張之涵,孫成禹,姚永強(qiáng),肖廣銳

(1.中國(guó)石油大學(xué)(華東)地球科學(xué)與技術(shù)學(xué)院,山東青島266580;2.中海石油(中國(guó))有限公司天津分公司渤海石油研究院,天津300452)

隨著油氣勘探進(jìn)程的不斷推進(jìn),地震勘探逐漸從淺層、平原地帶向深層以及地表復(fù)雜地域轉(zhuǎn)移,復(fù)雜工區(qū)的噪聲干擾現(xiàn)象越來(lái)越嚴(yán)重。噪聲壓制的效果將直接影響后續(xù)的地震資料處理、解釋工作,因此,地球物理工作者越來(lái)越重視去噪方法的研究。

壓制地震噪聲的方法有很多,如多項(xiàng)式擬合、中值濾波、KL變換、F-K濾波和奇異值分解等[1]。其中有一種思路是將地震數(shù)據(jù)進(jìn)行稀疏表示,在變換域內(nèi)進(jìn)行閾值處理,這就要求稀疏表示所采用的基函數(shù)能夠捕捉到地震波前,用較少的系數(shù)就可以表示地震波的主要特征。同時(shí),復(fù)雜的地震數(shù)據(jù)局部特征變化明顯,因此,也要求所采用的稀疏表示基具有良好的局部識(shí)別能力[2]?？捎脕?lái)進(jìn)行地震數(shù)據(jù)稀疏表示的方法有很多,比較有代表性的包括傅里葉變換、小波變換、Surfacelet變換、曲波(Curvelet)變換等[3]。不過,地震波在地下傳播時(shí)其波前面是一曲面,傅里葉變換和小波變換都不能很好地對(duì)其進(jìn)行稀疏表示。近些年興起的曲波變換是一種新的信號(hào)分析和圖像處理方法,它由曲線狀的基元構(gòu)成,在保持傳統(tǒng)小波多尺度性的同時(shí),還具有多方向性和各向異性,更加適合表示地震波前特征,因此,可以對(duì)地震數(shù)據(jù)進(jìn)行理想的稀疏表示。1999年,Candès等[4]在其博士論文中提出在脊波(Ridgelet)變換的基礎(chǔ)上實(shí)現(xiàn)連續(xù)曲波變換,也就是第一代曲波變換。2002年,Candès等[5]提出了新的Curvelet框架體系,稱之為第二代曲波變換,實(shí)現(xiàn)過程比第一代曲波變換簡(jiǎn)單、快速。2004年,Herrmann等[6]最先將曲波變換引入地震數(shù)據(jù)處理領(lǐng)域,成功實(shí)現(xiàn)了曲波域多次波衰減。國(guó)內(nèi)外許多學(xué)者在利用曲波變換進(jìn)行地震資料的噪聲壓制方面做了很多工作[7-12],將二維曲波變換分別應(yīng)用于疊前地震資料、微地震資料的噪聲壓制以及面波壓制中等。2005年,Candès等[13]首先提出了可以將二維曲波變換拓展到多維;隨后,Ying等[14]在Candès等[13]的基礎(chǔ)上提出了三維曲波變換的實(shí)現(xiàn)方法,并將其應(yīng)用于圖像處理當(dāng)中。Dubois等[15]將三維曲波變換應(yīng)用到動(dòng)態(tài)圖像處理中,取得了很好的效果。

目前,地球物理工作者一般都利用二維曲波變換進(jìn)行地震資料去噪處理,但對(duì)于三維地震資料而言,二維曲波變換并沒有考慮數(shù)據(jù)中第三維的信息,對(duì)整體的去噪效果造成影響。為此,我們將三維曲波變換引入到地震數(shù)據(jù)去噪處理中。對(duì)三維地震數(shù)據(jù)進(jìn)行三維曲波正變換,在曲波域根據(jù)有效信號(hào)和噪聲的特征差異,采用改進(jìn)的非線性閾值方法進(jìn)行處理,再進(jìn)行三維曲波反變換,最終完成整個(gè)處理流程。

