王 成,楊 賓

(解放軍信息工程大學信息系統(tǒng)工程學院,河南鄭州 450002)

多模盲均衡算法剩余碼間干擾的近似表達式

王 成,楊 賓

(解放軍信息工程大學信息系統(tǒng)工程學院,河南鄭州 450002)

給出了多模自適應盲均衡算法所能達到剩余碼間干擾的近似表達式,該表達式是關于迭代步長、均衡器階數(shù)、輸入信號統(tǒng)計量、信噪比和信道能量的函數(shù).經(jīng)仿真驗證,該近似表達式較準確地反映了剩余碼間干擾與均衡時各參數(shù)的數(shù)值關系.式中的信道能量和信噪比可以通過算法估計或?qū)嶋H測量獲得,因此,新表達式在一定程度上可以代替仿真的方法,用來設計均衡器所需的自適應步長和階數(shù)以及比較不同盲均衡算法的性能.

自適應盲均衡;多模算法;碼間干擾表達式

在實際通信中,通信帶寬受限和多徑效應會導致接收端的不同碼元在當前時刻出現(xiàn)重疊,即通常所說的碼間干擾(Inter Symbol Interference,ISI)現(xiàn)象.碼間干擾嚴重地影響了通信質(zhì)量,限制了通信的最大傳輸速率.通常的解決方法是在接收端采用均衡技術.盲均衡技術能夠在不降低通信有效帶寬的同時完成信道均衡,是近年來數(shù)字通信領域的研究熱點之一.

在當前主流的盲均衡算法中,Bussgang類算法由于計算量小、實現(xiàn)簡單而得到了廣泛應用.它依據(jù)信號的統(tǒng)計特征構建代價函數(shù)[1],一般配合最小均方誤差(Least Mean Square,LMS)自適應算法最小化代價函數(shù),調(diào)節(jié)均衡器權值.其代表有恒模算法(Constant Modulus Algorithm,CMA)和適用于高階QAM信號的多模算法(MultiModulus Algorithm,MMA).

一段時間以來,有關盲均衡器收斂性能的研究主要集中在各算法的全局收斂性上[2-4],對收斂后的穩(wěn)態(tài)性能討論較少.均衡器的迭代步長、均衡器階數(shù)等參數(shù)的選擇往往需要大量仿真.近期,Pinchas等[5-7]提出了Bussgang類盲均衡算法收斂后所能達到剩余碼間干擾的近似表達式.該理論從最小均方誤差算法迭代方程出發(fā),通過對代價函數(shù)的多項式展開,得到了剩余碼間干擾與迭代步長、均衡器階數(shù)、輸入信號統(tǒng)計量和信噪比的關系.然而該理論僅限于使用某單一代價函數(shù)的算法,對于多模算法這類需依據(jù)輸入數(shù)據(jù)實時選擇代價函數(shù)的情況無法適用,這限制了該理論的實際應用.

在Pinchas等人理論的基礎上,筆者通過對不同代價函數(shù)參與最小均方誤差算法迭代所產(chǎn)生影響的分析,修正了剩余碼間干擾計算公式.改進公式不僅能夠準確計算多模算法的剩余碼間干擾,也同樣適用于各種常見的Bussgang算法.

1 系統(tǒng)模型

數(shù)字通信系統(tǒng)的基帶模型如圖1所示,其中s(n)為零均值的獨立同分布信源符號;h(n)表示傳輸信道的沖激響應,這里假設h(n)沒有在單位圓附近的零點,即非深衰落信道;w(n)是加性高斯白噪聲;x(n)表示可觀測的接收信號;c(n)表示均衡器系數(shù);y(n)表示均衡器輸出信號.

圖1 通信系統(tǒng)基帶模型示意圖

均衡的目的是消除信道的影響.用符號“*”表示卷積操作,信道與均衡器聯(lián)合響應用β(n)表示,則理想均衡時,有[1]

其中,D表示固有延時;θ表示相偏.理想均衡一般難以實現(xiàn).設均衡器系數(shù)與理想均衡器系數(shù)的誤差用ξ(n)表示,則有如下關系:

為方便討論,在不影響分析的前提下,設D=0,θ=0.定義卷積噪聲p(n)=s(n)*ξ(n),則均衡器輸出可表示為

其中,?w(n)為加性高斯白噪聲對應的均衡器輸出,?w(n)=w(n)*c(n).均衡算法的性能一般由剩余碼間干擾來衡量,它由聯(lián)合沖擊響應定義:

由式(5)可知,碼間干擾是卷積噪聲的二階矩E[p2(n)]與信號方差之比.已知發(fā)送信號的調(diào)制類型即可確定所以如果能定量表示卷積噪聲的二階矩,則可得到相應剩余碼間干擾的表達式.

