盛媛媛

摘 要：職業(yè)院校三角函數(shù)部分最重要的公式就是三角函數(shù)誘導(dǎo)公式，所包含的公式非常多，而且比較復(fù)雜，傳統(tǒng)誘導(dǎo)公式的講解辦法步驟多而且比較麻煩，學(xué)生對公式?jīng)]有很好地進行分析和理解，那么解決這一問題的一個很好辦法就是改變傳統(tǒng)的三角函數(shù)教學(xué)模式，對三角函數(shù)誘導(dǎo)公式進行拓展，以便學(xué)生能夠很好地理解。

關(guān)鍵詞：職業(yè)院校；誘導(dǎo)公式；課堂教學(xué)模式；特點

所謂三角函數(shù)誘導(dǎo)公式從本質(zhì)上來講，就是將角n·（π/2）±α的三角函數(shù)轉(zhuǎn)化為角α的三角函數(shù)。其通常使用萬能推導(dǎo)公式、三倍角推導(dǎo)公式、和差化積推導(dǎo)公式來進行推導(dǎo)。無論在哪本教材中，三角函數(shù)誘導(dǎo)公式這一節(jié)所涉及的公式都是相當(dāng)多。在許多參考書里共同提到了記憶誘導(dǎo)公式的統(tǒng)一口訣：“奇變偶不變，符號看象限”。多少年來，參考書這么寫，老師們這么教，長期以來我國三角函數(shù)誘導(dǎo)公式的教學(xué)過程都比較老套，主要是因為教材規(guī)定了教學(xué)內(nèi)容，本文先從傳統(tǒng)教學(xué)模式說起。

一、三角函數(shù)的本質(zhì)分析

三角函數(shù)誘導(dǎo)公式具有周期性以及對稱性，根據(jù)三角函數(shù)的定義可知任意角的三角函數(shù)值是由角的終邊位置決定的，以360°為周期，任意角的三角函數(shù)值都能化為0～360°的內(nèi)角的三角函數(shù)值。根據(jù)數(shù)學(xué)中對角的定義，任意角α終邊和-α的終邊關(guān)于x軸對稱，π+α角的終邊與α角的終邊是反向延長的關(guān)系，π-α角終邊與-α角的終邊也是反向延長的關(guān)系。根據(jù)任意角的對稱性以及周期性來對誘導(dǎo)公式進行理解就比較簡單，可以把任意角的三角函數(shù)轉(zhuǎn)化為銳角三角函數(shù)。

二、傳統(tǒng)教學(xué)模式分析

職業(yè)院校三角函數(shù)誘導(dǎo)公式的內(nèi)容一般都是在上冊部分，教學(xué)內(nèi)容包括角α±k·360°（k是任意整數(shù)）、-α的誘導(dǎo)公式的學(xué)習(xí)和應(yīng)用，在推導(dǎo)公式時通常借助單位圓、角定義以及角的三角函數(shù)定義等來進行推導(dǎo)過程教學(xué)，在學(xué)習(xí)完以后，教師通常是要求學(xué)生來求解任意角的三角函數(shù)值，以及包括任意三角函數(shù)式的化簡證明等。職業(yè)院校的學(xué)生相對于普通高中學(xué)生來說，基礎(chǔ)有些差，教師在講解完以后，在記憶公式以及正確的使用方面感覺難度比較大。對于職業(yè)院校的學(xué)生來說，數(shù)學(xué)三角函數(shù)誘導(dǎo)公式多而復(fù)雜，在學(xué)習(xí)時往往沒有什么積極性，因此在學(xué)習(xí)以及記憶公式時就難以使用正確的方法，教學(xué)效果往往不夠理想，隨著教學(xué)知識的不斷深入，學(xué)生遇到的難度就越來越大。

如在對cos（- ）進行求解時，按照傳統(tǒng)的解題方式，求解過程依照以下四個步驟：任意負(fù)角的余弦→正角的余弦→0～2π余弦函數(shù)→0～π余弦→銳角的余弦。也就是說利用誘導(dǎo)公式將cos（- ）逐漸轉(zhuǎn)化為cos（- ）=cos（ ）=cos（ ）=-cos（ ）=cos（ ）來進行計算，整個求解過程比較繁瑣，很多思維不夠活躍的職業(yè)院校學(xué)生必然會感到十分困難。就第一步化負(fù)為正的步驟，在進行教學(xué)時，教師常常是把任意角α設(shè)為銳角來進行推導(dǎo)公式，而所講的例子- 并不是銳角，不知能否利用公式cos（-a）=cosα來進行求解，往往還會出現(xiàn)質(zhì)疑公式的現(xiàn)象。

三、擴展性的教學(xué)模式在三角函數(shù)誘導(dǎo)公式中的使用

針對以上學(xué)生遇到的問題，根據(jù)江蘇省職業(yè)學(xué)校數(shù)學(xué)教材編寫組編寫的數(shù)學(xué)教材來進行教學(xué)，可以采用拓展法來進行誘導(dǎo)公式的學(xué)習(xí)，如關(guān)于-α、180°±α的誘導(dǎo)公式的學(xué)習(xí)中可以拓展為-α±k·360°、（2k+1）180°±α的誘導(dǎo)公式（k是整數(shù)），具體包括的公式（部分）如sin（k·360°-α）=-sinα；cos（k·360°-α）=cosα；tan（k·360°-α）=-tanα；sin[（2k+1）180°-α]=sinα；tan[（2k+1）180°-α]=-tanα；sin[（2k+1）180°+α]=sinα。這種擴展的教學(xué)模式能有效降低學(xué)習(xí)的難度，也能激發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣，下文是解決問題的實施步驟。