1 曲波變換基本理論

曲波變換結(jié)合了小波變換的多尺度特點(diǎn)和脊波變換的各向異性特點(diǎn),能夠?qū)π盘?hào)進(jìn)行理想的稀疏表示,在系數(shù)項(xiàng)個(gè)數(shù)相同的情況下,曲波變換的誤差最小。因此,曲波變換更適合用于信號(hào)分析。

1.1 二維曲波變換

(1)

式中:Rθ表示以θ為弧度的旋轉(zhuǎn)。曲波系數(shù)可以簡(jiǎn)單地表示為兩個(gè)元素f∈L2(R2)和φj,l,k的內(nèi)積,因?yàn)檫B續(xù)曲波變換在頻率域進(jìn)行,可以得到頻率域的曲波變換為

(2)

二維曲波變換對(duì)沿著光滑曲線上有奇異值的數(shù)據(jù)有著高效的表達(dá),但是在處理三維數(shù)據(jù)時(shí),卻沒有充分利用三維數(shù)據(jù)體內(nèi)所包含的豐富信息。三維曲波變換針對(duì)沿著二維曲面上有邊緣奇異值的數(shù)據(jù),給出了最佳的描述方法,具有敏感的方向特性以及各向異性,能更好地捕捉二維變換所缺失的整體信息。為此,我們引入三維曲波變換。

1.2 三維曲波變換

三維曲波變換保持了二維曲波變換的性質(zhì)[13-14],它以一個(gè)擁有拋物線尺度性質(zhì)的楔形體作為其頻率域支撐。在算法上,三維曲波變換與二維曲波變換相似,可以表示為兩個(gè)元素f∈L2(R3)和φj,l,k的內(nèi)積,即

(3)

(4)

(5)

其中,

Φj(ω1,ω2,ω3)=φ(2-jω1)·φ(2-jω2)·φ(2-jω3)

(6)

圖1 三維曲波時(shí)頻域表示[13]

2 三維曲波變換去噪原理

2.1 基于三維曲波變換進(jìn)行地震資料去噪處理的可行性分析

前文提到,在地震資料去噪處理中,可以將地震數(shù)據(jù)進(jìn)行稀疏表示,在變換域內(nèi)進(jìn)行閾值處理。在實(shí)際工作中,我們一般不直接在物理空間域進(jìn)行去噪處理,而是先對(duì)原始數(shù)據(jù)進(jìn)行某種變換,再對(duì)其在該變換域內(nèi)的系數(shù)做閾值處理。主要原理是利用有效信號(hào)和隨機(jī)噪聲在變換域內(nèi),因特征差異而被分為不同大小的系數(shù),再將小于某個(gè)設(shè)定閾值的所有系數(shù)做置零處理以去除噪聲。因此,要達(dá)到理想的去噪效果,所使用的變換方法要能較稀疏地表示地震數(shù)據(jù),即只保留很少的系數(shù)就可以理想地表示原始數(shù)據(jù)的主要特征,而大量的小系數(shù)可以直接濾除,且這些系數(shù)對(duì)主要特征影響不大[2]。

稀疏表示理論被廣泛地應(yīng)用于信號(hào)和圖像處理等領(lǐng)域,其思想是用信號(hào)的稀疏性進(jìn)行數(shù)學(xué)建模,通過少量非零的表示系數(shù)反映信號(hào)的內(nèi)在結(jié)構(gòu)和本質(zhì)屬性,得到信號(hào)在某個(gè)變換域上最簡(jiǎn)潔的一種表達(dá)方式[16]。它認(rèn)為信號(hào)可以以低于奈奎斯特采樣頻率的頻率進(jìn)行采樣,且仍能精確重建原始信號(hào)。地震信號(hào)作為信號(hào)的一種,由于其本身的一些特性使得一些變換能對(duì)其進(jìn)行稀疏表達(dá),這就為在地震數(shù)據(jù)處理中引入稀疏表示理論打下了堅(jiān)實(shí)的基礎(chǔ)。在地球物理領(lǐng)域,稀疏表示的理論經(jīng)歷了傅里葉變換、小波變換、脊波變換和曲波變換等階段[17]。

