謝 磊，孫 超，郭祺麗

(西北工業(yè)大學(xué)聲學(xué)工程研究所，陜西西安 710072)

0 引 言

波達方向(Direction of Arrival, DOA)估計是陣列信號處理的一個重要研究方向。在實際海洋環(huán)境中，尤其是對于被動聲吶而言，基陣接收到的主要是寬帶信號。隨著信號處理技術(shù)的發(fā)展，寬帶信號的高分辨方位估計已經(jīng)成為一個新的研究熱點。

寬帶目標(biāo)DOA估計的經(jīng)典算法可分為兩大類：非相干信號子空間法(Incoherent Signal Subspace,ISS)和相干信號子空間法(Coherent Signal Subspace,CSS)。ISS方法要對每個頻帶的互譜矩陣進行特征分解，運算量較大，在低信噪比環(huán)境中，該算法的分辨率不高，且該方法不能用于寬帶相干源的估計。CSS方法通過聚焦變換將各頻點數(shù)據(jù)變成同一參考頻率點的數(shù)據(jù)，根據(jù)聚焦后形成的相關(guān)矩陣，采用窄帶信號處理方法得到寬帶信號的方位信息。該方法還可以對寬帶相干信號進行DOA估計，且運算量小，估計精度高。CSS方法最早是由Wang在1984年提出的[1]，其核心內(nèi)容是構(gòu)造聚焦矩陣，目前已有很多種構(gòu)造聚焦矩陣的方法，如雙邊相關(guān)變換法(Two-side Correlation Transform, TCT)[2]、旋轉(zhuǎn)信號子空間法(Rotation Signal Subspace, RSS)[3]和信號子空間變換的方法(Signal Subspace Transforming, SST)[4]。這些構(gòu)造聚焦矩陣的方法都需要預(yù)估方位信息，如果前期預(yù)估不準(zhǔn)確，將致使最終估計結(jié)果出現(xiàn)較大的誤差。為了克服預(yù)估信息誤差對DOA估計的影響，之后出現(xiàn)了多種無需方位預(yù)估的聚焦矩陣構(gòu)造方法，如波束空間算法[5]、陣列流形插值法[6]、正交投影子空間法(Test of Orthogonality of Project Subspaces, TOPS)[7]、頻域子空間正交性測試法(Test of Orthogonality of Frequency Subspaces, TOFS)[8]等，這四種算法雖然不需要前期預(yù)估信息，但算法復(fù)雜度急劇加大。文獻[9]參照RSS方法，設(shè)置一個角度集合作為預(yù)估方位信息，提出了一致聚焦算法，該算法運算量較小，但在二維方位譜估計時，很難找到合適的角度集合。文獻[10]通過對陣列流形進行 Jacobi-Anger展開，在求解信號協(xié)方差矩陣時消去含有角度信息的分量，該算法雖然能進行二維的角度估計，但只適用于特殊結(jié)構(gòu)陣列，如文獻[11]中提出的“Y”形陣列和文獻[12]中提出的“L”形陣列。

本文根據(jù)CSS寬帶聚焦的思想，提出了一種基于頻域無噪相關(guān)矩陣的聚焦算法，適用于任意結(jié)構(gòu)陣列。該算法利用各頻點的頻域無噪相關(guān)矩陣構(gòu)造聚焦矩陣，避免了前期預(yù)估對最終估計結(jié)果的影響；該算法無需設(shè)置聚焦角集，不對陣列流形進行展開，對任意形狀的基陣都適用；當(dāng)基陣布放深度已知時，可以進行二維的目標(biāo)定位。對于頻帶較寬的信號，算法選取合適的聚焦頻率，可提高分辨率。