圖2 32QAM信號多模算法模值選取示意圖

2 多模盲均衡算法

為充分利用QAM信號星座的符號統(tǒng)計信息,完成均衡,Yang等[8]提出了對分屬不同區(qū)域的信號樣點,采用不同模值的多模算法.以32QAM信號為例,假設其實部、虛部電平值由{±1,±3,±5}組成.從圖2(a)中可以看出,符號實部與虛部不同電平值出現(xiàn)概率不同.基于上述特性,多模算法將32QAM信號實部和虛部的取值依門限λ劃分為兩個區(qū)域,分別取模值R1與R2,如圖2(b)所示.由此得到代價函數(shù)

其中,λ為與信號星座有關的常數(shù),不同區(qū)域模值由該區(qū)域內(nèi)星座點的統(tǒng)計平均得到.對于信號星座點數(shù)更高的情況,多模算法需要劃分更多子區(qū)域.

用“()*”表示取共軛,“()T”表示轉置運算.設n時刻對應于實部和虛部的均衡器系數(shù)向量分別為和i(n).L表示均衡器階數(shù);輸入向量和xi(n)分別為的實部和虛部;μ表示最小均方誤差算法迭代的步長.多模算法迭代公式如下[8]:

多模算法能糾正相位偏轉,尤其適用于處理高階QAM信號[9],再加上算法本身計算量小,能處理非最小相位系統(tǒng),所以受到了研究者的廣泛關注.

3 多模算法剩余碼間干擾表達式

文獻[7]從最小均方誤差算法迭代方程出發(fā),利用代價函數(shù)的多項式展開,得到了卷積噪聲方差與均衡器各參數(shù)間的統(tǒng)計關系,進而得到了均衡后碼間干擾的表達式.然而,由于僅考慮了單一代價函數(shù)的情況,其結論對于如多模算法這類需依據(jù)輸入數(shù)據(jù)實時選擇代價函數(shù)的情況無法適用.文獻[7]已證明對于單一代價函數(shù)的盲均衡算法,卷積噪聲實部pr有如下關系成立:

在此基礎上討論多代價函數(shù)的情形.考慮多代價函數(shù)時,算法依據(jù)均衡輸出的范圍不同,采用不同代價函數(shù).因此,各代價函數(shù)Jk對卷積噪聲的影響應服從信號樣點的概率分布.用φ代表概率,信源符號中子集sr,k出現(xiàn)的概率為φ(sr,k),則有

假設有K組代價函數(shù),將式(8)修正為如下形式:

值得注意的是,雖然不同時刻輸入向量xr對應恢復出的符號sr,k不同,但xr本身是由信源符號序列卷積信道所得的.所以,即使對應不同的代價函數(shù)Jk,各時刻均衡器輸入向量的統(tǒng)計特性仍完全一致,都滿足

其中,ai為代價函數(shù)各展開項系數(shù).特別地,對多模算法,a1=-Rk,a12=0,a3=1.多模算法區(qū)域劃分確定后,各區(qū)域的模值Rk即可由該區(qū)域內(nèi)星座點模值統(tǒng)計平均得到.式(11)中信道能量和信噪比可以通過算法估計或?qū)嶋H測量獲得.均衡器收斂后,有因此給定步長μ和均衡器階數(shù)L,就可以通過解式(10)的方程計算

用mp代指由于收斂后mp數(shù)值較小,可以忽略其三次及三次以上的項.將式(11)和式(12)代入式(10),經(jīng)化簡,最終mp是如下二次方程較小的正解:

筆者給出的剩余碼間干擾的改進計算公式并不局限于多模算法這類實時選擇代價的情況,其思路也適用于其他聯(lián)合采用多代價函數(shù)的盲均衡算法.處理其他算法時,仍按上述思路,首先計算各代價函數(shù)的使用概率或?qū)矸e噪聲的影響比例,然后將其多項式展開代入式(10),即可獲得相應算法的剩余碼間干擾表達式.另外,當算法僅有單一代價函數(shù)時,φ(J=Jk)=1.筆者推導的公式與文獻[7]中的基本一致,所以后者可以看做是筆者給出算法的特例.

4 仿 真

下面用仿真驗證多模算法剩余碼間干擾表達式的準確性.計算機仿真選用文獻[10]中以下兩種信道:

首先選用32QAM信號進行仿真驗證.式(6)中判決門限λ=4,代價R1使用的概率為2/3,sr,1∈(±1,±3,±5);代價R2使用的概率為1/3,sr,2∈(±1,±3).圖3比較了不同步長和均衡器階數(shù)下,多模算法均衡32QAM信號所得到的實際碼間干擾收斂曲線與理論碼間干擾值,信噪比為20 dB.

圖3 32QAM信號收斂曲線示意圖

如圖3所示,實際碼間干擾隨步長和均衡器階數(shù)L增大而增大,隨其減小而減小,理論值也隨之變化,兩者數(shù)值大小基本一致.對式(14)定性分析也不難發(fā)現(xiàn)理論值變化的規(guī)律,步長μ或階數(shù)L的改變,導致項隨之變化,對應于二次方程常數(shù)項的變化.二次方程一般有兩根,但這里卷積噪聲對應于絕對值很小的根,會決定常數(shù)項大小,所以由近似表達式計算出的碼間干擾值會隨步長和均衡器階數(shù)的增大而增大,并隨其減小而減小.