1.公式的推導(dǎo)

本文所講的擴展的教學(xué)模式同樣也是沿用教材的推導(dǎo)方法來進行教學(xué)，同樣需要借助單位圓、角的定義和形式等來進行推導(dǎo)，在進行公式推導(dǎo)的教學(xué)之前，教師與學(xué)生一起回憶一下這些定義。

對于k·360°±α（k∈Z）公式的推導(dǎo)，在直角坐標(biāo)系中化一個單位元，把任意角α以及-α放在其中，以O(shè)x軸作為始邊，雖然是沿著原點進行旋轉(zhuǎn)，但是角的終邊仍然是關(guān)于x軸對稱，k·360°-α與-α終邊相同，所以k·360°-α的終邊與α也是關(guān)于x軸對稱。設(shè)定任意角α與k·360°-α的終邊與單位圓的交點是P和P′，P和P′同樣關(guān)于x軸對稱，P坐標(biāo)為（cosα，sinα），則P′的坐標(biāo)就是（cosα，

-sinα），由于P′是k·360°-α的終邊與單位圓的交點，所以坐標(biāo)應(yīng)該是（cos（k·360°-α），sin（k·360°-α）），因此可以得出cos（k·360°-α）=cosα，sin（k·360°-α）=-sinα，由于tanα=sinα/cosα，因此可以得出tan（k·360°-α）=-tanα。對于（2k+1）·180°±α（k∈Z）公式的推導(dǎo)，依照上面的推導(dǎo)方式，利用單位圓以及角的定義性質(zhì)等進行推導(dǎo)，可以得出sin[（2k+1）·180°±α]=sinα；cos[（2k+1）·180°±α]=±cosα；tan[（2k+1）·180°±α]=±tanα。

2.公式的記憶

根據(jù)三角函數(shù)的定義可知，三角函數(shù)值的正負(fù)號是依照坐標(biāo)來確定的，教師可以把任意角在四個象限的三角函數(shù)值做出一個表格或圖表來增強學(xué)生的記憶，大致可以歸納為第一象限全為正，第二象限只有正弦為正，第三象限只有正切為正，第四象限只有余弦為正。除了標(biāo)準(zhǔn)化的記憶之外，最重要的是理解，拓展后的誘導(dǎo)公式本質(zhì)上與原誘導(dǎo)公式是相同的，有了對k·360°-α（k∈Z）以及k·360°+α（k∈Z）所在象限的概念，教師再指導(dǎo)學(xué)生對三角函數(shù)值進行學(xué)習(xí)進一步歸納公式，就能很好的記憶公式。

3.誘導(dǎo)公式的使用

本文主要通過例子來講解誘導(dǎo)公式的使用，如例一：求以下函數(shù)值cos（- ）、tan（-510°）、sin（ ），解析：把- 寫為-6π+ ，6π是180°的偶數(shù)倍， 在第一象限，因此利用公式k·360°±α（k∈Z）就可以把cos（- ）轉(zhuǎn)變?yōu)殇J角進行求解cos（ ）；tan（-510°）中可以把-510°寫成-3×180°+30°，-3×180°是180°的奇數(shù)倍，利用（2k+1）·180°+α的誘導(dǎo)公式就可以求解tan（-510°）；sin（ ）的求解，先把19π/4寫為5π- ，5π是180°的奇數(shù)倍，可以利用（2k+1）·180°-α來進行求解。通過以上的分析過程，上述問題就可以這樣來解答，cos（- ）=cos（-6π+ ）=cosπ/3= ；sin（ ）=sin（5π- ）=sin = ；tan（-510°）=tan（-3×180°+30°）=tan30°= 。

例二化簡并求值：

（1） ；

（2） .

解析：585°寫作3×180°+45°可以看做是180°的奇數(shù)倍加上一個銳角；690°寫作2×360°-30°；495°可以寫作3×180°-45°，因此，

= =

= = ；3π+α可以看做180°的奇數(shù)倍加上一個銳角，α+5π是第三象限角，4π-α與-α可以看做第四象限角，2π+α是第一象限角， = =-cosα.

綜上所述，本文先以三角函數(shù)誘導(dǎo)公式的重難點為切入點，講述傳統(tǒng)的教學(xué)模式使用，說明傳統(tǒng)教學(xué)模式存在的缺陷，重點講述了擴展后的三角函數(shù)誘導(dǎo)公式的教學(xué)模式，教學(xué)實踐證明，這種新型的教學(xué)模式，能使得學(xué)生更容易接受和使用，在解題應(yīng)用時能夠極大地簡化過程，激發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣。當(dāng)然本文主要以江蘇省職業(yè)學(xué)校數(shù)學(xué)教材編寫組編寫的數(shù)學(xué)教材來進行講解三角函數(shù)誘導(dǎo)公式的，針對不同教材以及學(xué)生的發(fā)展特點，應(yīng)采取合適的教學(xué)模式，更多的研究仍然需要教育工作者的繼續(xù)努力。

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（作者單位 南京市公用事業(yè)技工學(xué)校）

編輯 孫玲娟