曲波變換屬于稀疏函數(shù)的表示范疇,具有多尺度以及良好的方位特性,它能夠?qū)?shù)據(jù)邊緣部分的直線或曲線提供更加稀疏的表示,從而降低了運(yùn)算量并更好地保護(hù)數(shù)據(jù)邊緣的特征。跟小波變換等不同,曲波系數(shù)不僅跟位置(空間域)和尺度(頻率域)有關(guān),還和方向有關(guān)。在地震勘探領(lǐng)域,曲波變換能將地震信號(hào)的能量集中到曲波系數(shù)上,而隨機(jī)噪聲的能量變換后仍為噪聲,并且幅度相同,這樣我們就能更加清楚地分辨出有效信號(hào)和隨機(jī)噪聲。此外,曲波變換不會(huì)使數(shù)據(jù)的邊緣產(chǎn)生模糊,很適合處理地震數(shù)據(jù)。因此,在地震數(shù)據(jù)處理中,選擇合適的閾值,對(duì)地震數(shù)據(jù)的曲波系數(shù)進(jìn)行閾值處理,就可以達(dá)到去噪的目的。

2.2 三維曲波變換閾值法去噪原理

目前業(yè)內(nèi)一般都利用二維曲波變換進(jìn)行地震資料去噪處理,但對(duì)于三維地震資料而言,二維曲波變換并沒有考慮第三維的信息,這會(huì)對(duì)橫向上同相軸的連續(xù)性及整體的去噪效果造成影響。從理論上講,處理三維地震資料應(yīng)采用三維曲波變換,但長(zhǎng)久以來(lái),制約三維曲波變換應(yīng)用的主要原因是其巨大的計(jì)算機(jī)內(nèi)存占用量。隨著計(jì)算機(jī)技術(shù)的發(fā)展,三維曲波變換處理三維數(shù)據(jù)變得可行。因此在本文中,我們引入三維曲波變換對(duì)三維地震資料進(jìn)行處理。

設(shè)某三維地震信號(hào)S(x,y,z)=F(x,y,z)+N(x,y,z),其中，F(xiàn)(x,y,z)表示有效信號(hào),N(x,y,z)表示隨機(jī)噪聲。對(duì)其進(jìn)行三維曲波變換,得到不同尺度、不同方向的曲波系數(shù),記為C。在三維曲波域,有效信號(hào)沿不同角度具有較強(qiáng)的相關(guān)性,其能量主要集中在有限的尺度和方向分量上;而隨機(jī)噪聲不具有相關(guān)性,其能量分布在各個(gè)尺度和方向分量上。我們利用曲波系數(shù)的相關(guān)性來(lái)區(qū)分有效信號(hào)與隨機(jī)噪聲。對(duì)兩個(gè)不同尺度方向的曲波系數(shù)進(jìn)行相關(guān)運(yùn)算,得到相關(guān)系數(shù)R,并進(jìn)行歸一化處理。

(7)

式中:C1(j,l,k)和C2(j,l,k)代表兩個(gè)不同尺度方向的曲波系數(shù);R′為歸一化處理后的相關(guān)系數(shù)。比較R′與C2(j,l,k),若R′≥C2(j,l,k),則認(rèn)為該系數(shù)代表有效信號(hào);否則,則認(rèn)為代表隨機(jī)噪聲。

利用閾值法對(duì)這些曲波系數(shù)進(jìn)行處理,就可以達(dá)到去噪的目的。閾值法去噪處理的關(guān)鍵在于閾值和閾值函數(shù)的選取,這將直接影響地震資料的去噪效果以及重構(gòu)后地震資料的保真程度。

1995年,Donoho[18]提出了一種固定閾值估計(jì)方法,即

(8)

式中:σ為噪聲標(biāo)準(zhǔn)差,大小為曲波系數(shù)中值與經(jīng)驗(yàn)值0.6745的比值;N為地震信號(hào)的長(zhǎng)度。此閾值估計(jì)方法會(huì)損傷曲波系數(shù)。2013年,張博[17]提出了一種新的閾值估計(jì)方法,并通過實(shí)驗(yàn)證實(shí)了其有效性。我們?cè)谖墨I(xiàn)[17]的基礎(chǔ)上,結(jié)合三維曲波變換的性質(zhì),提出一種改進(jìn)的閾值估計(jì)方法,即