1 任意陣列結(jié)構(gòu)的接收信號模型

設(shè)M個傳感器陣元構(gòu)成的任意結(jié)構(gòu)陣列，坐標(biāo)系的原點位于基陣中心處，陣元位置坐標(biāo)矩陣為pa。具有相同帶寬B和中心頻率f的K(K＜M)個寬帶信號源，處于海面不同位置，且距離基陣足夠遠(yuǎn)，滿足遠(yuǎn)場假設(shè)條件，陣列接收噪聲假設(shè)為高斯白噪聲。設(shè)基陣在水下布放的深度為z，信號源坐標(biāo)矩陣為ps，則第i個信號源的坐標(biāo)psi= (xi,yi,z)H，其中i= 1 ,2 ,…,K。第m個陣元接收信號可表示為

式中：Νm(t)為第m個陣元上的噪聲；τmi為第i個信號到達第m個陣元時，相對于參考陣元的時延。

設(shè)海水中聲速為c，pa(m)為第m個陣元的位置坐標(biāo)，則：

對xm(t)進行傅里葉變換，可得

將參考陣元接收到的第i個信號源的信號表示為S1i，則陣列接收信號在頻域可以表示為：

式中，A(f,pa,ps)是與陣元位置和信號源位置有關(guān)的矩陣。

2 二維目標(biāo)定位聚焦算法

寬帶聚焦類算法的思想是，首先將陣列輸出數(shù)據(jù)在時域上分成不重疊的若干段，分別對每段進行離散傅里葉變換，得到信號帶寬內(nèi)的多個頻率點分量；然后尋求一個聚焦矩陣，通過聚焦變換將帶寬內(nèi)各個頻率點下的信號子空間變換到參考頻點下的同一個信號子空間，再利用窄帶信號的子空間處理方法進行高分辨估計。

2.1 CSS聚焦算法

傳統(tǒng)的CSS聚焦算法先根據(jù)預(yù)估信息，構(gòu)造一個隨頻率變化的矩陣T(fj)，將不同頻率段的陣列流形向量聚焦到同一參考頻率f0上，得到一個頻率點的陣列流形向量，即

式中，f0稱為聚焦頻率。聚焦矩陣T(fj)將信號帶寬內(nèi)不同頻率的陣列流型或信號子空間變換映射到同一參考頻率f0上，使得寬帶目標(biāo)信號具有同一信號子空間。用聚焦矩陣對頻域?qū)拵盘朮(fj)進行線性變換，可得到聚焦后的輸出信號為

可以看出，相干信號子空間算法的原理是引入一個聚焦矩陣對陣列信號X(fj)進行線性變換，使變換后的陣列流型A(f0,θ)不再隨頻率變化，起到了對信號子空間的聚焦作用。假設(shè)變換后的陣列接收信號為Y(fj)，則變換后陣列信號協(xié)方差矩陣為：

通過式(7)可以得到變換后各頻點的頻域相關(guān)矩陣；然后將每個子帶的頻域相關(guān)矩陣相加得到陣列信號相關(guān)矩陣；最后采用窄帶處理的方法進行目標(biāo)方位的估計。

2.2 基于頻域無噪相關(guān)矩陣的聚焦算法

本文根據(jù)信號頻域無噪相關(guān)矩陣構(gòu)造聚焦矩陣，給出了一種適用于任意陣列結(jié)構(gòu)的二維目標(biāo)定位聚焦算法。假設(shè)各陣元位置已知，將寬帶信號分為J個窄帶，經(jīng)過FFT變換后的第j個頻率點的陣列信號為Y(fj)，則變換后的陣列信號相關(guān)矩陣為

式中，Rs(fj)為第j個頻率點的信源相關(guān)矩陣，有

對R(fj)進行特征分解，估計噪聲的特征值λ(R(fj))，由此可以得到噪聲功率為

則第j個頻點上的無噪相關(guān)矩陣P(fj)為

根據(jù)P(fj)構(gòu)造各頻點的聚焦矩陣T(fj)，構(gòu)造準(zhǔn)則為：

式中，F(xiàn)表示Frobenius范數(shù)。根據(jù)文獻[2]可以推出上式的一個近似解為：

U(f0)和U(fj)可通過對協(xié)方差矩陣P(f0)和P(fj)進行Schur分解獲得，即：

式中，Δ為上三角矩陣，其主對角線元素為相關(guān)矩陣P的特征值。選擇寬帶信號的最高頻率為聚焦頻率，通過式(13)、(14)和(15)可以很方便地得到各個頻點的聚焦矩陣。

