程如下：由x= ，

去分母整理得（x+1）k=1-x，

兩邊同除以（x+1），可得k= 。

由y= ，

去分母整理得（3-2y）k=2-3y，

兩邊同除以（3-2y），

可得k= 。

從而可知 = ，

去分母整理得（5x+1）k=5x-1，

兩邊同除以（5x+1），

可得y= 。

引導(dǎo)學(xué)生反思解題過(guò)程，提出了四個(gè)問(wèn)題，

（1）（x+1）k=1-x，為什么兩邊可以同除以（x+1）得k= ？

（2）（3-2y）k=2-3y，為什么兩邊同除以（3-2y）得k= ？

（3）（5x+1）k=5x-1，為什么兩邊可以同除以（5x+1）得y= ？

（4）最后式子y= 中是否有限制條件？

學(xué)生自主反思后發(fā)現(xiàn)問(wèn)題：

（1）當(dāng)x+1=0時(shí)，出現(xiàn)0·k=2，此等式不可能成立。所以x≠1。

（2）當(dāng)3-2y=0時(shí)，出現(xiàn)0·k=- ，此等式不可能成立。所以3-2y≠0。

（3）由條件y= 可知3-2k≠0，所以k≠ ，

而當(dāng)k= 時(shí)，x=- ，所以5x+1≠0。

（4）最后結(jié)y= 論中應(yīng)有限制條件x≠-1。

提高了學(xué)生解題的反思能力，其本質(zhì)是提高了他們的自主學(xué)習(xí)能力，使數(shù)學(xué)成為有趣的事情，這從優(yōu)秀學(xué)生的話語(yǔ)中我們不難發(fā)現(xiàn)，“這道題我驗(yàn)算過(guò)肯定正確！”“太高興了！我發(fā)現(xiàn)了一種更簡(jiǎn)便的方法！”當(dāng)數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)有了興趣，相信數(shù)學(xué)的解題會(huì)成為思維的體操，成為一種樂(lè)趣。

綜上所述，中等水平的學(xué)生雖然對(duì)標(biāo)準(zhǔn)、基礎(chǔ)題能解，但對(duì)思考題、綜合問(wèn)題卻難于入手，通過(guò)多方面的努力，從數(shù)學(xué)思維出發(fā)，在規(guī)律性、發(fā)散性、集中性、深刻性上做足文章，中等水平學(xué)生的數(shù)學(xué)解題能力的上升空間仍然是很大的。

（作者單位：上海市羅星中學(xué)）endprint