(9)

式中:e代表與尺度方向有關(guān)的經(jīng)驗(yàn)參數(shù);σ代表噪聲標(biāo)準(zhǔn)差,與傳統(tǒng)的固定閾值不同,這里σ是最高尺度層曲波系數(shù)標(biāo)準(zhǔn)差的估計(jì)值;σc代表曲波域內(nèi)所用曲波系數(shù)的標(biāo)準(zhǔn)差估計(jì)值。

在閾值函數(shù)的選取上,除采用常用的軟閾值法和硬閾值法外,還選擇了1995年Gao等[19]提出的一種半軟閾值函數(shù),表達(dá)式為

(10)

式中:λ1和λ2分別為估計(jì)的兩個(gè)閾值。為了盡可能地保護(hù)有效信號(hào)不受損害,設(shè)定λ1=λ=eσσc,λ2=1.5λ=1.5eσσc。

2.3 三維曲波變換閾值法去噪處理的實(shí)現(xiàn)步驟

綜上所述,提出的基于三維曲波變換的地震資料去噪方法的實(shí)現(xiàn)步驟如下。

1) 選擇合適的尺度和方向,對(duì)三維地震記錄進(jìn)行三維曲波正變換,得到相應(yīng)的曲波系數(shù)c(i,j,k)。

2) 利用公式(7)判別曲波系數(shù),若R′≥C2(j,l,k),認(rèn)為該系數(shù)代表有效信號(hào),否則認(rèn)為該系數(shù)代表隨機(jī)噪聲。

3) 利用公式(9)進(jìn)行閾值λ的估計(jì)。

4) 在曲波域,選擇合適的閾值函數(shù)對(duì)曲波系數(shù)進(jìn)行閾值處理。將小于閾值的曲波系數(shù)看作是對(duì)噪聲的表示,置零;大于閾值的曲波系數(shù)看作是對(duì)有效信號(hào)的表示,利用閾值函數(shù)進(jìn)行處理。

5) 對(duì)經(jīng)過閾值處理后的曲波系數(shù)進(jìn)行重構(gòu),即進(jìn)行三維曲波逆變換,得到重構(gòu)后的三維地震數(shù)據(jù)即為去噪后的地震記錄。

3 模型試算

通過模型試算驗(yàn)證方法的正確性。建立一個(gè)水平層狀模型,如圖2所示,通過正演得到三維地震模擬記錄,炮點(diǎn)置于地面中心處。在模型記錄中加入不同強(qiáng)度的噪聲,使得地震記錄的信噪比分別大于1,等于1和小于1。利用提出的三維曲波變換閾值法進(jìn)行去噪處理,使用了硬閾值、軟閾值和半軟閾值3種函數(shù)并比較它們的效果。

圖2 水平層狀模型

當(dāng)模型記錄的信噪比大于1時(shí),去噪效果如圖3 所示。同時(shí),為了進(jìn)一步驗(yàn)證三維曲波變換的去噪效果,抽取炮點(diǎn)所在處的二維剖面,如圖4所示。

經(jīng)硬閾值去噪后記錄的信噪比為3.08,經(jīng)軟閾值去噪后記錄的信噪比為4.50,經(jīng)半軟閾值去噪后記錄的信噪比為4.30。從三維圖像以及二維剖面中可以看出,曲波閾值法在信噪比較高的情況下,能較好地去除噪聲,效果較好,并且有效信號(hào)的損失很小。在曲率較大的地方,有效保留了有效信號(hào)。在同相軸交叉的地方,同相軸形態(tài)沒有發(fā)生改變。對(duì)比可見,半軟閾值和軟閾值方法的去噪效果要好于硬閾值去噪方法。