利用聚焦矩陣對各子帶的頻域無噪相關(guān)矩陣進行變換，經(jīng)過聚焦變換的陣列信號輸出相關(guān)矩陣為

使用窄帶信號估計算法進行高分辨估計(如常用的 MUSIC算法)對矩陣Rs進行特征分解得到特征值λi和特征向量ei(i= 1,··,M)。將λi按降序排列，前K個較大的特征值對應(yīng)的特征向量張成信號子空間，后M?K個較小的特征值對應(yīng)的特征向量張成噪聲子空間，即：

可以得到對應(yīng)的MUSIC方位譜為

式中，f0為聚焦頻率，a(f0,ps)為掃描向量，有：

3 仿真和討論

仿真采用9個陣元組成的一個“三棱柱”形狀的體積陣，三維坐標(biāo)系的原點位于基陣幾何中心處，基陣的形狀、尺寸和相對于水面艦船的位置如圖1所示。水面艦船輻射噪聲主要分布在主機、輔機和螺旋槳等三個位置處。假設(shè)這三個部位的輻射噪聲均是帶寬為40~3000 Hz的高斯白噪聲，采用三個坐標(biāo)分別為(?130,20,150) m、(?85,60,150) m 和(?40,115,150) m的亮點模擬水面艦船輻射噪聲的位置，三個亮點的信噪比分別為11、8和5 dB。仿真中使用的采樣頻率為10240 Hz，F(xiàn)FT點數(shù)為256，搜索范圍是邊長為 300 m的正方形區(qū)域(X：?150~150 m，Y：?150~150 m)，掃描步長為1 m，海水中的聲速設(shè)為1500 m/s。

圖1 陣列接收信號模型Fig.1 The geometry of the array and target

圖2 9元體積陣被動目標(biāo)定位仿真圖Fig.2 Localization results with 9 element volume array

采用此9元體積陣的目標(biāo)定位的仿真結(jié)果如圖2所示。其中，圖2(a)、2(b)、2(c)和2(d)分別是亮點目標(biāo)估計的二維灰度圖、等高線圖、對圖(a)沿行取最大值和對圖(a)沿列取最大值?？梢钥闯?，圖2(a)和圖2(b)中三個亮點目標(biāo)與假定的水面艦船三個噪聲源的位置是一一對應(yīng)的。

仿真結(jié)果表明，基于無噪相關(guān)矩陣的聚焦算法能很好地分辨出三個亮點目標(biāo)，且不需要前期的預(yù)估。表1給出了在仿真條件不變時，通過100次蒙特卡羅實驗得到的該聚焦算法的估計精度。

表1 基于無噪相關(guān)矩陣的聚焦算法定位精度Table 1 Localization accuracy of the noise-free correlation matrix focusing method

由表1可得，使用圖1所示的小型體積陣，運用本文提出的聚焦算法對距離基陣中心大約190 m的水面艦船亮點目標(biāo)進行估計時，定位偏差小于1.91 m，即不超過兩個掃描步長，定位精度較高。

4 結(jié) 論

本文研究了一種基于接收信號頻域無噪相關(guān)矩陣的二維寬帶聚焦算法，可用于水下小基陣對水面目標(biāo)的探測。當(dāng)基陣所處的深度已知時，可以對水面目標(biāo)進行精確定位。與已有的聚焦算法相比，該算法可以實現(xiàn)目標(biāo)的二維定位，適用于任意陣列結(jié)構(gòu)，而且不需要前期預(yù)估信息，分辨率高，定位誤差小，算法復(fù)雜度低。仿真中采用了小型體積陣，估計出了水面艦船的三個亮點目標(biāo)，驗證了該算法的有效性。

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