張亞菲

摘要：縱觀(guān)近幾年及2013年高考數(shù)學(xué)試題，不論是全國(guó)卷還是北京市、天津市、浙江省、山東省等其他15個(gè)省市的試卷，立體幾何解答題是必考題，一般一題兩問(wèn)，第一問(wèn)一般是證明線(xiàn)線(xiàn)、線(xiàn)面、面面位置關(guān)系，對(duì)此，我們可以利用綜合法，通過(guò)“作、證、求”三步求解。第二問(wèn)是求線(xiàn)面角、面面角、距離等問(wèn)題，而對(duì)于第二題，利用傳統(tǒng)方法，要正確運(yùn)用有關(guān)的定理，找出足夠的條件進(jìn)行推理，否則不易找出線(xiàn)面的垂直關(guān)系，從而造成考試時(shí)時(shí)間的浪費(fèi)，甚至丟分。而空間向量法能較好地避開(kāi)這一難點(diǎn)。直接通過(guò)平面的法向量，根據(jù)向量數(shù)量積的坐標(biāo)運(yùn)算就可以達(dá)到事半功倍的效果。

關(guān)鍵詞：空間向量；坐標(biāo)運(yùn)算；作用

中圖分類(lèi)號(hào)：G633.6 文獻(xiàn)標(biāo)識(shí)碼：A 文章編號(hào)：1992-7711（2014）03-0121

采用空間向量進(jìn)行解題，第一要正確建立空間直角坐標(biāo)系，寫(xiě)（設(shè)）出相關(guān)點(diǎn)的坐標(biāo)，及面內(nèi)線(xiàn)段（向量）的坐標(biāo)，然后就是一個(gè)面或兩個(gè)面的法向量的確定。第二是利用平面向量中兩個(gè)非零向量的內(nèi)積公式 ■·■= ■·■cos ■·■ ，即cos ■·■ =■，求出法向量和面內(nèi)一線(xiàn)段（向量）或兩法向量所成的角的三角函數(shù)值，最后根據(jù)題設(shè)條件，轉(zhuǎn)化為所求的量。另外，對(duì)動(dòng)態(tài)的找點(diǎn)問(wèn)題也可以通過(guò)設(shè)點(diǎn)的坐標(biāo)，利用線(xiàn)線(xiàn)垂直化歸為向量的數(shù)量積等于零來(lái)求解。下面是幾道例題。

例1. 2013年新課標(biāo)全國(guó)卷I理科數(shù)學(xué)第18題

如圖，三棱柱ABC-A1B1C1中 ，CA=CB，AB=AA1，∠BAA1=60°，

證明：（1）AB⊥A1C

（2）若平面ABC⊥平面AA1B1B，AB=CB，求直線(xiàn)A1C與平面BB1C1C所成角的正弦值。

證明：（I）取AB的中點(diǎn)O，連接OC，OA1，A1B，∵CA=CB，∴OC⊥AB，∵AB=AA1，∠BAA1=60°，

∴ △AA1B為等邊三角形 ?！郞A1⊥AB，∵OC∩OA1=O，∴AB⊥平面OA1C，又A1C 平面OA1C，∴AB⊥A1C。

（2） 由（I）知OC⊥AB，OA1⊥AB，又平面ABC⊥平面AA1B1B，交線(xiàn)AB，∴OC⊥平面AA1B1B，∴OA、OA1、OC兩兩相互垂直。以O(shè)為坐標(biāo)原點(diǎn)，■的方向?yàn)閄軸的正方向 ，■為單位長(zhǎng)，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系O-XYZ。由題設(shè)知：

例2. 北京卷第17題

如圖，在三棱柱ABC-A1B1C1中，AA1C1C是邊長(zhǎng)為4的正方形，平面ABC⊥平面AA1C1C，AB=3，BC=5，

（1）求證：AA1⊥ 平面ABC；

（2）求二面角A1-BC1-B1的余弦值；

（3）證明：在線(xiàn)段BC1上存在點(diǎn)D，使得AD⊥A1B，并求■的值。

解：改（1）因?yàn)锳A1C1C為正方形，所以AA1⊥AC。平面ABC⊥平面AA1C1C，且AA1垂直于這兩個(gè)平面的交線(xiàn)AC， ∴AA1⊥平面ABC。

例3. 浙江卷第20題

如圖，在四面體A-BCD中，AD⊥平面BCD，BC⊥CD，AD=2，BD=2■，M是AD的中點(diǎn)，P是BM的中點(diǎn)，點(diǎn)Q在線(xiàn)段AC上，且AQ=3QC。

（1）證明：PQ∥平面BCD。

（2）若二面角C-BM-D的大小為60°，求∠BDC的大小。

第一小題既可以用傳統(tǒng)方法解，也可以用空間向量的方法解。第二小題，需要通過(guò)作輔助線(xiàn)，再證明，就不難找出這個(gè)二面角，但相比較而言，存在三線(xiàn)兩兩互相垂直，用建標(biāo)設(shè)點(diǎn)利用兩向量垂直的代數(shù)公式和兩向量的內(nèi)積公式求角比較方便。，綜上所述，筆者認(rèn)為在以后的教學(xué)中，我們應(yīng)在引導(dǎo)學(xué)生對(duì)基本概念、基本公式完全掌握的前提下，鍛煉我們解決問(wèn)題的能力，將立體幾何與解析幾何很好地結(jié)合起來(lái)，掌握通法，以不變應(yīng)萬(wàn)變，以“不動(dòng)”（方法）應(yīng)“動(dòng)”（題目），從而提高解題的穩(wěn)定性和準(zhǔn)確性。所以，掌握空間向量的解題方法至關(guān)重要。

（作者單位：浙江省寧波市寧海縣正學(xué)中學(xué) 315600）