趙娜

【摘要】 雙全純映照的系數(shù)估計是多復變函數(shù)論的重要組成部分，而RoperSuffridge算子在由單復變數(shù)的全純函數(shù)構造多復變數(shù)的雙全純映照中有著至關重要的作用.本文是在多復變數(shù)的背景之下，以一類特殊的在Cn中的單位球Bn上保持星形性質的算子F（z）為研究對象，從單位圓盤上的星形函數(shù)入手來研究這類算子在n=2時的系數(shù)估計.

【關鍵詞】 系數(shù)估計；偏差定理；推廣的RoperSuffridge算子；星形映照

一、引言

多復變函數(shù)論與單復變函數(shù)論有著本質的區(qū)別.一方面，二者在理論結構上有著本質的不同；另一方面，單復變中很容易通過具體的全純函數(shù)來解釋某個問題，說明某種現(xiàn)象，而多復變則不然，要給出某種映照的例子是很困難的.因此，構造具有某種性質的多復變?nèi)冇痴帐且患幸饬x的工作.

1995年，Roper和Suffridge構造了一個算子，稱為RoperSuffridge延拓算子，定義如下：Φn（f）（z）=F（z）=（f（z1）， f′（z1） z0）.

其中z=（z1，z0）∈Bn，z1∈Δ，z0=（z2，…，zn）∈Cn-1，平方根取分支使得 f′（0） =1.Roper和Suffridge證明：若f（z1）是單位圓盤Δ上的正規(guī)化單葉凸函數(shù)，則F（z）是Cn中的單位球Bn上的正規(guī)化雙全純凸映照；爾后，Graham與Kohr又證明：若f（z1）是單位圓盤Δ上的正規(guī)化單葉星形函數(shù)，則F（z）是Cn中的單位球Bn上的正規(guī)化雙全純星形映照.這一重要發(fā)現(xiàn)立即引起了人們的關注，相繼有國內(nèi)外數(shù)學工作者將該算子做了不同形式的推廣與改進.