梁曉佳，李丹，張力丹，周菊玲

(新疆師范大學(xué)數(shù)學(xué)科學(xué)學(xué)院，新疆烏魯木齊830054)

χ2分布的有關(guān)性質(zhì)研究

梁曉佳，李丹，張力丹，周菊玲

(新疆師范大學(xué)數(shù)學(xué)科學(xué)學(xué)院，新疆烏魯木齊830054)

在三大重要分布中，χ2分布的討論相對(duì)較少。本文采用了特征函數(shù)法推導(dǎo)其密度函數(shù)，探討參數(shù)對(duì)密度曲線的影響及其數(shù)字特征。

χ2分布;特征函數(shù)法;數(shù)字特征

1.用特征函數(shù)法求密度函數(shù)

設(shè)X的密度函數(shù)為f(x)，其特征函數(shù)定義為φ(t)=E(eitx)，設(shè)

α＞0，β＞0，則稱X服從參數(shù)分別為α、β的伽馬分布［1］。

則服從伽馬分布的隨機(jī)變量X的特征函數(shù)為

2.密度函數(shù)的性質(zhì)

當(dāng)n＞2時(shí)，曲線有單峰，令g'(x)=0時(shí)，即f(x)在x=n－2(n＞2)達(dá)到極大值。

由此推知:

x∈(0，n－2)，f'n(x)＞0;

x∈(n－2，∞)，f'n(x)＜0.

顯然fn(x)在(0，n－2)單調(diào)增，在(n－2，∞)上單調(diào)減，它在(0，∞)有唯一的極大值:

下面討論當(dāng)n變化時(shí)，對(duì)χ2n分布密度函數(shù)的影響。

通過觀察χ2n的密度曲線，可發(fā)現(xiàn)n＞2時(shí)，n增大恒引起M(n)的減小，揭示這些性質(zhì)的內(nèi)部原因，是下文我們要討論的內(nèi)容(以下討論中取n＞2)［2］。

Γ函數(shù)的對(duì)數(shù)微商公式為

另外，由級(jí)數(shù)的收斂性知K(n)在n＞2時(shí)連續(xù)，

3.χ2分布及其對(duì)應(yīng)分布族的數(shù)字特征

1階矩E(X):

或者

［1］蔡擇林.分布密度函數(shù)的幾種常見推導(dǎo)方法［J］.魅力中國(guó)，2009(19):89－93.

［2］劉曉鵬，劉坤會(huì).F分布密度函數(shù)之性質(zhì)［J］.應(yīng)用概率統(tǒng)計(jì)，2005(3):304－314.

［3］茆詩松.高等數(shù)理統(tǒng)計(jì)［M］.北京市:高等教育出版社，1998.

(責(zé)任編輯 趙冰)

Research on the Nature of the χ2－Distribution

LIANG Xiao－jia，LI Dan，ZHANG Li－dan，ZHOU Ju－ling
(Department of Mathematical Sciences，Xinjiang Normal University，Urumqi 830054，China)

Among the three major distribution，the discuss of the χ2－distribution is relatively small.This paper uses the method of characteristic function to derive its density function and investigates the effect of parameters on the density curve，including its digital signature.

distributed;characteristic function method;digital characteristics

O29

A

1008－3715(2014)02－0121－04

2013－02－16

2013－2014年度新疆師范大學(xué)研究生科技創(chuàng)新項(xiàng)目《運(yùn)用統(tǒng)計(jì)方法實(shí)現(xiàn)S－P法的改進(jìn)》(20131234)

梁曉佳(1989—)，女，江蘇睢寧人，新疆師范大學(xué)數(shù)學(xué)科學(xué)學(xué)院研究生，研究方向:概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)。