圖3 信噪比大于1時(shí)三維記錄的去噪效果a 加噪記錄; b 硬閾值去噪記錄; c 軟閾值去噪記錄; d 半軟閾值去噪記錄

圖4 信噪比大于1時(shí)二維剖面的去噪效果

改變模擬記錄的信噪比,當(dāng)信噪比等于1時(shí),三維記錄的去噪效果如圖5所示。同時(shí),為了進(jìn)一步驗(yàn)證三維曲波變換的去噪效果,抽取炮點(diǎn)所在處的二維剖面,如圖6所示。

經(jīng)硬閾值去噪后記錄的信噪比為2.01,經(jīng)軟閾值去噪后記錄的信噪比為3.02,經(jīng)半軟閾值去噪后記錄的信噪比為2.50。從三維圖像以及二維剖面中可以看出,曲波閾值法在信噪比等于1的情況下,仍能較好地去除噪聲,并且有效信號(hào)的損失很小。在同相軸彎曲以及同相軸相交的部位,較好地保留了有效信號(hào)。3種閾值方法相比,軟閾值處理效果好于硬閾值,而半軟閾值方法在提高信噪比、保留有效信號(hào)等方面,均能取得良好的效果。

圖5 信噪比等于1時(shí)三維記錄的去噪效果a 加噪記錄; b 硬閾值去噪記錄; c 軟閾值去噪記錄; d 半軟閾值去噪記錄

圖6 信噪比等于1時(shí)二維剖面的去噪效果

為檢驗(yàn)該方法對(duì)低信噪比地震記錄的去噪效果,降低模擬記錄的信噪比。當(dāng)信噪比為0.50時(shí),去噪效果如圖7所示。同時(shí),抽取炮點(diǎn)所在處的二維剖面,如圖8所示。

經(jīng)硬閾值去噪后記錄的信噪比為1.40,經(jīng)軟閾值去噪后記錄的信噪比為2.36,經(jīng)半軟閾值去噪后記錄的信噪比為1.87。從三維圖像以及二維剖面中可以看出,在信噪比小于1的情況下,很難從地震剖面上識(shí)別出連續(xù)同相軸,但是采用曲波去噪,能較好地去除噪聲。在同相軸彎曲的地方,有效信號(hào)有一定程度的損失。3種閾值方法相比,硬閾值在曲率比較大的地方能更好地保留有效信號(hào);軟閾值處理能更多地去除隨機(jī)噪聲,但會(huì)對(duì)有效信號(hào)造成損害;半軟閾值方法既能很好地去除噪聲、又能保證同相軸特別是彎曲同相軸的信息不受損害。

通過模型試算可以看到,經(jīng)過三維曲波變換處理后,隨機(jī)噪聲得到了壓制,同時(shí)沒有損害有效同相軸的信息,在同相軸曲率較大的部分能達(dá)到較好的效果。當(dāng)?shù)卣鹦畔⒅泻腥跣盘?hào)時(shí),即使地震記錄的信噪比較低,還是可以提取出有效弱信號(hào)。

在去噪過程中,閾值的選取十分重要,文中使用的3種閾值方法各有特點(diǎn)。硬閾值法保留弱信號(hào)的能力強(qiáng),在曲率較大的地方去噪效果好;在相同閾值情況下,軟閾值法去除噪聲的效果好于硬閾值,但是會(huì)損害彎曲同相軸的信息;半軟閾值法能較好地保留有效同相軸的信息,同時(shí)達(dá)到很好的去噪效果。因此,針對(duì)不同類型的數(shù)據(jù)可以選擇不同的閾值進(jìn)行處理:對(duì)于水平同相軸,可以選取半軟閾值法或軟閾值法進(jìn)行處理;當(dāng)資料中含有弱的彎曲同相軸時(shí),采用半軟閾值法或硬閾值法進(jìn)行處理，以更好地保留弱同相軸信息。