下面選用256QAM信號.多模算法將星座劃分為3個區(qū)域:當yi＞12時,使用代價R1=14.18,使用概率為1/4,sr,1∈(±13,±15);當8＜yi＜12時,使用代價R2=10.25,使用概率為1/4,sr,2∈(±9,±11);當yi＜8時,使用代價R3=6.07,使用概率為1/2,sr,3∈(±1,±3,±5,±7).圖4比較了不同步長和均衡器階數(shù)下,多模算法均衡256QAM信號所得到的實際碼間干擾收斂曲線與理論碼間干擾值,信噪比為20 dB.可以看出,預測值與理論值基本一致.

5 結束語

針對多模算法類的算法,筆者給出了采用多代價函數(shù)的自適應盲均衡算法所能達到剩余碼間干擾的近似表達式.在原有理論的基礎上,通過分析多代價函數(shù)參與最小均方誤差算法迭代的影響,得到了碼間干擾關于迭代步長、均衡器階數(shù)、輸入信號統(tǒng)計量、信道能量以及信噪比的函數(shù).經(jīng)仿真,新表達式較準確地反映了碼間干擾與均衡時各參數(shù)的數(shù)值關系.在實際均衡處理時,迭代步長、信源統(tǒng)計量和均衡器階數(shù)都是已知的,信道能量和信噪比可以通過算法估計或?qū)嶋H測量獲得,所以該表達式可以用來直接估計均衡所需的最佳參數(shù),比較不同盲均衡算法的性能,避免了傳統(tǒng)的數(shù)據(jù)仿真環(huán)節(jié)所需的大量計算.筆者提出的改進公式適用于各種Bussgang類盲均衡算法,具有廣泛的應用前景.

圖4 256QAM信號收斂曲線示意圖

[1]Haykin S.Adaptive Filter Theory[M].Fourth Edition.Englewood Cliffs:Prentice Hall,2002:772-790.

[2]LeBlanc J P,Fijalkow I,Johnson C R Jr.CMA Fractionally Spaced Equalizers:Stationary Points and Stability under IID and Temporally Correlated Sources[J].International Journal of Adaptive Control and Signal Processing,1998,12(2):135-155.

[3]Sharma V,Raj V N.Convergence and Performance Analysis of Godard Family and Multimodulus Algorithms for Blind Equalization[J].IEEE Transactions on Signal Processing,2005,53(4):1520-1533.

[4]Yuan J T,Lin T C.Equalization and Carrier Phase Recovery of CMA and MMA in Blind Adaptive Receivers[J].IEEE Transactions on Signal Processing,2010,58(6):3206-3217.

[5]Pinchas M.A Closed Approximated formed Expression for the Achievable Residual Intersymbol Interference obtained by Blind Equalizers[J].Signal Processing,2010,90(6):1940-1962.

[6]Pinchas M.A New Closed Approximated Formed Expression for the Achievable Residual Intersymbol Interference Obtained by Blind Equalizers for Noisy Case[C]//Proceedings-2010 IEEE International Conference on Wireless Communications,Networking and Information Security.Piscataway:IEEE,2010:26-30.

[7]Pinchas M.A Novel Expression for the Achievable MSE Performance Obtained by Blind Adaptive Equalizers[J].Signal,Image and Video Processing,2013,7(1):67-74.

[8]Yang J,Werner J,Dumont G A.The Multimodulus Blind Equalization and Its Generalized Algorithms[J].IEEE Journal on Selected Areas in Communications,2002,20(5):997-1015.

[9]Li X L,Zeng W J.Performance Analysis and Adaptive Newton Algorithms of Multimodulus Blind Equalization Criterion [J].Signal Processing,2009,89(11):2263-2273.

[10]Pinchas M.A MSE Optimized Polynomial Equalizer for 16QAM and 64QAM Constellation[J].Signal,Image and Video Processing,2011,5(1):29-37.

(編輯:郭 華)

Approximated expression for the achievable residual intersymbol interference obtained by multimodulus blind equalizers

WANG Cheng,YANG Bin
(Institute of Information System Engineering,PLA Information Engineering Univ.,Zhengzhou 450002,China)

A closed approximated formed expression for the achievable residual inter-symbol interference(ISI)is proposed for the adaptive equalizers that adopt the multimodulus algorithm.The expression depends on the step-size parameter,equalizer’s tap length,input signal statistics,signal noise ratio and channel power.Simulation proves that the expression shows the exact relationship between residual intersymbol interference and involved parameters.Since the channel power and signal noise ratio of the expression are measurable or can be calculated,this new approximated expression can be a useful tool for choosing the step-size and tap length for designing an equalizer,and for making direct performance comparison between blind equalizers based on distinct algorithms.

adaptive blind equalization;multimodulus algorithm;expression of inter symbol interference

TN929.5

A

1001-2400(2014)01-0176-06

10.3969/j.issn.1001-2400.2014.01.031

2012-11-01 < class="emphasis_bold">網(wǎng)絡出版時間:

時間:2013-09-16

國家高技術研究發(fā)展計劃資助項目(2009AA011504)

王 成(1988-),男,解放軍信息工程大學碩士研究生,E-mail:melody198819@163.com.

http://www.cnki.net/kcms/detail/61.1076.TN.20130916.0926.201401.218_027.html