杜亞強(qiáng)

一、困惑

在例題講授時(shí)，學(xué)生的表現(xiàn)幾乎都是在等老師的“幫助”和所謂的啟發(fā)講授；在知識(shí)點(diǎn)小結(jié)概括時(shí)，學(xué)生在等老師的歸納、記老師的板書。當(dāng)教師提出一個(gè)相關(guān)的探索問題后，學(xué)生們不是積極地思考、主動(dòng)地舉手發(fā)言，而是怕被提問到的模樣，這樣就缺少了學(xué)生積極主動(dòng)思維的參與的課堂，教學(xué)效果大打折扣。

二、反思

出現(xiàn)上述情況涉及方方面面，但例題教學(xué)本身值得反思，數(shù)學(xué)的例題是知識(shí)由產(chǎn)生到應(yīng)用的關(guān)鍵一步，即所謂“拋磚引玉”，然而很多時(shí)候只是例題繼例題，缺少整合，解后并沒有引導(dǎo)學(xué)生進(jìn)行反思、追問，因而學(xué)生的學(xué)習(xí)也就停留在例題表層，形成不了觸類旁通的遷移能力，出現(xiàn)上述情況也就不足為奇怪。例題教學(xué)的解后反思應(yīng)該成為例題教學(xué)的一個(gè)重要內(nèi)容。下面筆者就對(duì)蘇教版必修5第1章《解三角形》的教學(xué)談一些自己的想法。

三、對(duì)策

（1）在方法規(guī)律處反思?！袄}千萬(wàn)道，解后拋九霄”難以達(dá)到提高解題能力、發(fā)展思維的目的。善于做解題后的反思、方法的歸類、規(guī)律的小結(jié)和技巧的揣摩，再進(jìn)一步做一題多變、一題多問、一題多解，挖掘例題的深度和廣度，擴(kuò)大例題的輻射面，無(wú)疑對(duì)能力的提高和思維的發(fā)展是大有裨益的。

例1：△ABC中，A、B的對(duì)邊分別是a、b且A=600、a=■、b=2，求角B。

解法一：由正弦定理得：■=■？圯sinB=■？圯B=45■或1350。

因?yàn)锽=1350與三角形內(nèi)角和為1800相矛盾，所以B=450。

點(diǎn)評(píng)：這種解法是直接法，利用三角形內(nèi)角和進(jìn)行判斷取舍，這樣符合思維習(xí)慣，但忽視“三角形內(nèi)角和”這個(gè)隱含條件很容易出錯(cuò)。

解法二：因?yàn)閍>b？圯A>B，所以B必為銳角。

由正弦定理得：■=■？圯sinB=■？圯B=45■。

點(diǎn)評(píng)：這種解法需熟悉幾何關(guān)系，先判斷解的個(gè)數(shù)，再求解，這樣便于很好地突破難點(diǎn)，正是所謂“謀定而后動(dòng)”。

一題多解是從不同的角度、不同的方位審視分析同一題中的數(shù)量關(guān)系，用不同解法求得相同結(jié)果的思維過程。教學(xué)中適當(dāng)?shù)囊活}多解，可以激發(fā)學(xué)生去發(fā)現(xiàn)和去創(chuàng)造的強(qiáng)烈欲望，加深學(xué)生對(duì)所學(xué)知識(shí)的深刻理解，訓(xùn)練學(xué)生對(duì)數(shù)學(xué)思想和數(shù)學(xué)方法的嫻熟運(yùn)用，鍛煉學(xué)生思維的廣闊性和深刻性、靈活性和獨(dú)創(chuàng)性，從而培養(yǎng)學(xué)生的思維品質(zhì)，發(fā)展學(xué)生的創(chuàng)新思維。

變式1：△ABC中，A、B的對(duì)邊分別是a、b且A=300、a=■、b=3，求角B。

（這是一道類比題，讓學(xué)生加強(qiáng)對(duì)題目條件的審視比較）

變式2：△ABC中，A、B的對(duì)邊分別是a、b且A=450、a=x、b=2，若解三角形時(shí)有兩解，求x的取值范圍。

（與前面相比，要求又提高了，將特殊問題轉(zhuǎn)化為一般問題，使數(shù)學(xué)知識(shí)得到了濃縮和升華）

變式就是創(chuàng)新，恰當(dāng)?shù)刈兏鼏栴}情境或改變思維角度，培養(yǎng)學(xué)生的應(yīng)變能力，引導(dǎo)學(xué)生從不同途徑尋求解決問題的方法，通過多問、多思、多用、辯錯(cuò)等，能激發(fā)學(xué)生思維的積極性和獨(dú)創(chuàng)性。