圖7 信噪比小于1時(shí)三維記錄的去噪效果a 加噪記錄; b 硬閾值去噪記錄; c 軟閾值去噪記錄; d 半軟閾值去噪記錄

圖8 信噪比小于1時(shí)二維剖面的去噪效果

4 實(shí)際資料測(cè)試

為進(jìn)一步測(cè)試三維曲波變換在實(shí)際地震資料中的應(yīng)用效果,將其應(yīng)用于實(shí)際三維地震資料去噪處理。資料的in-line方向?yàn)?50道,cross-line方向?yàn)?00道,每道600個(gè)采樣點(diǎn)。我們選取半軟閾值函數(shù)進(jìn)行處理。

圖9為實(shí)際三維地震資料去噪前、后效果對(duì)比。從圖9中可以看出,去噪處理后的同相軸變得連續(xù)、清晰,一些湮沒在噪聲里的同相軸顯現(xiàn)出來(lái),淺層的強(qiáng)同相軸沒受影響,地震記錄的信噪比提高。為了更為直觀的顯示,抽取二維剖面如圖10所示。從圖10中可以看出,淺層的同相軸明顯變得清晰,0.2～0.4s的同相軸從噪聲中恢復(fù),同時(shí)有效同相軸保存得較為完好,資料的信噪比得到了明顯的提高。為了定量顯示三維曲波變換的去噪效果,我們計(jì)算測(cè)線上每個(gè)二維剖面的信噪比并將其連成曲線(圖11)。從圖11可以看出,經(jīng)過三維曲波變換后的實(shí)際資料,信噪比得到了明顯提高。

圖9 實(shí)際三維地震資料去噪前(a)、后(b)效果對(duì)比

圖10 實(shí)際三維地震資料抽取二維剖面去噪前(a)、后(b)效果對(duì)比

圖11 實(shí)際三維地震資料去噪前、后各測(cè)線信噪比

5 結(jié)論與認(rèn)識(shí)

我們引入三維曲波變換,結(jié)合改進(jìn)的非線性閾值法,提出了一種基于三維曲波變換的地震資料去噪方法。通過理論模型和實(shí)際資料的去噪處理試驗(yàn),得出以下結(jié)論與認(rèn)識(shí)。

1) 在三維曲波域中,通過相關(guān)計(jì)算的方法判別曲波系數(shù),使用改進(jìn)的非線性閾值法對(duì)曲波系數(shù)進(jìn)行處理,取得了良好的去噪效果。該方法不僅能夠很好地壓制地震資料中的隨機(jī)噪聲,而且能夠很好地保護(hù)有效信號(hào)。模型試算和實(shí)際資料測(cè)試驗(yàn)證了此方法的正確性和可行性。

2) 3種閾值方法的試算結(jié)果表明,硬閾值法保留弱信號(hào)的能力強(qiáng),在曲率較大處能取得較好的去噪效果;在相同閾值情況下,軟閾值法壓制噪聲的能力優(yōu)于硬閾值法,但會(huì)損害同相軸的信息;改進(jìn)的半軟閾值法能夠在保護(hù)有效同相軸的基礎(chǔ)上有效壓制隨機(jī)噪聲。

3) 基于三維曲波變換的地震資料去噪方法對(duì)計(jì)算機(jī)的存儲(chǔ)能力和算法的計(jì)算效率提出了更高的要求,接下來(lái)需要進(jìn)行進(jìn)一步的研究工作。

三維曲波變換具有良好的空間-頻率-角度特性,能夠很好地對(duì)地震數(shù)據(jù)進(jìn)行稀疏表示,使得其在地震數(shù)據(jù)處理中具有更大的應(yīng)用前景。

參 考 文 獻(xiàn)

[1] 張軍華.地震資料去噪方法——原理、算法、編程及應(yīng)用[M].東營(yíng):中國(guó)石油大學(xué)出版社,2011:1-355

Zhang J H.Seismic data denoising method:principle,algorithm,programming and application[M].Dongying:China University of Petroleum Press,2011:1-355

[2] 唐剛.基于壓縮感知和稀疏表示的地震數(shù)據(jù)重建與去噪[D].北京:清華大學(xué),2010

Tang G.Seismic data reconstruction and denoising based on compressive sensing and sparse representation[D].Beijing:Tsinghua University,2010

[3] Shan H,Ma J W,Yang H Z.Comparisons of wavelets,contourlets and curvelets in seismic denoising[J].Journal of Applied Geophysics,2009,69(2):103-115

[4] Candès E J,Donoho D L.Curvelets:a surprisingly effective nonadaptive representation for objects with edges[M].Nashville:Vanderbilt University Press,1999:1-16

[5] Candès E J,Donoho D L.New tight frames of curevelets and optimal representations of objects with smooth singularities[R].USA:Department of Statistics,Stanford University,2002

[6] Herrmann F J,Verschuur E.Curvelet-domain multiple elimination with sparseness constraints[J].Expanded Abstracts of 74thAnnual Internat SEG Mtg,2004,1333-1336

[7] Herrmann F J,Wang D,Hennenfent G,et al.Curvelet-based seismic data processing:a multiscale and nonlinear approach[J].Geophysics,2007,73(1):A1-A5

[8] 張恒磊,張?jiān)拼?宋雙,等.基于Curvelet域的疊前地震資料去噪方法[J].石油地球物理勘探,2008,43(5):508-513

Zhang H L,Zhang Y C,Song S,et al.Curvelet domain-based prestack seismic data denoise method[J].Oil Geophysical Prospecting,2008,43(5):508-513

[9] 仝中飛,王德利,劉冰.基于Curvelet變換閾值法的地震數(shù)據(jù)去噪方法[J].吉林大學(xué)學(xué)報(bào)(地球科學(xué)版),2008,38(S1):48-52

Tong Z F,Wang D L,Liu B.Seismic data denoise based on curvelet transform with the threshold method[J].Journal of Jilin University (Earth Science Edition),2008,38(S1):48-52

[10] 吳愛弟,趙秀玲.基于曲波變換的地震信號(hào)去噪方法[J].中國(guó)石油大學(xué)學(xué)報(bào)(自然科學(xué)版),2010,34(3):30-33

Wu A D,Zhao X L.Seismic signal denoising method based on curvelet transform[J].Journal of China University of Petroleum(Edition of Natural Science),2010,34(3):30-33

[11] 董烈乾,李振春,王德營(yíng),等.第二代Curvelet變換壓制面波方法[J].石油地球物理勘探,2012,46(6):897-904

Dong L Q,Li Z C,Wang D Y,et al.Ground-roll suppression based on the second generation Curvelet transform[J].Oil Geophysical Prospecting,2011,46(6):897-904

[12] 姜宇東,楊勤勇,何柯,等.基于曲波變換的地面微地震資料去噪方法研究[J].石油物探,2012,51(6):620-624

Jiang Y D,Yang Q Y,He K,et al.Surface microseismic data denoising method based on curevelet transform[J].Geophysical Prospecting for Petroleum,2012,51(6):620-624

[13] Candès E,Demanet L,Donoho D,et al.Fast discrete curvelet transforms[J].Multiscale Modeling & Simulation,2006,5(3):861-899

[14] Ying L,Demanet L,Candès E.3D discrete curvelet transform[J].International Society for Optics and Photonics (Optics & Photonics 2005),2005,SPIE591413

[15] Dubois S,Péteri R,Ménard M.A 3D discrete curvelet based method for segmenting dynamic textures[C]∥Institute of Electrical and Electronics Engineers.Image Processing(ICIP),2009 16thIEEE International Conference on.USA:Institute of Electrical and Electronics Engineers,2009:1373-1376

[16] 鄧承志.圖像稀疏表示理論及其應(yīng)用研究[D].武漢:華中科技大學(xué),2008

Deng C Z.Research on image sparse representation theory and its applications[D].Wuhan:Huazhong University of Science and Technology,2008

[17] 張博.基于稀疏變換的地震數(shù)據(jù)去噪方法研究[D].杭州:浙江大學(xué),2013

Zhang B.Research of seismic data denoising methods based on sparse transform[D].Hangzhou:Zhejiang University,2013

[18] Donoho D L.De-noising by soft-thresholding[J].IEEE Transactions on Information Theory,1995,41(3):613-627

[19] Gao H Y,Bruce A G.WaveShrink and semisoft shrinkage[J].Statistical Science Research Report,1995(39):1-25