（2）在學(xué)生易錯(cuò)處反思。錯(cuò)誤是學(xué)生在學(xué)習(xí)過程中自然存在的一種現(xiàn)象。在教學(xué)中企圖讓學(xué)生完全避免錯(cuò)誤是不可能的，也是不現(xiàn)實(shí)的。事實(shí)上，錯(cuò)誤一方面可以充分暴露學(xué)生思維的薄弱環(huán)節(jié)，有利于對(duì)癥下藥；另一方面，錯(cuò)誤里也有價(jià)值，是正確的先導(dǎo)，錯(cuò)誤在許多時(shí)候比正確更有教育價(jià)值。例題教學(xué)若能從此切入，進(jìn)行解后反思，則往往能找到“病根”，進(jìn)而對(duì)癥下藥，常能收到事半功倍的效果。

例2：△ABC中，A、B、C的對(duì)邊分別是a、b、c且A=600、a=7、cosC=■，求邊b。

錯(cuò)解：cosC=■？圯sinC=■，由正弦定理：■=■？圯c=8。

由余弦定理a2=b2+c2-2bccosA？圯b2-8c+15=0得b=3或b=5。

點(diǎn)評(píng)：這個(gè)解法看上去無(wú)懈可擊，而且與其他解法相比這個(gè)解法是較為簡(jiǎn)捷的。

其實(shí)這題細(xì)細(xì)品味就不難發(fā)現(xiàn)問題了，由題意三角形兩角（即三角）和一邊已知，所以三角形就確定了，因此本題只有一解。

錯(cuò)因分析：解題中所用的余弦定理a2=b2+c2-2bccosA，條件為兩邊及一邊對(duì)角，由上例的解法可知可能有兩解。然而大多數(shù)學(xué)生忽視了角C也為已知角這個(gè)條件，解三角形因而受到進(jìn)一步限制。

對(duì)癥下藥：方案一，可利用角進(jìn)行驗(yàn)證。方案二，已知兩角求出cosB，兩邊及夾角直接用余弦定理求出邊b。

正解：（方案一）當(dāng)a=7、b=3、c=8時(shí)，cosC=■=-■（舍去）；當(dāng)a=7、b=5、c=8時(shí)，cosC=■=-■，則b=5。

（方案二）cosC=■？圯sinC=■，由正弦定理：■=■？圯c=8。

所以，cosB=-cos（A+C）=■，b2=a2+c2-2accosB=25，則b=5。

在實(shí)際教學(xué)中我們經(jīng)常會(huì)碰到這樣的現(xiàn)象：針對(duì)錯(cuò)題，教師講解很詳細(xì)，效果卻不一定好，遇到類似情況，錯(cuò)誤又會(huì)“濤聲依舊”。學(xué)生表面上懂了，實(shí)質(zhì)上沒有真正理解數(shù)學(xué)知識(shí)的本質(zhì)含義，沒有把顯性的解題技巧內(nèi)化為默會(huì)的隱性能力。

（3）在情感體驗(yàn)處反思。因?yàn)檎麄€(gè)的解題過程并非僅僅只是一個(gè)知識(shí)運(yùn)用、技能訓(xùn)練的過程，是學(xué)生整個(gè)內(nèi)心世界的參與過程。他可能是獨(dú)立思考所得，也有可能是通過合作協(xié)同解決，既體現(xiàn)了個(gè)人努力的價(jià)值，又無(wú)不折射出集體智慧的光芒。

四、結(jié)論

學(xué)習(xí)反思是學(xué)生以自己的學(xué)習(xí)活動(dòng)為思考對(duì)象，主動(dòng)自覺地對(duì)自己的學(xué)習(xí)行為、決策以及由此產(chǎn)生的結(jié)果進(jìn)行審視和調(diào)控。荷蘭著名數(shù)學(xué)教育家弗賴登塔爾指出：“反思是數(shù)學(xué)思維活動(dòng)的核心和動(dòng)力?！薄陡咧行抡n程標(biāo)準(zhǔn)》強(qiáng)調(diào)反思“有助于學(xué)生對(duì)客觀事物中蘊(yùn)涵的數(shù)學(xué)模式進(jìn)行思考和作出判斷”。學(xué)習(xí)反思，猶如一面鏡子，能幫助學(xué)生清晰地認(rèn)識(shí)自己、理解自己，并在此基礎(chǔ)上實(shí)現(xiàn)自我更新和重建，培養(yǎng)他們的創(chuàng)新思維，從而提升他們的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)水平和解決數(shù)學(xué)問題的能力。

（江蘇省宜興市第一中學(xué)）